作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？小编经过搜集和处理，为您提供2012届高考数学备考复习：统计，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第三讲统计、统计案例

【最新考纲透析】
1．随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性；
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
2．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列表率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
（3）能从样本数据中撮基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释；
（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
3．变量的相关性
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
4．回归分析及独立性检验
了解回归分析的基本思想、方法及简单应用，了解独立性检验（只要求2×2列）的基本思想、方法及简单应用。jab88.com

【核心要点突破】
要点考向1：随机抽样
考情聚焦：1．随机抽样问题和实际生活紧密相连，是高考考查的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．解决有关随机抽样问题首先要深该理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体；
2．系统抽样中编号的确定和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的内容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命题立意】本题主要考查分层抽样的概念，考查应用所学知识解决实际问题的能力.
【思路点拨】首先计算抽样比例，再计算每层抽取人数.
【规范解答】选D抽样比例为，故各层中依次抽取的人数为人，人，人，人.故选D.
要点考向2：频率分布直方图或频率分布表
考情聚焦：1．频率分布直方图或频率分布表近几年频繁地出现在各地高考题中，是高考的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题。
考向链接：解决该类问题时，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键。频率分布指的是样本数据在各个小范围内所占的比例大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其中
（1）频率分布直方图中纵轴表示，；
（2）在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比；
（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种描述形式，前者准确，后者直观；
（4）众数为最高矩形的底边中点的横坐标；
（5）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（6）平均数等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参
加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。
【命题立意】本题考查频率颁布直方图，抽样方法中的分层抽样。熟练掌握频率颁布直方图的性质，分层抽样的原理是解决本题的关键。
【思路点拨】利用各矩形的面积之和为1可解出。分层抽样时，选算出身高在[140，150]内的学生在三组学生中所占比例，再从18人中抽取相应比例的人数。
【规范解答】各矩形的面积和为：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生人数分别为：30、20、10，人数的比为3：2：1，因此从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为18=3人。
【参考答案】0.0303。
要点考向3：茎叶图
考情聚焦：1．茎叶图是新课标新增内容，与实际生活联系密切，可方便处理数据，在高考中时有考查，茎叶图可能成为高考的热点；
2．三种考查形式均有可能出现，属于容易题。
考向链接：1．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况；
2．在作茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么；
3．根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据平均数的大小号稳定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010马鞍山模拟）为检测学生的体温状况，随机抽取甲，乙两个班级各10名同学，测量他们的体温（单位0.1摄氏度）获得体温数据的茎叶图，如图所示.
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班级的平均体温较高；
（Ⅱ）计算乙班的样本平均数，方差；
（Ⅲ）现在从甲班中随机抽取两名体温不低于36.4摄氏度的同学，
求体温为37.1摄氏度的同学被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均体温：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均体温：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均体温较高.
（Ⅱ）乙班的样本平均数：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班体温不低于36.4摄氏度的有5人，故。
要点考向4：众数、中位数、平均数、方差、标准差
考情聚焦：1．近几年高考加强了对平均数、方差、标准差的考查，这也是高考贴近实际生活的体现，应引起高度重视；
2．三种题型均有可能出现，属容易题。
考向链接：数据的平均数为，方差为，则
（1）数据的平均数是
（2）若的平均数为；的平均数为，则的平均数
（3）或
（4）数据的方差与的方差相等；
（5）数据的方差为。
例4：（2010辽宁高考理科Ｔ18）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
【命题立意】本题考查了古典概型、频率分布直方图、独立性检验等知识。
【思路点拨】（I）
（II）计算小长方形的高，作图
【规范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
……4分
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在频率分布直方图中，小长方形的高是频率与组距的比值，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要点考向5：线性回归方程
考情聚焦：1．近几年高考虽然没有考查线性回归方程，但它在现实生活中有着广泛的应用，应引起重视；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属中、低题目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命题立意】以朴素的题材为背景，让学生感受线性回归的意义，变量之间的变化趋势.
【思路点拨】负相关说明斜率为负，而价格为0时，销量不能为负。
【规范解答】∵商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，∴a0，排除B，D.又∵x=0时，y0,∴答案为A.
【方法技巧】回归问题主要研究变量之间的相关性，变化趋势，分为正相关和负相关，线性相关不是研究变量之间的确定性，而是相关性，即有关联.求斜率和截距常用给定的公式.
要点考向6：独立性检验
考情聚焦：1．独立性检验是新课标的新增内容，2009年辽宁等省高考题对此作了考查，应引起高度重视；
2．呈现方式可以是选择题、填空题、解答题，属容易题。
例6：（2010辽宁高考文科Ｔ18）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命题立意】考查了频率分布直方图、中位数、独立性检验的知识。
【思路点拨】（I）根据频率分布直方图，估计中位的范围，比较中位数的大小。
（II）将各数据代入公式计算，比较
【规范解答】
（I）
可以看出注射药物A后的疱疹面的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后的疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。

