一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为满足您的需求，小编特地编辑了“高三数学一轮复习学案17-25共9份”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

山东省乐陵市第一中学2012届高三数学一轮复习学案：三角函数的图象与性质
一、考试要求：1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，理解三角函数的性质；
2.会用“五点法”画正弦函数,余弦函数的简图；
3.结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
二、知识梳理：
1．“五点法”做的简图五点的取法是：设
X=，由X取________，________，________，________，________，来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
2．当函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，叫做初相。
函数的周期为____；函数的周期为_____
3．正弦曲线y=sinx的对称轴为______________，对称中心为________________;
余弦曲线y=sinx的对称轴为______________，对称中心为________________;
函数y=tanx的图象的对称中心为_______________．
三、基础检测：
1．函数的部分图象如图，则（）
A．B．C．D．
2．函数y=sin(x+)的图象（）
A．关于y轴对称B．关于直线x=-对称
C．关于直线x=对称D．关于原点对称
3．函数y=的一个单调增区间是（）
A.（）B.（）C.（）D.（）
4．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）
(A)(B)（C）（D）2
5．函数在下列哪个区间上是减函数（）
A．B．C．D．
6．若0＜x＜，则下列命题正确的是（）
A.sinx＜B.sinx＞C.sinx＜D.sinx＞
7．（05，江西）设函数为（）
A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为D．非周期函数
8．已知函数的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是____________。
9．已知函数的两个相邻的最值点为
（，2）和（，-2），则这个函数的表达式为____________________
10．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，则a=________
11．已知函数．
（I）函数数的最小正周期和最大值;
（II）画出函数上的图象．

精选阅读

高三数学一轮复习函数重点知识

高三数学一轮复习函数重点知识

注重对概念的理解

函数部分的一个鲜明特点是概念多，对概念理解的要求高。而在实际的复习中，学生对此可能不是很重视，其实，概念能突出本质，产生解决问题的方法。对概念不重视，题目一定也做不好。

就高考而言，直接针对函数概念的考题也不少，例如05年上海春季高考数学卷的第16题就是考察学生是否理解函数最大值的概念。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。上海卷连续两年都考查了这方面的内容与方法，如06年文、理科的第22题，考查的是函数的单调性、值域与最值，07年的第19题，文科考察的是函数奇偶性的判断与证明，理科在此基础上还考察了函数单调性。

构建知识、方法与技能网

当问到学生类似于函数主要有哪些内容？等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对知识还缺少整体把握。所以复习的首要任务是立足于教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便于找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。

就函数部分而言，大体分为三个层次的内容：

1、函数的概念与基本性质，主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图像等。

2、一些简单函数的研究，主要是二次函数、幂、指、对函数等。

3、函数综合与实际应用问题，如函数-方程-不等式的关系与应用，用函数思想解决的实际应用问题等。

当然，在这个过程中也发现，学生梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，就需对每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体来提炼与总结基本方法。

以函数的单调性为例，可以从哪些问题入手复习呢？问题一：什么是函数的单调性？可以借助一些概念的辨析题来帮助理解。问题二：如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性？对这个问题的解决，需要的知识基础有：理解函数单调性的概念，熟知所学习过的各种基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、幂、指、对函数等)的单调性，和函数(如y=x+ax(a0))以及简单的复合函数单调性等。基本的方法主要是利用单调性的定义、以及不等式的性质进行判断和证明。问题三：函数的单调性有哪些简单应用？主要的应用是求函数的最值，此外还可能涉及到不等式、比较大小等问题。最后还可以进一步总结易错、易漏点，如讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，两个单调函数的积函数的单调性不确定等。

抓典型问题强化训练

高三学生在复习中大都愿意花大量时间做题，追求解题技巧，虽然这样做有一定的作用，但题目做得太多太杂，未必有利于基本方法的落实。其实对于每一个知识点都有典型问题，抓住它们进行训练，将同一知识，同一方法的问题集中在一起练习，并努力使自己表达规范、正确，相信能达到更高效的复习效果。

还是以函数的单调性的判断与证明为例，一般也就两类典型问题。第一是正确判断与证明某个函数的单调性，写出单调区间，要注意函数的各种形式，如分式的(如y=x+32x+1),和函数(如y=x+(a0))，简单的复合函数(如y=log2(x2-2x-3)),以及带有根式和绝对值的等等。第二是它的逆问题，知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围，如函数y=ax2+x+2在区间[5，10]上递增，求实数a的取值范围等。

