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专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。

【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。
②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010山东高考文科Ｔ21）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1）当
所以
因此，,即曲线
又
所以曲线
（2）因为,所以,令
当时，所以
当时，0，此时，函数单调递减；
当时，0，此时，函数单调递增.
当时，由，
即，解得.
①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
②当时，，
时，,此时,函数单调递减
时，0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
③当时，由于,
时，,此时,函数单调递减：
时，0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（III）如果，且，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以,即2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；
(ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。
【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：
，联立，得到：，
化简：得到
从而所以同样运用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。

【高考真题探究】
1.（2010全国高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A）(B)
(C)(D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a、b的值。
【规范解答】选A，,在点处的切线方程是。
斜率为1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设，则依据题意可得：
其导函数故选A.
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
5．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ22）设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当时，当且仅当
令，则
当时，是增函数；当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x-1时，
（Ⅱ）由题设，此时
当a0时，若，则不成立；
当a0时，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，则.当且仅当
⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当a时，由⑴知x
当时，所以h(x)h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0,.
6．（2010江苏高考Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||||，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
若，∴，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）

【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数在R上可导，且，则（C）
A．B．C．D．无法确定
2．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（D）
A．B．C．D．
3．设函数在上可导，且，则当时有(A)
A．B．
C．D．
4．设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（C）
5．在区间上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如图，函数的图象在点P处的切线是，则=（C）．
A．B．0C．D．不确定

二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数的单调减区间为。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010安徽安庆高三二模（文））已知函数.
⑴当时，求函数的最小值；
⑵若在上是单调函数，求的取值范围.
12．（2010届北京市朝阳区高三一模（文））已知函数，．
（Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a0时，对x∈R有f′(x)0.
∴当a0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当时，
………2分
令得或（，舍去负值）。………3分
函数及导数的变化情况如下表：
∴当时，函数的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上为单调函数，只需对，都有或
，∴，∴………8分
①当时，恒成立即恒成立；………10分
②当时，，∴，∴恒成立；……12分
综上所述：当时，在上为单调函数………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因为函数在处取得极值，所以，解得.
于是函数，,.
函数在点处的切线的斜率，
则在点处的切线方程为.…………………………6分
（Ⅱ）当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或
解得，或，所以的取值范围是．……14分

【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A．1B．C．D．
【解析】选A.，于是切线的斜率，∴有
2.（2009江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为()
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0有两个不等的实根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求的导数;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009马鞍山模拟）已知函数f(x)=x2-alnx,

（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009山东高考）已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a0，即b2a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.

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2015届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，大家在认真准备自己的教案课件了吧。我们制定教案课件工作计划，可以更好完成工作任务！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？小编特地为您收集整理“2015届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

第三篇导数及其应用
第1讲导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．
解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，
∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.
答案y＝0
2．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
答案e
3．(2014辽宁五校联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．
解析由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．
答案(1,3)
4．(2014烟台期末)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．
解析函数f(x)的导函数为f′(x)＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx，即k＝g(t)＝tcost，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜π2时，g(t)＞0，所以排除④，选②.
答案②
5．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为________．
解析y′＝cos2x＋sin2xsinx＋cosx2＝11＋sin2x，
故所求切线斜率k＝＝12.
答案12
6．(2013广东卷)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析y′＝2ax－1x，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.
答案12
7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
解析由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
答案－2
8．(2013江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析y′＝αxα－1，∴斜率k＝y′|x＝1＝α＝2－01－0＝2，∴α＝2.
答案2
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝exlnx；
(2)y＝xx2＋1x＋1x3；
(3)y＝x－sinx2cosx2；
(4)y＝(x＋1)1x－1.
解(1)y′＝(exlnx)′＝exlnx＋ex1x＝exlnx＋1x.
(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.
(3)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，
∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.
(4)先化简，y＝x1x－x＋1x－1＝，
∴y′＝n＝－12x1＋1x.
10．(2014南通二模)f(x)＝ax－1x，g(x)＝lnx，x＞0，a∈R是常数．
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使l也是曲线y＝f(x)的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
解(1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝1x，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有
ax0－1x0＝x0－1，a＋1x20＝1，解得x0＝2，a＝34，此时f(2)＝1，
即当a＝34时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2,1)的切线．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014盐城一模)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0，π4，则点P横坐标的取值范围是________．
解析设P(x0，y0)，倾斜角为α，y′＝2x＋2，则k＝tanα＝2x0＋2∈[0,1]，解得x0∈－1，－12.
答案－1，－12
2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2013(x)＝________.
解析f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)f1(x)＝cosx.
答案cosx
3．(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．
解析f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，
∴x1x2…x2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝12013，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012
＝log2013(x1x2…x2012)＝－1.
答案－1
二、解答题
4．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，
当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，
解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.
(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由f′(x)＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0交点坐标为0，－6x0.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.

