作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“2012届高考数学第二轮备考立体几何中的空间角问题复习”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

题型五立体几何中的空间角问题
(推荐时间：30分钟)
1.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

2．(2011湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B—PA—C的余弦值．

答案
1．(1)证明设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz，
则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，
D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．
因为F为CD的中点，
所以F32a，32a，0.
AF→＝32a，32a，0，BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a,0，－a)．
因为AF→＝12(BE→＋BC→)，AF平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)证明因为AF→＝32a，32a，0，CD→＝(－a，3a,0)，ED→＝(0,0，－2a)，
故AF→CD→＝0，AF→ED→＝0，所以AF→⊥CD→，AF→⊥ED→.
所以AF→⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
(3)解设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)．由nBE→＝0，nBC→＝0，
可得x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，
取n＝(1，－3，2)．
又BF→＝32a，32a，－a，
设BF和平面BCE所成的角为θ，
则sinθ＝|BF→n||BF→||n|＝2a2a22＝24.
所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24.
2.方法一(1)证明如图，连结OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，
所以AC⊥PO.
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD，
而AC平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
(2)解在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
所以OH⊥平面PAC.
又PA平面PAC，所以PA⊥OH.
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，
则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，
故∠OGH为二面角B—PA—C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OAsin45°＝22.
在Rt△POD中，
OH＝POODPO2＋OD2＝2×222＋12＝105.
在Rt△POA中，
OG＝POOAPO2＋OA2＝2×12＋1＝63.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝10563＝155.
所以cos∠OGH＝1－sin2∠OGH＝1－1525＝105.
故二面角B—PA—C的余弦值为105.
方法二(1)证明如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
P(0,0，2)，D－12，12，0.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1OD→＝0，nOP→＝0，
得－12x1＋12y1＝0，2z1＝0.所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2PA→＝0，n2PC→＝0，
得－x2－2z2＝0，y2－2z2＝0.所以x2＝－2z2，y2＝2z2.取z2＝1，得n2＝(－2，2，1)．
因为n1n2＝(1,1,0)(－2，2，1)＝0，所以n1⊥n2.
从而平面POD⊥平面PAC.
(2)解因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－2，2，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝n2n3|n2||n3|＝25＝105.
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与θ相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为105.

扩展阅读

2012届高考数学备考立体几何复习教案

专题四：立体几何
阶段质量评估（四）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（）
A．B．
C．D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如图，设平面，垂足分别为，若增加一个条件，就能推出.
现有①②与所成的角相等;
③与在内的射影在同一条直线上;④∥.
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）
个个个个
4．已知直线和平面，则下列命题正确的是()
AB
CD
5．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）
A．B．C．D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
8．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是()
A.B.
C.直线∥D.直线所成的角为45°
9．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）
..∥截面
..异面直线与所成的角为
11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）
A.B.
C.D.
12．如图，为正方体，下面结论错误的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为．(结果用反三角函数值表示)
15．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是．
16．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．

三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为.
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.

18．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

19．如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，
是线段的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当取何值时，直线PN与平面ABC
所成的角最大？并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°，试确定点P的位置。

21．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

22．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．

参考答案
一、选择题
1.【解析】选A.。
2.【解析】选D.①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3.C
4.【解析】选B.对A，，
对C画出图形可知，对D，缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】选C.由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】选.由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.

11.【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。
二、填空题
13.【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，设长方体的高为x，则，所以，所以长方体的体积为3。
答案：3

14.
15.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角
的平面角.根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点
Q，都有∠POQ≥45°，∴，设PO=，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中应有
PCPH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角的范围是。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范围是。
答案：

三、解答题
17.【解析】（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2）设AB=x，
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DEC的法向量，
设平面D1EC的法向量，则
由题意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DEC的一个法向量.
设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）∵∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由
∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，
∴又点，，∴
∴，且与不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴为平面的法向量．
∵，，
∴为平面的法向量．
∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为．

20.解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系
则2分
从而
所以…………3分
（II）平面ABC的一个法向量为
则
（※）…………5分
而
由（※）式，当…………6分
（III）平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
解得11分
故点P在B1A1的延长线上，且…………12分