另一方面，可以在同一个问题的背景下，自己做一些小小的变化与发展，从中做一些深入的探究。例如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3)单调性会怎样变化？如果变化为y=log2(ax2-2x-3)情况又如何？再复杂一些，如变化为y=loga(x2-2x-a)呢？反之，如果函数y=log2(ax2-2x-3)在区间(-，1)上单调递减，a的取值范围是什么？在此基础上再想一想还能提出什么问题来研究呢？例如函数y=log2(ax2-2x-3)的值域为R，a的取值范围是什么？函数y=log2(ax2-2x-3)是否可以有最大值，如果有，a的取值范围是什么？对自己提出的问题加以解决，能使自己的复习更有针对性，真正掌握解题的规律和方法，并帮助自己跳出盲目的题海战。

总之，在复习中把握函数的基本概念，将知识、方法和技能有机地整合起来，建立一个立体网络,就一定能达到良好的复习效果。

高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。关于好的高中教案要怎么样去写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第八章直线和圆的方程

高考导航

考试要求重难点击命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.
直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.
知识网络

8.1直线与方程
典例精析
题型一直线的倾斜角
【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是()
A.[π6，π3]B.[π4，π3]
C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.
【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.
【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角.
【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0m＜－5或m＞1；
直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2m＝－5；
直线MN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0－5＜m＜1.
题型二直线的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，
设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34，
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.
所以直线l的斜率为247.
【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.
【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率为()
A.34B.43C.－43D.－34或－43
【解析】选C.sinα＋cosα＝15sinαcosα＝－1225＜0
sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35(舍去)，
故直线l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.
题型三直线的方程
【例3】求满足下列条件的直线方程.
(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；
(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.
【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.
【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.
因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x.
当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a＝1，
因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
题型四直线方程与最值问题
【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.
【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1.
2a1b≤(2a＋1b2)2＝14，
当2a＝1b＝12时，即a＝4，b＝2时，1a1b取最大值18，
即S△AOB＝12ab取最小值4，
所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直线与x轴的交点为A(2k－1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，
由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝12(1－2k)2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)(－4k)＋4]＝4.
当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AOB有最小值，
所求的直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.
【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.
【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.
若m＝0，则k＝0；
若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m1m＝12，所以0＜k≤12；
若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.
综上，－12≤k≤12.
总结提高
1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.
2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).
3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.

8.2两条直线的位置关系

典例精析
题型一两直线的交点
【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.
【解析】①l3∥l1时，－a＝－2a＝2；
②l3∥l2时，－a＝3a＝－3；
③由将(－1，－1)代入ax＋y＝0a＝－1.
综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.
【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.
【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是.
【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得
故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，
即直线2x＋3y＋1＝0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.
题型二两直线位置关系的判断
【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.
【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，
所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.
因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，
又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.
因为k2≠0，即k1，k2都存在，
因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，
又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.
(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)，
因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，
联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，
所以a，b的值分别为2和－2或23和2.
【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，则直线OF的方程为.
【解析】由截距式可得直线AB：xb＋ya＝1，直线CP：xc＋yp＝1，两式相减得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.
题型三点到直线的距离
【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，当△ABC的面积S最大时，求m的值.
【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，
又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，
则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，
设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|h＝12|m－3m＋2|，
令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t－32)2－14|，
由图象可知，当t＝32时，S有最大值18，此时m＝32，所以m＝94.
【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.
【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.
【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，
所以
(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52.
方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.
令l：x－y－c＝0，则5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，
解得c＝10.所以l的方程为x－y－10＝0.
由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d＝102＝52，所以点P到原点的最小距离为52.
总结提高
1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.
2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.
3.运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.
8.3圆的方程

典例精析
题型一求圆的方程
【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.
【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－D2，－E2)，
由已知得即
解得D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.
方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，
AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
令x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10，
圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.
【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q两点的坐标分别代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤
解②、③、⑤组成的方程组，得
D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
题型二与圆有关的最值问题
【例2】若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.
【解析】(1)yx＝y－0x－0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.
由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为－3.
(2)令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).
所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin(α－π4)－2，
当sin(α－π4)＝－1时，y－x的最小值为－6－2.
(3)(x－4)2＋(y－3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，
连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.
|AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，则|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，
所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值为(13＋3)2，最小值为(13－3)2.
【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.
【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m＝y＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范围.
【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.
由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.
题型三圆的方程的应用
【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.
【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，
结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，
解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.
【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.
【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()
A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]
【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，
π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.
所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].
总结提高
1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.
2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.