2012届高考数学备考复习教案

高考综合演练3

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合,则是()
(A)(B)
(C)(D)

2．在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（D）
3．已知数列(D)
A．28B．33C．D．
4．已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（B）
A．B．2
C．D．4
5．如图，若是长方体被平面EFCH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且EH//，则下列结论中不正确的是（）
A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形
C.是棱柱D.是棱台

6．二项式的展开式中所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有（）
A、4项B、5项C、6项D、7项
7．将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（）
A．25B．35C.60D．120
8．某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为70分，方差为102，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩和方差分别为（）
A．70，90B．70，114C．65，90D．65，114
9．曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
10．函数是（）
(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数
11．设，且=sinx+cosx，则（）
A．0≤x≤πB．―≤x≤
C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜
12．已知随机变量服从正态分布,若,则
(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记设为数列{}的最大项，则=．
14．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.

15．
已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.
16．设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：，曲线C2参数方程为：(θ
为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是．

三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）
17．若向量，在函数
的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为且当的最大值为1。
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的单调递增区间。

18．已知动圆过定点，且与直线相切。
(l)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

19．如图，直线与相交
于点P。直线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线于点Q1，过点
Q1作y轴的垂线交直线于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线于点Q2，…，
这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…。点Pn（n=1,2,…）的横
坐标构成数列。
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)比较与的大小。

20．如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

21．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
(1)求q的值；
(2)求随机变量的数学期望E;
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

22．(2010届广东高三二模)已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个
实根为,函数在区间上是单调的.
(1)求的值和的取值范围;
(2)若,证明:.

参考答案
一、选择题
1．
2．D
3．D
4．B
5．【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活，全面地考查了考生对知识的理解。
【思路点拨】利用线线平行线线平行线面平行线线平行可以判断A的正误，进而判断其他答案。
【规范解答】选D，若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台与这个图形。
【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的转化，他们之间的转化关系就是我们学习的六个判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化。

6．D
7．B
8．A
9．【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.

10．【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。
【思路点拨】是奇函数C正确
【规范解答】选C因为，所以是最小正周期为π的奇函数

11．B
12．【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先由服从正态分布得出正态曲线关于直线对称,于是得到
与的关系，最后进行求解.
【规范解答】选C，因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.

二、填空题
13．【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值．
【规范解答】
∴
∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．
【答案】4.

14．
15．
16．【解析】将两曲线方程化为直角坐标坐标方程，得C1：，C2：.
因为两曲线有公共点，所以，即－1≤m≤3，故m∈[－1，3].

三、解答题
17．解析：（I）由题意得
∵对称中心到对称轴的最小距离为
的最小正周期为
………………6分
（II）………………10分

18．解析：(1)如图。设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，动点的轨迹方程为
（2）由题可设直线的方程为，
由得
或
设，则
因为以为直径的圆过原点，
则，即，于是
即，
，解得或（舍去）
又，直线存在，其方程为

19．解析：(Ⅰ)证明设点的坐标是由已知条件得
点的坐标分别是：
由在直线上，
得
所以
即
(Ⅱ)解由题设知又由（Ⅰ）知
所以数列是首项为x1—1,公比为的等比数列。
从而即，。
(Ⅲ)解由得点P的坐标为（1，1）。
所以
（当，即或时，
而此时0所以故
当0即时，
而此时所以故