（II）
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝70b＝30100
注射药物Bc＝35d＝65100
合计10595n＝200
由于所以有99％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在做频率分布直方图时，一定要注意，小长方形的高表示的是频率与组距的比，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真题探究】
1．（2010陕西高考文科Ｔ4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命题立意】本题考查样本平均数、标准差的概念的灵活应用，属保分题。
【思路点拨】直接观察图像易得结论，不用具体的运算
【规范解答】选B由图易得＜，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB
【方法技巧】统计内容有抽样方法、样本特征数（均值、方差，直方图等）、回归分析、预测（应用）等，体现算法思想．弄清基本概念，原理，计算方法等．
2．（2010山东高考理科Ｔ6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为
(A)(B)(C)(D)2
【命题立意】本题考查用样本的平均数、方差,考查了考生的运算求解能力.
【思路点拨】先由平均值求出a，再利用方差的计算公式求解.
【规范解答】选D,由题意知,解得,所以样本方差为
=2,故选D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命题立意】本题考查中位数与平均数的求解。
【思路点拨】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数。
【规范解答】选A，数据从小到大排列后可得其中位数为，平均数为。
【方法技巧】给出实际数据求解中位数和平均数等数据特征相对较为容易，但是同学也要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”，会用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数。
1.众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；
2.中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数。
3.平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4．（2010广东高考理科Ｔ7）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命题立意】本题考察随机变量的正态分布的意义。
【思路点拨】由已知条件先求出，再求出的值。
【规范解答】选

5．（2010广东高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.
【命题立意】本题考察统计中基本特征量的意义以及变量间的关系.
【思路点拨】按大小排列出收入数据的顺序，找出中间的那个数据.
【规范解答】收入数据按大小排列为：、、、、，所以中位数为13.
【参考答案】正向.
6．（2010陕西高考理科Ｔ19）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。
【命题立意】本题考查了分层抽样的概念、条形图的识别、概率的简单求法等基础知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
【思路点拨】读懂频数条形图是解题的关键
【规范解答】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故由估计该校学生身高在170~180cm之间的概率
（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，则

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在［50,60)元的同学有30人,则n的值为()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时，得到了以下数据：
下列结论中正确的一项是（）
(A)有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(B)有99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(C)有99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(D)没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效
4.如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字),由图可知:（）
(A)甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高
(B)甲、乙中位数的和为17.8,甲稳定性高
(C)甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高
(D)甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高
5.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg),得到频率分布直方图如图：
根据图可得这100名学生中体重在［56.5,64.5）的学生人数是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为______.
8．某学校有初中生1100人，高中生900人，教师100人，现对学校的师生进行样本容量为的分层抽样调查，已知抽取的高中生为60人，则样本容量________
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数,并说明它在乙组数据中的含义;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
11.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均为优秀的概率;
②若这8位同学的数学、物理分数对应如表:
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.
参考公式：相关系数
回归直线的方程是：
其中；其中是与对应的回归估计值。
参考数据：
12.(探究创新题)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件,根据上面的数据判定,产品是否合格与设备是否改进有没有关系?