8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

典例精析
题型一直线与圆的位置关系的判断
【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，
(1)直线与圆有两个公共点；
(2)直线与圆只有一个公共点.
【解析】方法一：(几何法)
设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半径r＝2.
当d＜r时，直线与圆相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，
所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.
当d＝r时，直线与圆相切，|b|2＝2，b＝±2，
所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.
方法二：(代数法)
联立两个方程得方程组
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；
当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.
【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.
【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.不能确定
【解析】选A.易知圆的半径r＝22，设圆心到直线的距离为d，则d＝1sin2θ＋1.
因为θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，
所以22＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.
题型二圆与圆的位置关系的应用
【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.
【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，
所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，
所以－322＜a＜－22或22＜a＜322为所求a的范围.
【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为.
【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为x－(－1)2－(－1)＝y－1－2－1，即y＝－x.
根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.
故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1).
题型三圆的弦长、中点弦的问题
【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.
【解析】(1)如图，AB＝43，D是AB的中点，则AD＝23，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，
得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.
所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦长公式求解)
(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，
因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，
由得k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.
该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.
【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A.106B.206C.306D.406
【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝252－12＝46，S＝12ACBD＝206.
总结提高
1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.
2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.
3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.
8.5直线与圆的综合应用
典例精析
题型一直线和圆的位置关系的应用
【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点；
(2)判断直线l与圆C的位置关系；
(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.
【解析】(1)证明：直线方程可写作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组可得
所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).
(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，
故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.
(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.
|AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，
此时k＝－1kCM，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，
解得m＝－34，代入原直线方程，得l的方程为2x－y－5＝0.
【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.
【变式训练1】若函数f(x)＝－1beax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是()
A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定
【解析】选B.f(x)＝－1beaxf′(x)＝－abeaxf′(0)＝－ab.
又f(0)＝－1b，所以切线l的方程为y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l与圆C：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1a2＋b2＜1，即点P(a，b)在圆内，故选B.
题型二和圆有关的对称问题
【例2】设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程.
【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，
因为＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.
【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP⊥OQ，则直线PQ的方程为.
【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ＝－12.
设直线PQ的方程为y＝－12x＋t，与圆的方程联立消去y，
得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54.
此时方程(*)的判别式Δ＞0.从而直线的方程为y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，
即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.
题型三与圆有关的最值问题
【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.
【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆.
作出直线x＋y－2＝0与圆(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.
设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，
点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为2，
所求圆的圆心为(22cos45°，22sin45°)，即(2,2)，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.
【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为()
A.17B.32C.19D.25
【解析】选A.设M为直线y＝x＋1上任意一点，过点M的切线长为l，则l＝|MC|2－r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y＝x＋1垂直，即|MC|2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值为17.
总结提高
1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.
2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.
3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.