20．解析：解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以∥且.又是中点，
所以∥且,
所以∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.
（Ⅲ）解:取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
.
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
.所以，所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面.
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为,,，，
所以，.
由得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．解析：（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.
根据分布列知:=0时=0.03,所以，q=0.8.
（2）当=2时,P1=
=0.75q()×2=1.5q()=0.24
当=3时,P2==0.01,
当=4时,P3==0.48,
当=5时,P4=
=0.24
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

22．解析：(1):∵,∴.
∵的一个极值点为,∴.
∴.∴,
当时,;当时,;当时,;
∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
∵方程的两个实根为,即的两根为,
∴.
∴,.
∵函数在区间上是单调的,
∴区间只能是区间,,之一的子区间.
由于,故.
若,则,与矛盾.
∴.
∴方程的两根都在区间上.
令,的对称轴为,
则解得.
∴实数的取值范围为.
说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵且函数在区间上是单调的,
∴.
由即解得.∴实数的取值范围为.
(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,
∴函数在区间上的最大值为,最小值为.
∵,
.
令,则,.
设,则.
∵,∴.∴.
∴函数在上单调递增

2012届高考数学备考复习：统计

专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第三讲统计、统计案例

【最新考纲透析】
1．随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性；
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
2．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列表率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
（3）能从样本数据中撮基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释；
（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
3．变量的相关性
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
4．回归分析及独立性检验
了解回归分析的基本思想、方法及简单应用，了解独立性检验（只要求2×2列）的基本思想、方法及简单应用。

【核心要点突破】
要点考向1：随机抽样
考情聚焦：1．随机抽样问题和实际生活紧密相连，是高考考查的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．解决有关随机抽样问题首先要深该理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体；
2．系统抽样中编号的确定和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的内容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命题立意】本题主要考查分层抽样的概念，考查应用所学知识解决实际问题的能力.
【思路点拨】首先计算抽样比例，再计算每层抽取人数.
【规范解答】选D抽样比例为，故各层中依次抽取的人数为人，人，人，人.故选D.
要点考向2：频率分布直方图或频率分布表
考情聚焦：1．频率分布直方图或频率分布表近几年频繁地出现在各地高考题中，是高考的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题。
考向链接：解决该类问题时，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键。频率分布指的是样本数据在各个小范围内所占的比例大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其中
（1）频率分布直方图中纵轴表示，；
（2）在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比；
（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种描述形式，前者准确，后者直观；
（4）众数为最高矩形的底边中点的横坐标；
（5）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（6）平均数等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参
加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。
【命题立意】本题考查频率颁布直方图，抽样方法中的分层抽样。熟练掌握频率颁布直方图的性质，分层抽样的原理是解决本题的关键。
【思路点拨】利用各矩形的面积之和为1可解出。分层抽样时，选算出身高在[140，150]内的学生在三组学生中所占比例，再从18人中抽取相应比例的人数。
【规范解答】各矩形的面积和为：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生人数分别为：30、20、10，人数的比为3：2：1，因此从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为18=3人。
【参考答案】0.0303。
要点考向3：茎叶图
考情聚焦：1．茎叶图是新课标新增内容，与实际生活联系密切，可方便处理数据，在高考中时有考查，茎叶图可能成为高考的热点；
2．三种考查形式均有可能出现，属于容易题。
考向链接：1．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况；
2．在作茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么；
3．根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据平均数的大小号稳定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010马鞍山模拟）为检测学生的体温状况，随机抽取甲，乙两个班级各10名同学，测量他们的体温（单位0.1摄氏度）获得体温数据的茎叶图，如图所示.
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班级的平均体温较高；
（Ⅱ）计算乙班的样本平均数，方差；
（Ⅲ）现在从甲班中随机抽取两名体温不低于36.4摄氏度的同学，
求体温为37.1摄氏度的同学被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均体温：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均体温：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均体温较高.
（Ⅱ）乙班的样本平均数：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班体温不低于36.4摄氏度的有5人，故。
要点考向4：众数、中位数、平均数、方差、标准差
考情聚焦：1．近几年高考加强了对平均数、方差、标准差的考查，这也是高考贴近实际生活的体现，应引起高度重视；
2．三种题型均有可能出现，属容易题。
考向链接：数据的平均数为，方差为，则
（1）数据的平均数是
（2）若的平均数为；的平均数为，则的平均数
（3）或
（4）数据的方差与的方差相等；
（5）数据的方差为。
例4：（2010辽宁高考理科Ｔ18）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
【命题立意】本题考查了古典概型、频率分布直方图、独立性检验等知识。
【思路点拨】（I）
（II）计算小长方形的高，作图
【规范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
……4分
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在频率分布直方图中，小长方形的高是频率与组距的比值，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要点考向5：线性回归方程
考情聚焦：1．近几年高考虽然没有考查线性回归方程，但它在现实生活中有着广泛的应用，应引起重视；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属中、低题目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命题立意】以朴素的题材为背景，让学生感受线性回归的意义，变量之间的变化趋势.
【思路点拨】负相关说明斜率为负，而价格为0时，销量不能为负。
【规范解答】∵商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，∴a0，排除B，D.又∵x=0时，y0,∴答案为A.
【方法技巧】回归问题主要研究变量之间的相关性，变化趋势，分为正相关和负相关，线性相关不是研究变量之间的确定性，而是相关性，即有关联.求斜率和截距常用给定的公式.
要点考向6：独立性检验
考情聚焦：1．独立性检验是新课标的新增内容，2009年辽宁等省高考题对此作了考查，应引起高度重视；
2．呈现方式可以是选择题、填空题、解答题，属容易题。
例6：（2010辽宁高考文科Ｔ18）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命题立意】考查了频率分布直方图、中位数、独立性检验的知识。
【思路点拨】（I）根据频率分布直方图，估计中位的范围，比较中位数的大小。
（II）将各数据代入公式计算，比较
【规范解答】
（I）
可以看出注射药物A后的疱疹面的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后的疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。