参考答案
1．【解析】选B.由频率分布直方图知,支出在［50,60)元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】选C.甲的中位数为28，乙的中位数为36.所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
3．【解析】选A.
因为6.6233.841，所以有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效.
4．【解析】选A.由茎叶图知甲的中位数是9.05,乙的中位数是9.15,故甲、乙中位数的和为18.2,看茎叶图知乙稳定性比甲高,故选A.
5．
6．【解析】选C.通过观察图象知：体重在［56.5,64.5）的频率为(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故体重在［56.5,64.5）的学生人数是0.4×100=40.
7．【解析】由题意知,学号组成以=14为公差的等差数列,故还有一个同学的学号为20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)茎叶图如下:
学生乙成绩中位数为84,它是这组数据最中间位置的两个数的平均数.(中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中)
甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适。
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）=。
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从二项分布
故的分布列为
11．[解析]（1）应选女生（位），男生3（位），可以得到不同的样本个数是。
（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均成优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是，然后使剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是。根据乘法原理，满足条件的种数是。这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种。故所求的概率
②变量y与x的相关系数是可以看出，物理与数学成绩是高度正相关。以数学成绩x为横坐标，物理作散点图如图所示。
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关。
设y与x的线性回归方程为
根据所给的数据，可以计算出
所以y与x的线性回归方程是
12．【解析】由已知数据得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握认为产品是否合格与设备是否改造是有关的.

【备课资源】
1.以下五个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
④在回归直线方程=0.1x+10中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量增加0.1个单位
⑤在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.
其中正确的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】选A.①描述的抽样方法应该是系统抽样,故①错误.
2.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】选A.根据频率分布直方图的意义,成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有()
(A)100辆(B)200辆(C)300辆(D)400辆
【解析】选C.由频率分布直方图知速度不小于90km/h的频率为1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽车约有1000×0.3=300辆.
4.下图是甲、乙两种玉米生长高度抽样数据的茎叶图,设甲的中位数为a,乙的众数为b,则a与b的大小关系为________.
【解析】由茎叶图知,甲的中位数是26,乙的众数为26,故a=b.
答案:a=b
5.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图：据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为________.
【解析】由茎叶图知,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为6,频率为,故估计200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的有200×=60人.
答案:60

相关知识

2012届高考数学备考复习：导数及其应用

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“2012届高考数学备考复习：导数及其应用”，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。

【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。
②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010山东高考文科Ｔ21）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1）当
所以
因此，,即曲线
又
所以曲线
（2）因为,所以,令
当时，所以
当时，0，此时，函数单调递减；
当时，0，此时，函数单调递增.
当时，由，
即，解得.
①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
②当时，，
时，,此时,函数单调递减
时，0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
③当时，由于,
时，,此时,函数单调递减：
时，0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（III）如果，且，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以,即2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；
(ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。
【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：
，联立，得到：，
化简：得到
从而所以同样运用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。

【高考真题探究】
1.（2010全国高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A）(B)
(C)(D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a、b的值。
【规范解答】选A，,在点处的切线方程是。
斜率为1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设，则依据题意可得：
其导函数故选A.
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
5．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ22）设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当时，当且仅当
令，则
当时，是增函数；当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x-1时，
（Ⅱ）由题设，此时
当a0时，若，则不成立；
当a0时，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，则.当且仅当
⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当a时，由⑴知x
当时，所以h(x)h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0,.
6．（2010江苏高考Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||||，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
若，∴，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）

【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数在R上可导，且，则（C）
A．B．C．D．无法确定
2．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（D）
A．B．C．D．
3．设函数在上可导，且，则当时有(A)
A．B．
C．D．
4．设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（C）
5．在区间上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如图，函数的图象在点P处的切线是，则=（C）．
A．B．0C．D．不确定