高三物理一轮复习学案：磁场

20xx届高三物理一轮复习学案：磁场
教学目标
1．了解磁场的产生和基本特性，加深对场的客观性、物质性的理解。
2．通过磁场与电场的联系，进一步使学生了解和探究看不见、摸不着的场的作用的方法．掌握描述磁场的各种物理量。
3．掌握安培力的计算方法和左手定则的使用方法和应用。
4．使学生掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律。
5．培养学生应用平面几何知识解决物理问题的能力。
6．进行理论联系实际的思想教育。
教学重点、难点分析
1．对磁感强度、磁通量的物理意义的理解及它们在各种典型磁场中的分布情况。
2．对安培力和电磁力矩的大小、方向的分析。
3．如何确定圆运动的圆心和轨迹。
4．如何运用数学工具解决物理问题。
教学过程设计
一、基本概念
1．磁场的产生
（1）磁极周围有磁场。
（2）电流周围有磁场（奥斯特）。
安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。（不等于说所有磁场都是由运动电荷产生的。）
（3）变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。
磁场是一种特殊的物质，我们看不到，但可以通过它的作用效果感知它的存在，并对它进行研究和描述。它的基本特征是对处于其中的通电导线、运动电荷或磁体的磁极能施加力的作用。磁现象的电本质是指所有磁现象都可归纳为：运动电荷之间通过磁场而发生的相互作用。
2．磁场的基本性质
磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用（对磁极一定有力的作用；对电流只是可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用）。这一点应该跟电场的基本性质相比较。
3．磁感应强度
电场和磁场都是无法直接看到的物质。我们在描述电场时引入电场强度E这个物理量，描述磁场则是用磁感应强度B。研究这两个物理量采用试探法，即在场中引入试探电荷或试探电流元，研究电磁场对它们的作用情况，从而判定场的分布情况。试探法是一种很好的研究方法，它能帮助我们研究一些因无法直接观察或接近而感知的物质，如电磁场。
磁感强度的定义式为：B=F/IL（条件是匀强磁场中，或ΔL很小，并且L⊥B）
其中电流元（IL）受的磁场力的大小与电流方向相关。因此采用电流与磁场方向垂直时受的最大力F来定义B。
研究电场、磁场的基本方法是类似的。但磁场对电流的作用更复杂一些，涉及到方向问题。我们分析此类问题时要多加注意。
磁感应强度B的单位是特斯拉，符号为T，1T=1N/（Am）=1kg/（As2）
磁感强度矢量性：磁感强度是描述磁场的物理量。因此它的大小表征了磁场的强弱，而它的方向，也就是磁场中某点小磁针静止时N极的指向，则代表该处磁场的方向。同时，它也满足矢量叠加的原理：若某点的磁场几个场源共同形成，则该点的磁感强度为几个场源在该点单独产生的磁感强度的矢量和。
4．磁感线
（1）用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针静止时N极的指向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。
特点：磁体外方向N极指向S极（内部反之）。
（2）磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。
（3）要熟记常见的几种磁场的磁感线：
（4）安培定则（右手螺旋定则）：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。
【例题1】如图所示，两根垂直纸面平行放置的直导线A、C由通有等大电流，在纸面上距A、C等远处有一点P。若P点磁感强度及方向水平向左，则导线A、C中的电流方向是如下哪种说法？
A．A中向纸里，C中向纸外
B．A中向纸外，C中向纸里
C．A、C中均向纸外
D．A、C中均向纸里
5．磁通量
如果在磁感应强度为B的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S，则定义B与S的乘积为穿过这个面的磁通量，用U表示。U是标量，但是有方向（进该面或出该面）。单位为韦伯，符号为Wb。1Wb=1Tm2=1Vs=1kgm2/（As2）。
穿过磁场中某一面积的磁感线条数称为穿过这一面积的磁通量。定义式为：U=BS⊥（S⊥为垂直于B的面积）。磁感强度是描述磁场某点的性质，而磁通量是描述某一面积内磁场的性质。由B=U/S⊥可知磁感强度又可称为磁通量密度。在匀强磁场中，当B与S的夹角为α时，有U=BSsinα。
【例题2】如图所示，在水平虚线上方有磁感强度为2B，方向水平向右的匀强磁场，水平虚线下方有磁感强度为B，方向水平向左的匀强磁场。边长为L的正方形线圈放置在两个磁场中，线圈平面与水平面成α角，线圈处于两磁场中的部分面积相等，则穿过线圈平面的磁通量大小为多少？
分析：注意到B与S不垂直，应把S投影到与B垂直的方向上；水平虚线上下两部分磁场大小与方向的不同。应求两部分磁通量按标量叠加，求代数和。
解：（以向右为正）U=U1+U2=[（2BL2/2）-（BL2/2）]sinα=BL2sinα/2
二、安培力（磁场对电流的作用力）
讨论如下几种情况安培力的大小计算，并用左手定则对其方向进行判断。
安培力大小：F=B⊥IL．B⊥为磁感强度与电流方向垂直分量。
方向：左手定则（内容略）。注意安培力总是与磁场方向和电流方向决定的平面垂直（除了二者平行，安培力为0的情况）。
1．安培力方向的判定
（1）用左手定则。
（2）用“同性相斥，异性相吸”（只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时）。
（3）用“同向电流相吸，反向电流相斥”（反映了磁现象的电本质）。可以把条形磁铁等效为长直螺线管（不要把长直螺线管等效为条形磁铁）。
只要两导线不是互相垂直的，都可以用“同向电流相吸，反向电流相斥”判定相互作用的磁场力的方向；当两导线互相垂直时，用左手定则判定。
【例题3】如图所示，可以自由移动的竖直导线中通有向下的电流，不计通电导线的重力，仅在磁场力作用下，导线将如何移动？
解：先画出导线所在处的磁感线，上下两部分导线所受安培力的方向相反，使导线从左向右看顺时针转动；同时又受到竖直向上的磁场的作用而向右移动（不要说成先转90°后平移）。分析的关键是画出相关的磁感线。
【例题4】条形磁铁放在粗糙水平面上，正中的正上方有一导线，通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会（增大、减小还是不变？）。水平面对磁铁的摩擦力大小为。