21.解法一：（I）证明：连结，为等边三角形，为的中点，
，和为等边三角形，为的中点，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）过作于连结，
平面，在平面上的射影为
为二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：设点到平面的距离为，
，
在中，，
而
点到平面的距离为．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面，平面的法向量
设平面的法向量，
由
设与夹角为，则
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设平面的法向量为又
设与夹角为，则
设到平面的距离为，
到平面的距离为．

22.【解析】解法一：
（I）由题意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一

2012届高考数学不等式第二轮备考复习

第4讲不等式
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．(2011广东改编)不等式2x2－x－10的解集是____________________．
2．(2011上海)不等式x＋1x≤3的解集为____________．
3．“a＋cb＋d”是“ab且cd”的________条件．
4．不等式x2－43|x|的解集是____________．
5．已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则1x＋1y的最小值为________．
6．设命题甲：ax2＋2ax＋10的解集是实数集R；命题乙：0a1.则命题甲是命题乙成立的______________条件．
7．(2011浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
8．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则当yx37时，实数x，y满足的不等式组为____________．
9．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．
10．若关于x的不等式(2x－1)2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．
11．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是________．
12．若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.
二、解答题
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．
14.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

15．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)0.
答案
1．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2.x|x≥12或x0
3．必要不充分4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．226．必要不充分
7.2338.3x－7y0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0
9．410.259，491611．－5212．①③⑤
13．解(1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a0，由f(x)0，
解得A＝－1a，0.
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，
因为集合B是集合A的子集，
所以－1a≤－a－4，a－4≤0，
－2－5≤a≤－2＋5，a≤4，
解得0a≤－2＋5.
14．解设每间虎笼的长、宽分别为xm、ym．则s＝xy.
(1)由题意知：4x＋6y＝36，
∴2x＋3y＝18.
又2x＋3y≥26xy，
∴xy≤(2x＋3y)224＝18224＝272，
当且仅当2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3时，s＝xy最大，
∴每间虎笼的长为4.5m，宽为3m时，每间虎笼面积最大．
(2)由题意知xy＝24，
4x＋6y≥224xy＝48，
当且仅当4x＝6y时，取得等号成立．
由4x＝6yxy＝24得x＝6，y＝4，
∴每间虎笼的长为6m，宽为4m时，
可使钢筋网总长最小．
15．解(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，
∵f′(x)＝ax2－12x＋c.
又f′(1)＝0，∴a＋c＝12.
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
即ax2－12x＋c≥0恒成立，
∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，
显然当a＝0时，上式不恒成立．
∴a≠0，
∴a0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a0，a2－12a＋116≤0，即a0，(a－14)2≤0，
解得：a＝14，c＝14.
(2)∵a＝c＝14.
∴f′(x)＝14x2－12x＋14.
f′(x)＋h(x)0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－140，
即x2－(b＋12)x＋b20，
即(x－b)(x－12)0，
当b12时，解集为(12，b)，
当b12时，解集为(b，12)，
当b＝12时，解集为.

2012届高考数学第二轮数列备考复习教案

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容具体要怎样写呢？小编为此仔细地整理了以下内容《2012届高考数学第二轮数列备考复习教案》，相信能对大家有所帮助。