二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数的单调减区间为。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010安徽安庆高三二模（文））已知函数.
⑴当时，求函数的最小值；
⑵若在上是单调函数，求的取值范围.
12．（2010届北京市朝阳区高三一模（文））已知函数，．
（Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a0时，对x∈R有f′(x)0.
∴当a0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当时，
………2分
令得或（，舍去负值）。………3分
函数及导数的变化情况如下表：
∴当时，函数的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上为单调函数，只需对，都有或
，∴，∴………8分
①当时，恒成立即恒成立；………10分
②当时，，∴，∴恒成立；……12分
综上所述：当时，在上为单调函数………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因为函数在处取得极值，所以，解得.
于是函数，,.
函数在点处的切线的斜率，
则在点处的切线方程为.…………………………6分
（Ⅱ）当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或
解得，或，所以的取值范围是．……14分

【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A．1B．C．D．
【解析】选A.，于是切线的斜率，∴有
2.（2009江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为()
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0有两个不等的实根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求的导数;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009马鞍山模拟）已知函数f(x)=x2-alnx,

（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009山东高考）已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a0，即b2a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.

2012届高考历史考点备考复习

2012届高考历史考点备考复习
第三单元工业社会的来临
[单元内容分析]
17—18世纪的英国资产阶级革命、美国独立战争、法国大革命开辟了资本主义工业文明的新时代，英国工业革命使人类从农业文明时代开始步入工业文明时代。工业社会是以工业生产为经济主导成分的社会，具有以下特征：以大机器的使用和工厂制为主要的生产方式和组织形式；科学技术发达、生产效率全面提高；农业在国民经济中所占的比例不断缩小，工业和服务业的比重不断加大；资本与劳动的关系成为最主要的社会关系；城市化生活成为主要的生活方式、生活质量提高，人的思想观念充分更新，竞争意识和时间观念加强，崇尚科学、信服真理、追求变革成为人们基本的行为或价值取向。
股份制具有极大的资本积聚功能，为工业革命的深入发展提供了巨大的资本支撑，英国工业革命时期逐步确立了真正现代意义上的股份制。自由贸易政策使英国成为世界贸易中心，在工业革命的推动下英国现代货币信用制度兴起，为工业大规模发展提供了必要的资金。