解：本题有多种分析方法。（1）画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线（如图中粗虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩擦力。（2）画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条（如图中细虚线所示），可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。（3）把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。
【例题5】如图在条形磁铁N极附近悬挂一个线圈，当线圈中通有逆时针方向的电流时，线圈将向哪个方向偏转？
解：用“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”最简单：条形磁铁的等效螺线管的电流在正面是向下的，与线圈中的电流方向相反，互相排斥，而左边的线圈匝数多所以线圈向右偏转。（本题如果用“同名磁极相斥，异名磁极相吸”将出现判断错误，因为那只适用于线圈位于磁铁外部的情况。）
【例题6】电视机显象管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转？
解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。（本题用其它方法判断也行，但不如这个方法简洁）。
2．安培力大小的计算
F=BLIsinα（α为B、L间的夹角）高中只要求会计算α=0（不受安培力）和α=90°两种情况。
【例题7】如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽L。匀强磁场磁感应强度为B。金属杆长也为L，质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止。求：（1）B至少多大？这时B的方向如何？（2）若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？
解：画出金属杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小。根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足：BI1L=mgsinα，B=mgsinα/I1L。
当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得BI2Lcosα=mgsinα，I2=I1/cosα。（在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系）。
【例题8】如图所示，质量为m的铜棒搭在U形导线框右端，棒长和框宽均为L，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。电键闭合后，在磁场力作用下铜棒被平抛出去，下落h后落在水平面上，水平位移为s。求闭合电键后通过铜棒的电荷量Q。
解：闭合电键后的极短时间内，铜棒受安培力向右的冲量FΔt=mv0而被平抛出去，其中F=BIL，而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量Q=IΔt，由平抛规律可算铜棒离开导线框时的初速度，最终可得。
三、洛伦兹力
1．洛伦兹力
运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。
公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F安=BIL；其中I=nesv；设导线中共有N个自由电子N=nsL；每个电子受的磁场力为F，则F安=NF。由以上四式可得F=qvB。条件是v与B垂直。当v与B成θ角时，F=qvBsinθ。
2．洛伦兹力方向的判定
在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速度方向），即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。
【例题9】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？
解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但路端电压将小于Bdv。
在定性分析时特别需要注意的是：
（1）正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。
（2）外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv，但电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）
（3）注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。
【例题10】半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为p型和n型两种。p型半导体中空穴为多数载流子；n型半导体中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电流I，用电压表比较上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。
解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n型半导体中自由电子多，上极板电势低。
注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。
3．洛伦兹力大小的计算
带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：，。
【例题11】如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
解：正负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还看出经历时间相差2T/3。答案为射出点相距，时间差为。关键是找圆心、找半径和用对称。
【例题12】一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解：由射入、射出点的半径可找到圆心O/，并得出半径为，；射出点坐标为（0，）。
四、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中运动规律
初速度力的特点运动规律
v=0f洛=0静止
v//Bf洛=0匀速直线运动
v⊥Bf洛=Bqv匀速圆周运动，半径，周期