2012届高考数学二轮复习资料
专题三数列（教师版）
【考纲解读】
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
【考点预测】
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【要点梳理】
1.证明数列是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：为常数；（2）等差中项法：.
2.证明数列是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：(非零常数)；（2）等差中项法：.
3.常用性质:(1)等差数列中,若,则;
(2)等比数列中,若,则.
4.求和:
(1)等差等比数列,用其前n项和求出;
(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质.
【考点在线】
考点1等差等比数列的概念及性质
在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则.
（2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；
（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列.
（4）在等差数列中，；.
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
例1.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则
.
【答案】74
【解析】，故
【名师点睛】本题考查等差数列的性质.
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.
考点2数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项.
再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.
例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=()
（A）3×44（B）3×44+1
(C)44（D）44+1
【答案】A
【解析】由题意，得a2=3a1=3.当n≥1时，an+1=3Sn(n≥1)①，所以an+2=3Sn+1②，
②-①得an+2=4an+1，故从第二项起数列等比数列，则a6=3×44.
【名师点睛】本小题主要考查与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.
【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点.
练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为（）[Z
（A）2（B）4（C）8（D）16
【答案】B
【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16①，a2a3=162②，②÷①，得q2=16.因为a12q=160,a120，则q0，q=4.
考点3数列的通项公式与前n项和公式的应用
等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.
例3.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是.
【答案】
【解析】由题意：，
【答案】A
【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式.
考点4.数列求和
例4.(山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题)
已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求.
【解析】（1）设的公比为,由,得所以
设的公差为，由得,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键.
练习4.（2010年高考山东卷文科18）
已知等差数列满足：，.的前n项和为.
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
考点5等差、等比数列的综合应用
解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[
当时，即；
所以当时，；当时，.
【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键.
练习5.(2011年高考天津卷文科20)
已知数列与满足,,且.
（Ⅰ）求的值;
(Ⅱ)设,,证明是等比数列;
(Ⅲ)设为的前n项和,证明.
【解析】（Ⅰ）由,可得
,,
当n=1时,由,得;
当n=2时,可得.
(Ⅱ)证明:对任意,--------①
---------------②
②-①得:,即,于是,所以是等比数列.
(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,
=2+3(2+)=2+,故对任意,,
由①得所以,,
因此,,于是,
故=,
所以.
【易错专区】
问题：已知,求时,易忽视的情况
例.（2010年高考上海卷文科21）
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
【考题回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则（）
（A）15(B)12(C)(D)
【答案】A
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故.故选A.
2.（2011年高考江西卷文科5)设{}为等差数列，公差d=-2，为其前n项和.若，则=（）
A.18B.20C.22D.24
【答案】B
【解析】.
3.(2011年高考江西卷理科5)已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=（）
A．1B．9C.10D．55
【答案】A
【解析】因为,所以令,可得;令,可得;同理可得,,,
,所以=,故选A.
4.(2011年高考四川卷理科8)数列的首项为，为等差数列且.若则，，则()
（A）0（B）3（C）8（D）11
【答案】B
【解析】由已知知由叠加法.
5．（2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）
(A)(B)7(C)6(D)
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以.
6．（2010年高考全国卷Ⅱ文科6）如果等差数列中，++=12，那么++…+=（）
（A）14(B)21(C)28(D)35
【答案】C
【解析】∵，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5题）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是高.（）
【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
9．（2009年高考湖南卷文科第3题）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()
A．13B．35C．49D．63
【答案】C
【解析】故选C.
或由,
所以故选C.
10.（2009年高考福建卷理科第3题）等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于()
A．1BC.-2D3
【答案】C
【解析】∵且.故选C
11．（2009年高考江西卷理科第8题）数列的通项，其前项和为，则为()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于以3为周期,故
故选A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）
A.1升B.升C.升D.升
【答案】D
【解析】设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：，所以选B.
13.(2011年高考湖南卷理科12)设是等差数列的前项和，且，，则.
【答案】25
【解析】因为，，所以，则.故填25
14.(2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.
【答案】10
【解析】由题得.
【解析】则
于是令得，则，时递增，令得，则，时递减，故是最大项，即.
17.（2011年高考江西卷文科21)(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，
若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为
的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由．
【解析】（1）要唯一，当公比时，由且，
，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合
综上：。
（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：
要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列.
18.（2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为,则,由，可得，解得
,从而.
（II）由（I）可知,所以,由Sk=-35，可得,
即,解得或,又,故.
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值的表达式；
（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
【解析】（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
20.（2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）
已知﹛﹜是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前项和.
（Ⅰ）当成等差数列时，求q的值；
(Ⅱ)当，，成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列.
【解析】（Ⅰ）当时，，因为成等差数列，所以，解得，因为，故；
当时，，由成等差数列得，得，即，.
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小题满分14分）
在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，证明.
【解析】（I）证明：由题设可知，，，，，.从而，所以，，成等比数列.
（II）解：由题设可得
所以
.
由，得，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。
（III）证明：由（II）可知，，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m
若，则，
若，则
.
所以，从而
（2）当n为奇数时，设。
所以，从而
综合（1）和（2）可知，对任意有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小题共13分）
已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小题满分14分）
正实数数列中，，，且成等差数列．
（1）证明数列中有无穷多项为无理数；
（2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和．
【解析】证明：（1）由已知有：，从而，
方法一：取，则．
用反证法证明这些都是无理数．
假设为有理数，则必为正整数，且，
故．，与矛盾，
所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数；
方法二：因为，当得末位数字是3,4,8,9时，的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．
（2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足
即时，为整数；同理有
也满足
即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有，
由有．
设中满足的所有整数项的和为，则
．
24.(2010年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0.
（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围.
【解析】(Ⅰ)解：由题意知S6==-3,
A6=S6-S5=-8所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7
(Ⅱ)解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)设数列的前n项和，则的值为()
（A）15(B)16(C)49（D）64
【答案】A
【解析】.
3．（2010年高考山东卷文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的()
（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比数列中，，，，则
A．B．C．D．
5．（2010年高考辽宁卷文科3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比()
（A）3（B）4（C）5（D）6
【答案】B
【解析】两式相减得，，.

