一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的教案呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案”，希望能为您提供更多的参考。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2点与直线、直线与直线的位置关系
考纲要求
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．
(1)两直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2________________.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2__________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2k1k2＝____.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2____________.
2．两直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.
3．有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝____________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
(3)两平行线间的距离
已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：
①求一条直线上一点到另一条直线的距离；
②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.
4．对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为____________．
(2)中心对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得______．
(3)轴对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
基础自测
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
2．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()．
A．13B．22C．6D．2
3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝()．
A．2B．1C．0D．－1
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝()．
A．－1B．－12C．2D．12
5．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．
思维拓展
1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？
提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．
2．运用距离公式时应注意什么？
提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．
一、两直线的平行
【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()．
A．2B．－3
C．2或－3D．－2或－3
方法提炼1．判定两直线平行的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]1
二、两直线的垂直
【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法提炼1．判定两直线垂直的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.
2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]2
三、距离公式的应用
【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．
【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
请做[针对训练]3
四、对称问题
【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；
(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．
【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．
2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．
针对训练
1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．
2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．
4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(2)－1A1A2＋B1B2＝0
2．相交平行重合
3．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2
(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2
4．(1)x1＋x22，y1＋y22
(2)x＝2a－x1，y＝2b－y1
基础自测
1．A解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，
∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.
2．B解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.
3．D解析：∵两直线垂直，
∴a(a＋2)＝－1.
∴a＝－1.
4．B解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，
∴三条直线交于点(－1，－2)．
∴－1－2b＝0，即b＝－12.
5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32|2－m|＝6m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.
考点探究突破
【例1】C解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；
当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.
解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3或2时，－2(m＋1)－12≠0.
∴m＝－3或2为所求．
【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k(－2)＝－1.∴k＝12.
又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.
解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.
故交点P(－1,2)．
(1)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，
∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．
综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋1＝0，
解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，
解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由两点间的距离公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，
即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.
解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，
如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，
设直线l与两平行线的夹角为θ，
则，
所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是，
故所求直线的斜率不存在，或为0.
又因为直线l过点P(3,1)，
所以直线l的方程为x=3，或y=1.
【例4－1】解：(1)设A′(x，y)，
由已知得y＋2x＋123＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，
解得x＝－3313，y＝413.
故A′－3313，413.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上．
设对称点为M′(a，b)，
则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，
得M′613，3013.
设m与l1的交点为N，
由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．
又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l3上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)．
∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，
∴l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵P′在直线l1上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0.
整理得2x－3y－9＝0.
【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P(3，－2)，显然P也在l2上．
设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－(－2)1＋－34×(－2)＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.
故l2的直线方程为y＋2＝－211(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.
方法二：在直线l1上取一点A(2,0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则
y0－0x0－2＝43，32＋x02＋40＋y02－1＝0，
解得B45，－85.
故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
演练巩固提升
针对训练
1．3x＋4y－11＝0解析：解法一：设直线l的斜率为k.
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－34.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
解法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
2．1解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，
∴1×2＋(－2)m＝0，即m＝1.
3．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2，可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴(a－1)2＋(b－1)2即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．
因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是(a－1)2＋(b－1)2的最小值．
由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，
故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.
4．解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
图甲
设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′kl＝－1，
即b－4a3＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，
∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，
即2x＋y－9＝0.
解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．
图乙
设C′的坐标为(x′，y′)，
∴y′－4x′－33＝－1，3x′＋32－y′＋42－1＝0.
解得x′＝35，y′＝245.∴C′35，245.
由两点式得直线AC′的方程为y－1245－1＝x－435－4，
即19x＋17y－93＝0.
解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.
∴所求点Q的坐标为117，267.

扩展阅读

空间直线与直线之间的位置关系

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知1．空间的两条直线位置关系：
共面直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH=FG，
所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC=∠A′D′C′，
∠ADC+∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.

培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.

通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′=45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.
答案：（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，
所以BC′=4，∠B′BC′=60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
附加例题
例1“a、b为异面直线”是指：
①a∩b=，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b=；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（）
A．①④⑤正确B．①③④正确
C．仅②④正确D．仅①⑤正确
【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO=∠B′PO=25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则MG
EM
∵AD⊥BC∴EM⊥MG
在Rt△EMG中，有
在RFG中，∵EF=
∴EF2+FG2=EG2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.