v与B成θ角f洛=Bqv⊥（0＜θ＜90°）较复杂的曲线运动，高中阶段不要求
2．带电粒子在匀强磁场中的偏转
（1）穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。偏转角由sinθ=L/R求出。侧移由R2=L2-（R-y）2解出。经历时间由得出。
注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！
（2）穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。偏角可由求出。经历时间由得出。
注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
3．解题思路及方法
电荷在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，圆运动的圆心的确定方法：
（1）利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点，只要找到圆运动两个点上的洛仑兹力的方向，其延长线的交点必为圆心。
（2）利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心。
【例题13】氘核、氚核、氦核都垂直磁场方向射入同一匀强磁场，求以下几种情况下，它们轨道半径之比及周期之比各是多少？（1）以相同速率射入磁场；（2）以相同动量射入磁场；（3）以相同动能射入磁场。
解：因为带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，所以圆运动的半径，周期。
（1）因为三粒子速率相同，所以，，有，
（2）因为三粒子动量相同，所以，，有，
（3）因为三粒子初动能相同，所以，，有，
通过例题复习基本规律。由学生完成，注意公式变换。
【例题14】如图所示，abcd为绝缘挡板围成的正方形区域，其边长为L，在这个区域内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．正、负电子分别从ab挡板中点K，沿垂直挡板ab方向射入场中，其质量为m，电量为e。若从d、P两点都有粒子射出，则正、负电子的入射速度分别为多少？（其中bP=L/4）
做题过程中要特别注意分析圆心是怎样确定的，利用哪个三角形解题。
提问：1．怎样确定圆心？2．利用哪个三角形求解？
学生自己求解。
（1）分析：若为正电子，则初态洛仑兹力方向为竖直向上，该正电子将向上偏转且由d点射出．Kd线段为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向延长线交点必为圆心，设该点为O1．其轨迹为小于1/4的圆弧。
解：如图所示，设圆运动半径为R1，则O1K=O1d=R1
由Rt△O1da可知：
而
故
（2）解：若为负电子，初态洛仑兹力方向竖直向下，该电子将向下偏转由P点射出，KP为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向的交点必为圆心，设该点为O2，其轨迹为大于1/4圆弧。（如图所示）
由Rt△KbP可知：
而
故
【例题15】一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
提问：
1．带电质点的圆运动半径多大？
2．带电质点在磁场中的运动轨迹有什么特点？
3．在xy平面内什么位置加一个圆形磁场可使带电质点按题意运动？其中有什么样特点的圆形磁场为半径最小的磁场？常见错误：
加以aM和bN连线交点为圆心的圆形磁场，其圆形磁场最小半径为R。
分析：带电质点在磁场中做匀速圆周运动，其半径为
因为带电质点在a、b两点速度方向垂直，所以带电质点在磁场中运动轨迹为1/4圆弧，O1为其圆心，如图所示MN圆弧。
在xy平面内加以MN连线为弦，且包含MN圆弧的所有圆形磁场均可使带电质点完成题意运动。其中以MN连线为半径的磁场为最小圆形磁场。
解：设圆形磁场的圆心为O2点，半径为r，则由图知：
因为，所以
小结：这是一个需要逆向思维的问题，同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹，求所加圆形磁场的位置。考虑问题时，要抓住粒子运动特点，即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中，且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点。然后再考虑磁场的最小半径。
【例题16】在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
问题：
1．第一问由学生自己完成。
2．在图中画出粒子以图示速度方向入射时在磁场中运动的轨迹图，并找出速度的偏转角。
3．讨论粒子速度方向发生变化后，粒子运动轨迹及速度偏转角的比。
分析：（1）圆运动半径可直接代入公式求解。
（2）先在圆中画出任意一速度方偏转角为初速度与未速度的夹角，且偏转角等于粒子运动轨迹所对应的圆心角。向入射时，其偏转角为哪个角？如图所示。由图分析知：弦ac是粒子轨迹上的弦，也是圆形磁场的弦。
因此，弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，也一定对应粒子圆运动轨迹的圆心角的变化。所以当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大。
解：（1）设粒子圆运动半径为R，则
（2）由图知：弦长最大值为ab=2r=6×10-2m
设速度偏转角最大值为αm，此时初速度方向与ab连线夹角为θ，则
，故
当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，其最大值为74°。
小结：本题所涉及的问题是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使得粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，要会灵活运用平面几何知识去解决．
计算机演示：（1）随粒子入射速度方向的变化，粒子飞离磁场时速度偏转角的变化。（2）随粒子入射速度方向的变化，粒子做匀速圆周运动的圆心的运动轨迹。其轨迹为以a点为圆心的一段圆弧。
【例题17】如图所示，很长的平行边界面M、N与N、P间距分别为L1、L2，其间分别有磁感应强度为B1与B2的匀强磁场区，磁场方向均垂直纸面向里．已知B1≠B2，一个带正电的粒子电量为q，质量为m，以大小为v0。的速度垂直边界面M与磁场方向射入MN间磁场区，试讨论粒子速度v0应满足什么条件，才能通过两个磁场区，并从边界面P射出？（不计粒子重力）
问题：
1．该粒子在两磁场中运动速率是否相同？
2．什么是粒子运动通过磁场或不通过磁场的临界条件？
3．画出轨迹草图并计算。