6．（2010年高考广东卷文科4）已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，
且与的等差中项为，则S5=w()
A．35B．33C．31D．29
7．（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列中，，则的值为()
（A）5（B）6
（C）8（D）10
【答案】A
【解析】由角标性质得，所以=5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则()
A.B.C.D
【答案】C
二．填空题：
13．（2009年高考北京卷文科第10题）若数列满足：，则
；前8项的和.（用数字作答）
【答案】255
【解析】，
易知.
14．（2010年高考辽宁卷文科14）设为等差数列的前项和，若，则。
【答案】15
【解析】由,解得，
15．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试理科)已知数列是公比为的等比数列，集合，从中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有．
【答案】
【解析】以公比为的等比数列有…共组；
以公比为的等比数列有…共组；
以公比为的等比数列有共组.
再考虑公比分别为的情形，可得得到4个数的不同的等比数列共有个.
三．解答题：
17.（2009年高考山东卷理科第20题）（本小题满分12分）
等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）当b=2时，记,求数列的前n项和.
(理科)（Ⅱ）当b=2时，记,证明：对任意的，不等式成立
【解析】(Ⅰ)由题意知:,
当时,,
由于且所以当时,{}是以为公比的等比数列,
又,,即解得.
(理科)(Ⅱ)∵,∴当时,,
又当时,,适合上式,∴,,
∴,
下面用数学归纳法来证明不等式:
证明:(1)当时,左边=右边,不等式成立.
(2)假设当时,不等式成立,即,
则当时,
不等式左边=
所以当时,不等式也成立,
综上(1)(2)可知:当时,不等式恒成立,
所以对任意的,不等式成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,所以=,
,
+,
两式相减得:
,
故=.
（Ⅱ）因为，…10分
所以
．…14分
19．（天津市南开中学2011年3月高三月考文科）已知数列的前以项和为且对于任意的恒有设
(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式和
(3)若证明：
【解析】(1)当n=l时，得
当时，两式相减得：
是以为首项，2为公比的等比数列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由为正项数列，所以也为正项数列，
从而所以数列递减，
所以…12分
另证：由
所以
20．(天津市红桥区2011届高三一模文科)（本题满分14分）
设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求证：。
【解析】（1）由,
（2）数列为等差数列，公差
从而
从而
21.(山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科)
已知{an}是递增的等差数列，满足a2a4=3,a1+a5=4.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和公式；
(2)设数列{bn}对n∈N*均有成立，求数列{bn}的通项公式.
22.(山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟理科)已知数列满足，且，为的前项和.
(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ)对任意,都有，所以
则成等比数列,首项为，公比为…………2分
所以，…………4分
(Ⅱ)因为
所以…………6分
因为不等式，化简得对任意恒成立…………7分
设，则…………8分
当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列
,所以,时,取得最大值…………11分
所以,要使对任意恒成立，…………12分

2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助授课经验少的高中教师教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

题型九函数的单调性、最值、极值问题
(推荐时间：30分钟)
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值5，其导函数的图象经过(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的极大值．
2．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
答案
1．解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)观察图象，我们可发现当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)0，此时f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数，
因此在x＝2处函数取得极小值．
结合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再结合f′(x)的图象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a即2b＝－9a，c＝6a.
联立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1处函数取得极大值，
∴f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞

f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)当x∈0，1e时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是－1e，0；
当x∈1e，＋∞时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是－1e，＋∞，
下面讨论f(x)－m＝0的解，
当m－1e时，原方程无解；
当m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
当－1em0时，原方程有两解．

文章来源：http://m.jab88.com/j/52036.html

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