工业革命也产生了新的社会问题，初期工人处境悲惨，城市贫富分化严重，人与自然的关系由顺应而至掠夺导致了生态环境的恶化。工人争取生存而斗争，政府通过社会立法逐渐缓解上述矛盾，但没有从根本上实现社会的公正、公平。在这种社会现实下，诞生了空想社会主义和科学社会主义。
[单元教学目标]
1、从政治前提、市场扩大、自由劳动力充足、资本雄厚、工场手工业积累的丰富经验等方面，了解工业革命的前提条件，理解工业革命首先发生在英国的必然性。
了解棉纺织业机器的发明、“万能蒸汽机”的作用、采煤、冶金业发展、铁路出现的基本史实，理解工业革命过程中各个环节的相互促进。
了解工业革命带来的社会生产、经济结构、阶级关系、生活方式变化的基本情况，辨证地理解工业革命的历史作用。
了解现代工厂制度的基本特征、股份制、自由贸易制度、现代金融制度的作用，理解工业革命与资本主义经济制度之间的互动关系。
了解工业革命初期工人的悲惨处境、城市贫富分化、社会立法的情况，整体地理解工业革命的影响以及在社会发展的历程中，逐步实现社会公平、公正的重要性。
2、通过阅读、观察、分析课本中的“知识链接”、“文献选读”、插图、图表等材料，使学生进一步提高从不同材料中提取有效信息的能力，并初步掌握结合所学知识分析材料的能力。通过引导学生从生产方式、经济结构、社会方式、经济制度、阶级关系、社会矛盾、社会立法、社会思潮等方面分析工业社会的特征和影响，使学生掌握综合、客观、发展地分析历史问题的能力。
3、通过学习“工业社会的来临”相关史实，使学生认识到科学技术是第一生产力，科技的发展促使国家迅速强大、推动人类社会的发展，感悟科技创新对于一个国家发展的重要作用。引导学生客观看待工业革命的影响，认识科技之剑既为人类发展劈荆斩棘，是人类的骄傲，又深深刺伤着人类，感悟科技文明不仅包括其本身的先进性、发展性，而且理应内含“谁掌握科技？为谁服务？怎样服务？”等一系列人文社会问题，懂得科技必须与社会的自由博爱、民主法制同时进步的道理和人文科学的重要地位。
[单元教学建议]
1、教学重点：
（1）英国工业的前提和条件，机器的发明与改进。
（2）工厂制的建立及作用，股份制、自由贸易制度、现代金融制对工业革命的推动。
（3）工业革命初期的社会问题——贫富分化
（4）社会立法的目的以及历史作用。
2、内容解析：
（1）《大不列颠百科全书》对工业革命的解释是：“工业革命是一个现代历史变迁过程，是工业和制造业开始取代农业、手工业经济而占统治地位的过程。”简言之，工业革命是机器的发明和运用引起的由机器取代手工劳动，由工厂取代作坊和手工工场的过程。1工业革命发生在18世纪60年代不是偶然的，地理大发现后西欧的海外殖民扩张、殖民掠夺促进资本主义发展，文艺复兴、宗教改革、政治革命、股份制、金融制，为工业文明的诞生准备了政治、经济、文化条件；工业革命首先发生在英国而不是其他欧洲国家，主要原因是英国通过圈地运动较早地开始了农业改革，为工业革命准备了自由劳动力和坚实的物质基础；“光荣革命”后建立君主立宪制，国内社会稳定，为工业革命提供良好内部环境；黑奴贸易、殖民掠夺、海外贸易，直接为工业革命的开展积聚了大量的可用资金，“七了年战争”后英国确立了殖民霸权地位，成为拥有世界上最大市场的国家——殖民帝国为工业帝国奠定基础。18世纪英国手工工场规模大、分工合作，积累了丰富的经验。股份制、银行金融业的发展、专利保护制度，都为率先发生工业革命创造条件。
棉纺织业中机器的发明、革新，率先实现了机械化，建立工厂制，带动其他密切相关的行业部门，成为工业革命的急先锋。随着机器的推广使用，工业革命遇到两大挑战：动力问题和原料问题，瓦特“万能蒸汽机”的发明解决了时代难题，蒸汽机为机器大工业的兴盛解决了动力问题，为工厂的建立开拓广阔的地理空间，是工业革命中最伟大的技术发明，也是人类技术史上的一次飞跃。与蒸汽机的发明、推广密切相关、相互推动的是金属冶炼业的发展，因而，蒸汽机和冶金技术成为工业革命的中流砥柱。为了适应工业革命的客观需要，陆地交通、海上交通取得了历史性的突破，蒸汽机车把人类带进了“铁路时代”。