（II）
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝70b＝30100
注射药物Bc＝35d＝65100
合计10595n＝200
由于所以有99％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在做频率分布直方图时，一定要注意，小长方形的高表示的是频率与组距的比，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真题探究】
1．（2010陕西高考文科Ｔ4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命题立意】本题考查样本平均数、标准差的概念的灵活应用，属保分题。
【思路点拨】直接观察图像易得结论，不用具体的运算
【规范解答】选B由图易得＜，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB
【方法技巧】统计内容有抽样方法、样本特征数（均值、方差，直方图等）、回归分析、预测（应用）等，体现算法思想．弄清基本概念，原理，计算方法等．
2．（2010山东高考理科Ｔ6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为
(A)(B)(C)(D)2
【命题立意】本题考查用样本的平均数、方差,考查了考生的运算求解能力.
【思路点拨】先由平均值求出a，再利用方差的计算公式求解.
【规范解答】选D,由题意知,解得,所以样本方差为
=2,故选D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命题立意】本题考查中位数与平均数的求解。
【思路点拨】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数。
【规范解答】选A，数据从小到大排列后可得其中位数为，平均数为。
【方法技巧】给出实际数据求解中位数和平均数等数据特征相对较为容易，但是同学也要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”，会用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数。
1.众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；
2.中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数。
3.平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4．（2010广东高考理科Ｔ7）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命题立意】本题考察随机变量的正态分布的意义。
【思路点拨】由已知条件先求出，再求出的值。
【规范解答】选

5．（2010广东高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.
【命题立意】本题考察统计中基本特征量的意义以及变量间的关系.
【思路点拨】按大小排列出收入数据的顺序，找出中间的那个数据.
【规范解答】收入数据按大小排列为：、、、、，所以中位数为13.
【参考答案】正向.
6．（2010陕西高考理科Ｔ19）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。
【命题立意】本题考查了分层抽样的概念、条形图的识别、概率的简单求法等基础知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
【思路点拨】读懂频数条形图是解题的关键
【规范解答】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故由估计该校学生身高在170~180cm之间的概率
（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，则