2013高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.4直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
5．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种：____、____、____.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac0，＝0，0.
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：
d＜r____，
d＝r____，
d＞r____.
(2)圆的切线方程：
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为______________．
经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上点P(x0，y0)的切线方程为__________．
(3)直线与圆相交：
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝______，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．
2．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_____、_____、_____、_____、_____.
(2)判断圆与圆的位置关系常用方法：
①几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则|O1O2|＞r1＋r2____；|O1O2|＝r1＋r2____；|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2____；|O1O2|＝|r1－r2|____；|O1O2|＜|r1－r2|____.
②代数法：
方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
有两组不同的实数解两圆____；
有两组相同的实数解两圆____；
无实数解两圆相离或内含．
3．在空间直角坐标系中，O叫做坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：即伸开右手，使拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，中指指向______轴的正方向．也可这样建立坐标系：令z轴的正方向竖直向上，先确定x轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转90°就是y轴的正方向．
4．空间点的坐标
设点P(x，y，z)为空间坐标系中的一点，则(1)关于原点的对称点是______；(2)关于x轴的对称点是______；(3)关于y轴的对称点是______；(4)关于z轴的对称点是______；(5)关于xOy坐标平面的对称点是______；(6)关于yOz坐标平面的对称点是______；(7)关于xOz坐标平面的对称点是______．
5．空间两点间的距离
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝__________.
基础自测
1．在下列直线中，与圆x2＋y2＋23x－2y＋3＝0相切的直线是()．
A．x＝0B．y＝0
C．x－y＝0D．x＋y＝0
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是()．
A．相交B．内切
C．外切D．内含
3．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0有两个不同的公共点，则k的取值范围是()．
A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
5．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝__________.
6．已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|＝6，则x的值为__________．
思维拓展
1．在判断直线与圆相交时，当直线方程和圆的方程都含有字母时，如何判断？
提示：若给出的方程都含有字母，利用代数法和几何法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．
2．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示：①首先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，该点即为切点，则切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．②若求出的切线条数与判断不一致，则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了．
一、直线与圆的位置关系
【例1】点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋by＝r2与圆的交点个数为()．
A．0B．1C．2D．需要讨论确定
方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法：代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便．
请做[针对训练]4
二、直线与圆相交问题
【例2－1】过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()．
A．3B．2C．6D．23
【例2－2】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆C截得的弦长为43，求l的方程．
方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋k2Δ|a|.其中a为一元二次方程中的二次项系数．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.
代数法计算量较大，我们一般选用几何法．
请做[针对训练]1
三、圆的切线问题
【例3】从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线方程．
方法提炼求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．
请做[针对训练]5
四、圆与圆的位置关系
【例4－1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2外切；
(2)圆C1与圆C2内含．
【例4－2】已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，并且通过两圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，
(1)求圆C的方程；
(2)求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程．
方法提炼1．判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论．
2．若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程C1＋λC2＝0(λ≠－1)．
3．利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程．
请做[针对训练]2
五、空间直角坐标系
【例5－1】在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是__________．
【例5－2】求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离．
方法提炼求某点关于某轴的对称点时，“关于谁对称谁不变”，如点(x，y，z)关于x轴的对称点是(x，－y，－z)；求某点关于某平面的对称点时，“缺哪个变哪个”，如点(x，y，z)关于平面xOy的对称点是(x，y，－z)；点(x，y，z)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)．
请做[针对训练]3
考情分析
通过分析近几年的高考试题，可以看到对于本节内容，主要是考查直线与圆的位置关系，以选择题、填空题为主，题目难度适中，着重于基础知识、基本方法的考查．整个命题过程主要侧重以下几点：(1)直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点，特别是直线与圆的位置关系；(2)圆中几个重要的度量关系．在直线与圆的位置关系中，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心；在切线问题中，切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体．
针对训练
1．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.
3．已知在空间中有△ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC的面积等于__________．
4．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
5．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，如图所示，求光线l所在直线的方程．
参考答案