工业革命极大地提高社会生产力，正如《共产党宣言》中指出的：“资产阶级在它不到一百年的阶级统治中所创造的生产力，比过去一切世代创造的全部生产力还要多，还有大。”工业革命催生了许多新兴工业化城市，改变了英国的经济布局。工业革命前农业产值在国民经济中占很大的比重，工业革命后，工业和服务业的比重不断扩大，成为英国经济持续发展的主要动力。随着大机器生产的发展，近代工业资产阶级和工人阶级成为社会发展的主导力量。
城市化是社会发展的历史过程，是工业革命的伴生现象，一般是指工业化过程中社会生产力的发展引起的地域空间上城镇数量的增加和城镇规模的扩大；农村人口向城镇的转移流动和集聚；城镇经济在国民经济中居主导地位，成为社会前进的主要基地；以及城市的经济关系和生活方式广泛地渗透到农村的一种持续发展的过程。城市化带动了生活方式、思想观念的巨大变化，同时也产生一系列新的社会问题。
（2）“现代工厂制度”、“股份制”、“金融制度”是工业社会经济的重要特点，也是本教材的亮点，即尊重历史，又贴近生活、富有时代气息。工厂制度是工业革命所创造的新的工业制度，是机器化大生产的生产组织和经营管理形式。工厂制度首先出现在棉纺织业，阿克莱特建立了第一个水利纺纱厂，标志着现代工厂的诞生。工厂制度的主要特点是资本家将雇佣劳动者集中在一定规模的工厂里，按严格的规章制度和分工，进行机械化、按流程生产。工厂制度有利于促进经济的高速发展，但同时也使工人成为机器的附庸。
股份制经济是通过股份入股筹集资本，建立股份公司进行生产和经营，投资者按入股份额参与管理和分配的一种组织形式。股份公司的萌芽始于欧洲中世纪，股份制为工业革命的深入发展提供雄厚的资本支撑，此时，也形成了真正现代意义上的股份。19世纪中后期，股份制经济在资本主义国家的经济中已占主导地位。
英国自由贸易理论认为，自由市场实际上是个自行调整机制，自动倾向于生产社会最迫切需要的货品种类的数量。正如亚当斯密在《国富论》中所言，每个人“只想得到自己的利益”，但是又好象“被一只无形的手牵着去实现一种他根本无意要实现的目的，……他们促进社会的利益，其效果往往比他们真正想要实现的还要好。”19世纪中叶后，英国陆续推行一系列自由贸易政策，使英国成为世界贸易中心。
英国金融业发展及金融监管的历史比较悠久，早在1644年，世界上第一家股份制的商业银行英格兰银行在英国伦敦诞生。在工业革命推动下，金融组织机构、运行方式和管理制度逐渐完善，为工业大规模发展提供了必要的资金。
建议教师讲清“现代工厂制度”、“自由贸易制度”既是工业革命的产物，又是工业发展的强大推动力；“股份制”、“金融制度”既是工业革命产生的重要因素、为工业发展积聚资金，反之，大工业的发展又了股份制和金融制度的完善，催生了现代股份制和现代货币信用制度，与工业革命使互动关系。
（4）工业革命初期，妇女、儿童作为廉价劳动力被工厂大量雇用，工人工资低廉，工作条件恶劣，工人身心受到严重摧残。随着城市化进程加快，城市贫富两极分化，城市贫困问题成为工业化初期严重的社会问题。
正如马克思所言：“社会改革永远也不会以强者的软弱为前提；它们应当而且也将是弱者的强所引起的。”1在工人争取生存而斗争的压力下，欧洲一些国家的政府通过社会立法，建立了基本适合工业社会、有利于资本主义发展的社会福利制度，以逐渐缓解工业革命带来的社会问题。社会立法首先从工厂法开始，着眼点是首先保护工厂、保护生产劳动、保障利润，以此为目的，逐渐扩大到报酬、教育、卫生、社会救济等方面以“保障劳动者”。社会立法“是资本主义工业文明的一大社会成果，体现出时代发展、人类社会进步。”2
（5）“工业革命的孕育”一目，建议突出专利保护制度，其它内容与初中教材相符，学生可以自学。“机器的发明与改进”一目，建议讲清“蒸汽时代”、“世界工厂”的概念，让学生概括出工业革命的主要进程。建议引导学生整体把握工业革命的影响：从社会生产、阶级结构、上层建筑、生活方式、社会风貌等深刻嬗变，认识工业社会的特点；从资本主义制度的巩固和发展、资本主义市场的扩大和资本主义世界体系的形成等方面，理解工业革命对资本主义发展的影响；由于工业革命失误造成的贫困，资本和劳动对立的社会矛盾趋向尖锐，“人文纽带被拧断”，促使政府进行社会立法，社会主义思潮应运而生，先后产生了空想社会主义、科学社会主义。