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在［50,60)元的同学有30人,则n的值为()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时，得到了以下数据：
下列结论中正确的一项是（）
(A)有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(B)有99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(C)有99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(D)没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效
4.如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字),由图可知:（）
(A)甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高
(B)甲、乙中位数的和为17.8,甲稳定性高
(C)甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高
(D)甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高
5.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg),得到频率分布直方图如图：
根据图可得这100名学生中体重在［56.5,64.5）的学生人数是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为______.
8．某学校有初中生1100人，高中生900人，教师100人，现对学校的师生进行样本容量为的分层抽样调查，已知抽取的高中生为60人，则样本容量________
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数,并说明它在乙组数据中的含义;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
11.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均为优秀的概率;
②若这8位同学的数学、物理分数对应如表:
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.
参考公式：相关系数
回归直线的方程是：
其中；其中是与对应的回归估计值。
参考数据：
12.(探究创新题)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件,根据上面的数据判定,产品是否合格与设备是否改进有没有关系?

参考答案
1．【解析】选B.由频率分布直方图知,支出在［50,60)元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】选C.甲的中位数为28，乙的中位数为36.所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
3．【解析】选A.
因为6.6233.841，所以有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效.
4．【解析】选A.由茎叶图知甲的中位数是9.05,乙的中位数是9.15,故甲、乙中位数的和为18.2,看茎叶图知乙稳定性比甲高,故选A.
5．
6．【解析】选C.通过观察图象知：体重在［56.5,64.5）的频率为(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故体重在［56.5,64.5）的学生人数是0.4×100=40.
7．【解析】由题意知,学号组成以=14为公差的等差数列,故还有一个同学的学号为20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)茎叶图如下:
学生乙成绩中位数为84,它是这组数据最中间位置的两个数的平均数.(中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中)
甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适。
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）=。
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从二项分布
故的分布列为
11．[解析]（1）应选女生（位），男生3（位），可以得到不同的样本个数是。
（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均成优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是，然后使剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是。根据乘法原理，满足条件的种数是。这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种。故所求的概率
②变量y与x的相关系数是可以看出，物理与数学成绩是高度正相关。以数学成绩x为横坐标，物理作散点图如图所示。
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关。
设y与x的线性回归方程为
根据所给的数据，可以计算出
所以y与x的线性回归方程是
12．【解析】由已知数据得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握认为产品是否合格与设备是否改造是有关的.

【备课资源】
1.以下五个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
④在回归直线方程=0.1x+10中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量增加0.1个单位
⑤在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.
其中正确的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】选A.①描述的抽样方法应该是系统抽样,故①错误.
2.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】选A.根据频率分布直方图的意义,成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有()
(A)100辆(B)200辆(C)300辆(D)400辆
【解析】选C.由频率分布直方图知速度不小于90km/h的频率为1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽车约有1000×0.3=300辆.
4.下图是甲、乙两种玉米生长高度抽样数据的茎叶图,设甲的中位数为a,乙的众数为b,则a与b的大小关系为________.
【解析】由茎叶图知,甲的中位数是26,乙的众数为26,故a=b.
答案:a=b
5.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图：据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为________.
【解析】由茎叶图知,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为6,频率为,故估计200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的有200×=60人.
答案:60

2012届高考数学备考复习概率、随机变量及其分布列教案

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2012届高考数学备考复习概率、随机变量及其分布列教案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第二讲概率、随机变量及其分布列
【最新考纲透析】
1．概率
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）理解古典概型及其概率计算公式。
（4）了解几何概型的意义。
（5）了解条件概率。
2．两个事件相互独立，n次独立重复试验
（1）了解两个事件相互独立的概念；
（2）理解n次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题；
3．离散型随机变量及其分布列
（1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。
（2）理解二项分布，并解决一些简单问题。
4．离散型随机变量的均值、方差
（1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；
（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