基础梳理自测
知识梳理
1．(1)相切相交相离①相交相切相离②相交相切相离
(2)x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2x0x＋y0y＋Dx0＋x2＋Ey＋y02＋F＝0(3)d2＋l22
2．(1)相离外切相交内切内含
①相离外切相交内切内含②相交相切
3．xyz
4．(－x，－y，－z)(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)
5．(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2
基础自测
1．B解析：将圆的方程化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝1，分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得B选项正确(A，B选项均通过作图可直观判断)．
2．B解析：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.
∵|O1O2|＝1＝r2－r1，∴两圆内切．
3．D解析：由题意知，圆心C(1,1)到直线l的距离d＝|k－1－2k＋2|k2＋1＜2，解得k≠－1，故k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
4．x2＋y2＝2解析：圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2.
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
5．±147解析：由已知可求出圆心O到直线l的距离d＝2，即|3k|1＋k2＝2，解得k＝±147.
6．1或9解析：由空间两点间的距离公式，得(x－5)2＋(2－4)2＋(3－7)2＝6，
即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9.
考点探究突破
【例1】A解析：由题意知a2＋b2＜r2，
所以圆心(0,0)到直线ax＋by－r2＝0的距离d＝r2a2＋b2＞r，
即直线与圆相离，无交点．
【例2－1】D解析：直线方程为y＝3x，圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝4.
圆心(0,2)，半径长r＝2.
圆心到直线y＝3x的距离d＝1.
则弦长为2r2－d2＝23.
【例2－2】解：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心(－2,6)，半径长r＝4.
又直线l被圆截得的弦长为43，
所以圆心C到直线l的距离d＝42－(23)2＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，
此时l的方程为34x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.故所求直线方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
【例3】解：当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
∵圆心为(1,1)，半径长r＝1，
∴|k－1＋3－2k|k2＋(－1)2＝1，∴k＝34.
∴所求切线方程为y－3＝34(x－2)，
即3x－4y＋6＝0.
当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2.
【例4－1】解：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＜3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，m2＋3m＋2＜0，
解得－2＜m＜－1.
∴当m＝－5，或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2内含．
【例4－2】解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点，
故设此圆的方程为x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0，(λ≠－1，λ∈R)，即(1＋λ)(x2＋y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即x2＋y2－4x1＋λ－4λy1＋λ－3＝0，圆心为21＋λ，2λ1＋λ.
由于圆心在直线x－y－4＝0上，
∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13，
所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.
(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得x－y＝0，此即相交弦所在直线的方程．
【例5－1】(0，－1,0)解析：设M(0，y,0)，由(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，
解得y＝－1，故M(0，－1,0)．
【例5－2】解：易知B(1，－2,1)，C(1,2,1)．
所以|BC|＝
(1－1)2＋(－2－2)2＋(1－1)2＝4.
演练巩固提升
针对训练
1．2x－y＝0解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.
设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为d＝|k－2|1＋k2，故有|k－2|1＋k2＝0，解得k＝2.故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
2．1解析：依题，画出两圆位置如下图，公共弦为AB，交y轴于点C，连接OA，则|OA|＝2.两圆方程相减，得2ay＝2，解得y＝1a，
∴|OC|＝1a.
又公共弦长为23，∴|AC|＝3.
于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即1a2＝22－(3)2，
整理得a2＝1，又a＞0，∴a＝1.
3．92解析：根据空间中两点间的距离公式可得：
|AB|＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，
|BC|＝(－1－0)2＋(－1－0)2＋(－1＋5)2＝32
|AC|＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，故其面积S＝12|AB||AC|＝12×3×3＝92.
4．解：方法一：圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝|b|2，圆的半径长r＝2.
(1)d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
(2)d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点；
(3)d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．
方法二：把直线y＝x＋b与圆的方程x2＋y2＝2联立，即y＝x＋b，x2＋y2＝2，消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0.
再利用△＞0，△＝0，△＜0，分别确定b的取值，结论同“方法一”．
5．解法一：设入射光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)．因为点A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，所以反射光线所在直线经过点A′.
又∵光线的入射角等于反射角，
∴反射光线所在直线的方程为
kx＋y＋3k＋3＝0.
∵反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，
∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－34，或k＝－43.∴入射光线l所在的直线方程为y－3＝－34(x＋3)，或y－3＝－43(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.
解法二：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称圆C′的方程为x2＋y2－4x＋4y＋7＝0.
因入射光线经x轴反射后与圆C相切，则入射光线所在直线与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0.
∵圆C′的圆心(2，－2)到l的距离与半径长相等，∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，
∴k＝－34，或k＝－43.
∴入射光线所在直线方程为
3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.