2012届高考数学备考复习平面向量教案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是由小编为大家整理的“2012届高考数学备考复习平面向量教案”，希望能为您提供更多的参考。

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲平面向量
【最新考纲透析】
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：向量的有关概念及运算
考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010山东高考理科Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（）
A.若与共线，则⊙B.⊙⊙
C.对任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
要点考向2：与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。
2．该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。
3．多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。
考向链接：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题：，特别地。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.
【规范解答】选D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2.（2010广东高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)=30，则x=()
A．6B．5C．4D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】选.，所以
.即：，解得：，故选.
要点考向3：向量与三角函数的综合
考情聚集：1．向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。
2．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3．多以解答题的形式出现。
例3．在直角坐标系
（I）若；
（II）若向量共线，当
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。

【高考真题探究】
1．（2010重庆高考理科Ｔ2）已知向量，满足，则（）
A．0B．C．4D．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B（方法一）
；（方法二）数形结合法：由条件知，以向量
，为邻边的平行四边形为矩形，又因为，所以，
则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式，
方法二：熟记向量及向量和的三角形法则
2．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，则=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD=CB:CA=1:2
这样可以用向量,表示。
【规范解答】选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量则的值是。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知，结合，解得，
所以2=，开方可知答案为.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若则=．
【解析】因为所以.
答案：
5．（2009广东高考）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，则，
∴.
6．（2009海南宁夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因为，所以于是，故
（Ⅱ）由知，所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或

【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.若，且，则向量与的夹角为()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B为平面上四点，且，则（）
A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最小者为……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夹角为120°，且则等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中为常向量．若映射f满足f()f()＝对任意的，∈A恒成立，则的坐标可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7.已知e1、e2是两个不共线的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k=
8.已知向量，满足，，与的夹角为，则_________，若，则实数_________．
9.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中，则的最大值是．
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11.设函数，其中向量，.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）设，
（1）求的单调增区间；
（2）函数经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8.3，3
9.2
三、解答题
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
则.
．

11.解：（I）
（II）由，
得

12.解：（I）若，则
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的单调增区间
(2)将函数的图像向上平移1个单位，再向左平移个单位，即得函数
的图像，而为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给分.)

【备课资源】

2012届高考数学备考立体几何复习教案

专题四：立体几何
阶段质量评估（四）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（）
A．B．
C．D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如图，设平面，垂足分别为，若增加一个条件，就能推出.
现有①②与所成的角相等;
③与在内的射影在同一条直线上;④∥.
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）
个个个个
4．已知直线和平面，则下列命题正确的是()
AB
CD
5．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）
A．B．C．D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是()
A.B.
C.直线∥D.直线所成的角为45°
9．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）
..∥截面
..异面直线与所成的角为
11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）
A.B.
C.D.
12．如图，为正方体，下面结论错误的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为．(结果用反三角函数值表示)
15．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是．
16．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．

三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为.
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.

18．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

19．如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，
是线段的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当取何值时，直线PN与平面ABC
所成的角最大？并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°，试确定点P的位置。

21．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

22．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．

参考答案
一、选择题
1.【解析】选A.。
2.【解析】选D.①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3.C
4.【解析】选B.对A，，
对C画出图形可知，对D，缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】选C.由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】选.由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.

11.【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。
二、填空题
13.【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，设长方体的高为x，则，所以，所以长方体的体积为3。
答案：3

14.
15.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角
的平面角.根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点
Q，都有∠POQ≥45°，∴，设PO=，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中应有
PCPH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角的范围是。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范围是。
答案：

三、解答题
17.【解析】（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2）设AB=x，
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DEC的法向量，
设平面D1EC的法向量，则
由题意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DEC的一个法向量.
设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）∵∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由
∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，
∴又点，，∴
∴，且与不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴为平面的法向量．
∵，，
∴为平面的法向量．
∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为．

20.解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系
则2分
从而
所以…………3分
（II）平面ABC的一个法向量为
则
（※）…………5分
而
由（※）式，当…………6分
（III）平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
解得11分
故点P在B1A1的延长线上，且…………12分

21.解法一：（I）证明：连结，为等边三角形，为的中点，
，和为等边三角形，为的中点，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）过作于连结，
平面，在平面上的射影为
为二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：设点到平面的距离为，
，
在中，，
而
点到平面的距离为．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面，平面的法向量
设平面的法向量，
由
设与夹角为，则
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设平面的法向量为又
设与夹角为，则
设到平面的距离为，
到平面的距离为．

22.【解析】解法一：
（I）由题意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一

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