【核心要点突破】
要点考向1：古典概型
考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查。
2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。
2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。
3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。
例1：（2010北京高考文科Ｔ3）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则ba的概率是（）
（A）(B)（C）(D)
【命题立意】本题考查古典概型，熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键。
【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数，再求出事件“”包含的基本事件数，从而。
【规范解答】选D。，包含的基本事件总数。事件“”为，包含的基本事件数为。其概率。
【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树图等。
要点考向2：几何概型
考情聚焦：1．几何模型是新课标新增内容，预计今后会成为新课标高考的增长点，应引起高度重视。
2．易与解析几何、定积分等几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题目。
考向链接：1．当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解。
2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。
例2：（2010湖南高考文科Ｔ11）在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为。
【命题立意】以非常简单的区间立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害。
【思路点拨】一元几何概型→长度之比
【规范解答】[-1，2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是.
【方法技巧】一元几何概型→长度之比，二元几何概型→面积之比，三元几何概型→体积之比
要点考向3：条件概率
考情聚焦：1．条件概率是新课标新增内容，在2007年山东高考重点亮相过，预计在今后课改省份高考中会成为亮点。
2．常出现在解答题中和其他知识一同考查，当然也会在选择题、填空题中单独考查。
考向链接：（1）利用公式是求条件概率最基本的方法，这种方法的关键是分别求出P（A）和P（AB），其中P（AB）是指事件A和B同时发生的概率。
（2）在求P（AB）时，要判断事件A与事件B之间的关系，以便采用不同的方法求P（AB）。其中，若，则P（AB）=P（B），从而
例3：（2010安徽高考理科Ｔ15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关。
【命题立意】本题主要考查概率的综合问题，考查考生对事件关系的理解和条件概率的认知水平．
【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B的概率转化为可辨析此题。
【规范解答】显然是两两互斥的事件，
有，，，
而
，
且，，有
可以判定②④正确，而①③⑤错误。
【答案】②④
要点考向4：复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差
考情聚焦：1．复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差是每年高考必考的内容，与生活实践联系密切。
2．多以解答题的形式呈现，属中档题。
例4：（2010湖南高考理科Ｔ4）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图
（Ⅰ）求直方图中x的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。
【命题立意】以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和期望等统计知识.
【思路点拨】频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率；随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力概型.
【规范解答】（1）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.
（2）由题意知，X～B(3，0.1).
因此P(x=0)=P(X=1)=
P(X=2)=P(X=3)=
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
X的数学期望为EX=3×0.1=0.3.
【方法技巧】1、统计的常用图：条形图，径叶图；直方图，折线图等。要学会识图.2、概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标时间如何用基本事件表示出来，最后利用对立事件、对立事件和互斥事件进行运算.3、在求期望和方差时注意使用公式.
注：（1）求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解。
（2）一个复杂事件若正面情况比较多，反而情况较少，则一般利用对立事件进行求解。对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解。
（3）求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率。
（4）求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解。

【高考真题探究】
1．（2010辽宁高考理科Ｔ3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）
（A）(B)(C)(D)
【命题立意】本题考查独立事件同时发生的概率，
【思路点拨】恰有一个一等品，包含两类情况，
【规范解答】选B.所求概率为。
【方法技巧】1、要准确理解恰有一个产含义，
2、事件A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)
3、本题也可用对立事件的概率来解决。所求概率p=1-.

2．（2010福建高考理科Ｔ13）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。
【命题立意】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解。
【思路点拨】分析题意可得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，进而求解“相互独立事件同时发生的概率”。
【规范解答】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，所以其概率.

3．（2010江苏高考Ｔ3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是___.
【命题立意】本题考查古典概型的概率求法。
【思路点拨】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数，再求出所摸两只球颜色不同的方法数，最后代入公式计算即可。
【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球，共有种情况，而摸两只球颜色不同的种数为种情况，故所求的概率为
【答案】

4．（2010湖北高考文科Ｔ13）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）.
【命题立意】本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率，考查考生的分类讨论思想和运算求解能力．
【思路点拨】“4个病人服用某种新药”相当于做4次独立重复试验，“至少3人被治愈”即“3人被治愈”，“4人被治愈”两个互斥事件有一个要发生，由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案.
【规范解答】4个病人服用某种新药3人被治愈的概率为：；
4个病人服用某种新药4人被治愈的概率为：，故服用这种新药的4个
病人中至少3人被治愈的概率为.
【答案】0.9477.
【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法：1、将该事件分解为若干个互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解；2、考虑对立事件。如:本题也可另解为

5．（2010重庆高考文科Ｔ１4）加工某一零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为.
【命题立意】本小题考查概率、相互独立试验等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想.
【思路点拨】加工零件需要完成三道工序，考虑问题的对立事件，加工出合格零件则需要三道工序都是合格品.
【规范解答】因为第一、二、三道工序的次品率分别为、、，所以第一、二、三道工序的正品率分别为，所以加工出来的零件的次品率为
【答案】.
【方法技巧】当所求事件的情形较多时，它的对立事件的情形较少，采用对立事件求解就是“正难则反易”的方法.

