一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境,减轻教师们在教学时的教学压力。写好一份优质的教案要怎么做呢?以下是小编收集整理的“2012届高考数学第二轮备考复习:散型随机变量的概率分布”,仅供参考,希望能为您提供参考!
题型八离散型随机变量的概率分布,均值与方差
(推荐时间:30分钟)
1.(2011盐城模拟)已知某投资项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是x(0x1),设该项目产品价格在一年内进行3次独立的调整,记该项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,若对该项目投资十万元,则一年后相应利润η(单位:万元)如下表所示:
ξ0123
η210-1
(1)求η的概率分布;
(2)若η的数学期望超过1万元时,才可以投资,则x在什么范围内就可以投资?
2.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人.现采用分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的概率分布及数学期望.
答案
1.解(1)η的值为2,1,0,-1.
P(η=2)=C03x0(1-x)3=(1-x)3,
P(η=1)=C13x(1-x)2=3x(1-x)2.
P(η=0)=C23x2(1-x)=3x2(1-x),
P(η=-1)=C33x3=x3.
∴η的概率分布为:
η210-1
P(1-x)33x(1-x)23x2(1-x)x3
(2)E(η)=2(1-x)3+3x(1-x)2-x3=2-3x.
令2-3x1,得x13,
所以当0x13时,就可以投资.
2.解(1)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.
(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,
则P(A)=C14C16C210=815.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2.
B表示事件:从乙组抽取的是1名男工人.
Ai(i=0,1,2)与B独立,
P(ξ=0)=P(A0B)=P(A0)P(B)=C24C210C13C15=675,
P(ξ=1)=P(A0B+A1B)
=P(A0)P(B)+P(A1)P(B)
=C24C210C12C15+C16C14C210C13C15=2875,
P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)P(B)=C26C210C12C15=1075,
P(ξ=2)=1-[P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)]=3175.
故ξ的概率分布为
ξ0123
P675
2875
3175
1075
E(ξ)=0×675+1×2875+2×3175+3×1075=85.
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助教师缓解教学的压力,提高教学质量。所以你在写教案时要注意些什么呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“高二数学.1随机变量及其概率分布学案”,欢迎阅读,希望您能够喜欢并分享!
§2.1随机变量及其概率分布
一、知识要点
1.随机变量
2.随机变量的概率分布:
⑴分布列:;
⑵分布表:
……
这里的满足条件.
3.两点分布
二、典型例题
例1.⑴掷一枚质地均匀的硬币1次,若用表示掷得正面的次数,则随机变量的可能取值有哪些?
⑵一实验箱中装有标号为1,2,3,4,5的5只白鼠,若从中任取1只,记取到的白鼠的标号为,则随机变量的可能取值有哪些?
例2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球,用表示“取到的白球个数”即,求随机变量的概率分布.
例3.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两颗骰子中出现的较大点数的概率分布,并求大于2小于5的概率.
例4.将3个小球随机地放入4个盒子中,盒子中球的最大个数记为,求⑴的分布列;⑵盒子中球的最大个数不是1的概率.
三、巩固练习
1.设随机变量的概率分布列为,则常数等于.
2.掷一枚骰子,出现点数是一随机变量,则的值为.
3.若离散型随机变量的分布列见下表,则常数=.
4.设随机变量的分布列为.
求:⑴;⑵;⑶.
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.设随机变量的分布列为,则=.
2.把3个骰子全部掷出,设出现6点的骰子的个数为,则=.
3.设是一个随机变量,其分布列为,则=.
4.设随机变量的分布列为为常数,则
=.
5.在0—1分布中,设,则=.
6.已知随机变量的概率分布如下:
-1-0.501.83
0.10.20.10.3
求:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.
7.袋中有5只乒乓球,编号为1至5,从袋中任取3只,若以表示取到的球中的最大号码,试写出的分布列.
8.设随机变量只能取5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的机会是均等的.试求:
⑴;⑵;⑶.
一名优秀的教师就要对每一课堂负责,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?以下是小编为大家收集的“新人教A版选修2-3离散型随机变量及其分布列教案1”仅供参考,希望能为您提供参考!
2.1.2离散型随机变量的分布列
教学目标:
知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
教学重点:离散型随机变量的分布列的概念
教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列
授课类型:新授课
课时安排:2课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量,是常数,则也是随机变量并且不改变其属性(离散型、连续型)
请同学们阅读课本P5-6的内容,说明什么是随机变量的分布列?
二、讲解新课:
1.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1,x2,…,x3,…,
ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列
2.分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足:,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:
⑴Pi≥0,i=1,2,…;
⑵P1+P2+…=1.
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即
3.两点分布列:
例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令
如果针尖向上的概率为,试写出随机变量X的分布列.
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是().于是,随机变量X的分布列是
ξ01
P
像上面这样的分布列称为两点分布列.
两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布(two一pointdistribution),而称=P(X=1)为成功概率.
两点分布又称0一1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利(Bernoulli)试验,所以还称这种分布为伯努利分布.
,
,
,.
4.超几何分布列:
例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求:
(1)取到的次品数X的分布列;
(2)至少取到1件次品的概率.
解:(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为,从100件产品中任取3件,
其中恰有k件次品的结果数为,那么从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为
。
所以随机变量X的分布列是
X0123
P
(2)根据随机变量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率
P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
≈0.13806+0.00588+0.00006
=0.14400.
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为
,
其中,且.称分布列
X01…
P
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布(hypergeometriCdistribution).
例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.
解:设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)十P(X=5)
=≈0.191.
思考:如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右,那么应该如何设计中奖规则?
例4.已知一批产品共件,其中件是次品,从中任取件,试求这件产品中所含次品件数的分布律。
解显然,取得的次品数只能是不大于与最小者的非负整数,即的可能取值为:0,1,…,,由古典概型知
此时称服从参数为的超几何分布。
注超几何分布的上述模型中,“任取件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取件”.如果是有放回地抽取,就变成了重贝努利试验,这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样,还是有放回地抽样.若产品总数很大时,那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此,当时,超几何分布的极限分布就是二项分布,即有如下定理.
定理如果当时,,那么当时(不变),则
。
由于普阿松分布又是二项分布的极限分布,于是有:
超几何分布二项分布普阿松分布.
例5.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列.
分析:欲写出ξ的分布列,要先求出ξ的所有取值,以及ξ取每一值时的概率.
解:设黄球的个数为n,由题意知
绿球个数为2n,红球个数为4n,盒中的总数为7n.
∴,,.
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ10-1
说明:在写出ξ的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为1.
例6.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
分析:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”、“ξ=8”、“ξ=9”、“ξ=10”的和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
解:根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有
P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28,P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22.
所求的概率为P(ξ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88
四、课堂练习:
某一射手射击所得环数分布列为
45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率
解:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”,“=8”,“=9”,“=10”的和,根据互斥事件的概率加法公式,有:
P(≥7)=P(=7)+P(=8)+P(=9)+P(=10)=0.88
注:求离散型随机变量的概率分布的步骤:
(1)确定随机变量的所有可能的值xi
(2)求出各取值的概率p(=xi)=pi
(3)画出表格
五、小结:⑴根据随机变量的概率分步(分步列),可以求随机事件的概率;⑵两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布,它是概率论中最重要的几种分布之一(3)离散型随机变量的超几何分布
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
预习提纲:
⑴什么叫做离散型随机变量ξ的数学期望?它反映了离散型随机变量的什么特征?
⑵离散型随机变量ξ的数学期望有什么性质?
文章来源:http://m.jab88.com/j/52045.html
更多