直线与圆的位置关系

总课题圆与方程总课时第35课时
分课题直线与圆的位置关系分课时第1课时
教学目标依据直线和圆的方程，能够熟练的写出它们的交点坐标；能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系．
重点难点通过方程组的解来研究直线和圆的位置关系；及圆的几何性质在解题中应用．
引入新课
问题1．直线和圆的位置关系有几种情况？直线和圆的位置关系是用什么方法研究的？

问题2．我们在解析几何中已经学习了直线的方程和圆的方程分别为，，怎样根据方程判断直线和圆的位置关系呢？

1．已知直线和圆的方程分别为，，，如何求直线和圆的交点坐标？

2．方程组的解有几种情况？

我们通常有如下结论：
相离相切相交
方程组______解方程组______解方程组有____________解

例题剖析
例1求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系．

例2自点作圆的切线，求切线的方程．

变式训练：（1）自点作圆的切线，求切线的方程．
（2）自点作圆的切线，求切线的方程．

例3求直线被圆截得的弦长．

巩固练习
1．判断下列各组中直线与圆的位置关系：
（1），；__________________________；
（2），；___________________；
（3），．_____________________．
2．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是．
3．（1）求过圆上一点的圆的切线方程；
（2）求过原点且与圆相切的直线的方程．

课堂小结
通过解方程组来判断交点的个数；通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断圆与直线的位置关系．
课后训练
一基础题
1．直线与圆的位置关系是．
2．直线和圆交于点，，则弦的
垂直平分线方程是．
3．斜率为的直线平分圆的周长，则直线的方程
为．
4．已知过点的直线被圆截得的弦长为，
求直线的方程．

5．已知圆与直线相交于，两点，
为坐标原点，若，求的值．
6．已知过点的直线与圆相交，
求直线斜率的取值范围．

7．求半径为，且与直线切于点的圆的方程．

8．求圆心在轴上，且与直线，直线都相切
的圆的方程．

二提高题
9．已知圆的方程是，求证：经过圆上一点的切线方程
是．

三能力题
10．已知圆，直线．
（1）当点在圆上时，直线与圆具有怎样的位置关系？
（2）当点在圆外时，直线具有什么特点？

直线与椭圆的位置关系

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？小编特地为大家精心收集和整理了“直线与椭圆的位置关系”，供您参考，希望能够帮助到大家。

学习重点：椭圆几何性质的综合应用运用及直线与椭圆相交的问题。
学习难点:直线与椭圆相交的问题
一夯实基础
1、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)或
2、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为()（A）3（B）（C）（D）4
3、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()
(A)-16m25(B)-16m(C)m25(D)m
4、已知椭圆的离心率e=，则m的值为()
(A)3(B)3或(C)(D)或
5、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的()(A)倍(B)2倍(C)倍(D)倍
6、椭圆ax2＋by2＋ab=0(ab0)的焦点坐标为()
(A)(0，±)(B)(±，0)
(C)(0，±)(D)(±，0)
7、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e=()
(A)(B)(C)(D)
8、曲线与曲线(m9)一定有()
(A)相等的长轴长(B)相等的焦距(C)相等的离心率(D)相同的准线
9.(2006重庆高考)设A（x1,y1）,B（4,9[]5）,C（x2,y2）是右焦点为F的椭圆=1上
三个不同的点，则“|AF|,|BF|,|CF|成等差数列”是“x1+x2=8”的（）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既非充分也非必要
10.(2006山东高考)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为（）A.B.C.D.
二能力提升
11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为，
F为椭圆左焦点，直线AB与FC交于D点，
则的正切值是
12．点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，求这个椭圆的离心率。

（参考答案）一夯实基础DDCBBCABAB二能力提升1112
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文章来源：http://m.jab88.com/j/52222.html

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