6．（2010重庆高考文科Ｔ17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,…,6），求：
（1）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用，考查运算求解能力，及分类讨论的数学思想.
【思路点拨】先求出事件的总的基本事件的个数，再求出符合题意要求的基本事件的个数，最后计算概率.
【规范解答】（方法一）考虑甲乙两个单位的排列顺序，甲乙两个单位可以排列在6个位置中的任意两个位置，有种等可能的结果；
（1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是,所以；
（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则表示事件“甲乙两单位的演出序号相邻”，事件包含的基本事件的个数是,
所以
（方法二）不考虑甲乙两个单位的排列顺序，甲乙两个单位可以在6个位置中的任选两个位置，有种等可能的结果；
（1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是,所以；
（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则表示事件“甲乙两单位的演出序号相邻”，事件包含的基本事件的个数是5,所以.
（方法三）考虑所有单位的排列位置，各单位的演出顺序共有(种)情形；
（1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是,所以；
（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则表示事件“甲乙两单位的演出序号相邻”，事件包含的基本事件的个数是,
所以.

【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为()
（A）（B）（C）（D）
2．已知函数、都是定义在上的函数，且(且)，，在有穷数列()中，任意取正整数，则其前项和大于的概率是()
A.B.C.D.
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x、y，则的概率为（）A．B．C．D．
4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表:
组别

频数1213241516137
则样本数据落在上的频率为
A．0.13B．0.39C．0.52D．0.64
5．（2010届安徽省合肥高三四模（理））从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为（）
A．B．C．D．
6．（2010届杭州五中高三下5月模拟（理））将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为（）
A．B．C．D．

二、填空题（每小题6分，共18分）
7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外兴趣小组，每名同至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人．
8．从5名世博志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种.
9.已知集合A={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},集合B={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤4,x,y∈Z},在集合A中任取一个元素p,则p∈B的概率是_______.

三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)

10.一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸出两个球，两个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率P;
(2)若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;
(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率记为P3(1),当n取多少时,P3(1)值最大?

11．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）。
（1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；
（2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率。

12．大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：
根据上表：（I）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；
（II）设一周内有数学作业的天数为，求随机变量的分布列和数学期望。
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．C
6．C
7．8
8．48
9．【解析】集合A中共有25个元素,既属于集合A又属于集合B的元素为(0,2),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1)，(2,2),共6个，故所求概率为P=.
答案:

11．解析：（1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法。
由不等式
所以，于是所求概率为
（2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下：
（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）
（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）
设第n号与第m号的两个球的重量相等，
则有
故所求概率为

12．解析：（I）设周五有语文、数学、外语三科作业分别为事件A1、A2、A3周五没有语文、数学、外语三科作业为事件A，则由已知表格得
、、
（II）设一周内有数学作业的天数为，则
所以随机变量的概率分布列如下：
3．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为_______.
【解析】展开式共有11项,其中第1,3,9,11项系数为奇数,故所求概率为P=.
答案：
4.平面区域U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},M={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域U内随机投一点P,则点P落入区域M的概率为________.
【解析】本题考查了线性规划知识及几何概型求概率等知识.如图，作出两集合表示的平面区域，
容易得出U所表示的平面区域为三
角形AOB及其边界，M表示的区域
为三角形OCD及其边界.
容易求得D（4，2）恰为直线x=4,
x-2y=0,x+y=6的交点.
6.一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收,抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.
(1)求这箱产品被用户接收的概率;
(2)记抽检的产品件数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
7.袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的卡片各1张,从中任取两张卡片,其标号分别记为x,y(其中x＞y).
(1)求这两张卡片的标号之和为偶数的概率;
(2)设ξ=x-y,求随机变量ξ的概率分布列与数学期望.

文章来源：http://m.jab88.com/j/51865.html

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