分析：带电粒子在两磁场中做半径不同的匀速圆周运动，但因为洛仑兹力永远不做功，所以带电粒子运动速率不变．粒子恰好不能通过两磁场的临界条件是粒子到达边界P时，其速度方向平行于边界面。粒子在磁场中轨迹如图所示。再利用平面几何和圆运动规律即可求解。
解：如图所示，设O1、O2分别为带电粒子在磁场B1和B2中运动轨迹的圆心。则
在磁场B1中运动的半径为
在磁场B2中运动的半径为
设角α、β分别为粒子在磁场B1和B2中运动轨迹所对应圆心角，则由几何关系知
，，且α+β＝90°
所以
若粒子能通过两磁场区，则
小结：
1．洛仑兹力永远不做功，因此磁场中带电粒子的动能不变。
2．仔细审题，挖掘隐含条件。
【例题18】在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹，如图所示．已知两条导线M、N只有一条中有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流、电流方向和粒子带电情况及运动方向，可能是
A．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
B．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
C．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
让学生讨论得出结果。很多学生会选择所有选项，或对称选择A、D（或B、C）。前者是因为没有考虑直线电流在周围产生非匀强磁场，带电粒子在其中不做匀速圆周运动。后者是在选择过程中有很强的猜测成分。
分析：两根直线电流在周围空间产生的磁场为非匀强磁场，靠近导线处磁场强，远离导线处磁场弱。所以带电粒子在该磁场中不做匀速圆周运动，而是复杂曲线运动。因为带电粒子在运动中始终只受到洛仑兹力作用，所以可以定性使用圆运动半径规律R=mv/Bq。由该规律知，磁场越强处，曲率半径越小，曲线越弯曲；反之，曲线弯曲程度越小。
解：选项A、B正确。
小结：这是一道带电粒子在非匀强磁场中运动的问题，这时粒子做复杂曲线运动，不再是匀速圆周运动。但在定性解决这类问题时可使用前面所分析的半径公式。洛仑兹力永远不做功仍成立。
五、带电粒子在混合场中的运动
1．速度选择器
正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq，。在本图中，速度方向必须向右。
（1）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。
（2）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。
【例题19】某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O以速度v0向右射去，从右端中心a下方的b点以速度v1射出；若增大磁感应强度B，该粒子将打到a点上方的c点，且有ac=ab，则该粒子带___电；第二次射出时的速度为_____。
解：B增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功，所以两次都是只有电场力做功，第一次为正功，第二次为负功，但功的绝对值相同。，故。
【例题20】如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v0分别穿越匀强电场区和匀强磁场区，场区的宽度均为L偏转角度均为α，求E∶B
解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：
，在磁场中偏转：，由以上两式可得。可以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同（电场中侧移较大）；当侧移相同时，偏转角必然不同（磁场中偏转角较大）。
2．带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动
（1）带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。
【例题21】一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋转方向为_____。若已知圆半径为r，电场强度为E磁感应强度为B，则线速度为_____。
解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转动；再由
（2）与力学紧密结合的综合题，要认真分析受力情况和运动情况（包括速度和加速度）。必要时加以讨论。
【例题22】质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E，磁感应强度为B。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大，求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。
解：不妨假设设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，向下加速；开始运动后又受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g。随着v的增大，洛伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力和重力大小相等时，小球速度达到最大。
若将磁场的方向反向，而其他因素都不变，则开始运动后洛伦兹力向右，弹力、摩擦力不断增大，加速度减小。所以开始的加速度最大为；摩擦力等于重力时速度最大，为。

高三物理一轮复习教学案

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助教师提前熟悉所教学的内容。教案的内容具体要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高三物理一轮复习教学案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

高三物理一轮复习教学案
课题：运动学基本概念
班级___________姓名_______________学号______
一、知识梳理
1．机械运动是指物体相对于的位置的改变，选择不同的参照物来观察同一个运动物体，观察的结果往往；
2．质点是一种理想化的模型是指；
3．位移表示，位移是量，路程是指，路程是量，只有当物体做运动时位移的大小才等于路程；
4．时刻指某，在时间轴上表示为某一点，而时间指间隔，在时间轴上表示为两点间线段的长度；
5．速度表示质点运动的，速度是量，它的方向就是物体的方向，也是位移变化的方向，但不一定与位移方向相同；平均速度指，平均速度的方向与位移方向相同，平均速度总是与那一段时间或那一段位移相对应；即时速度指；
6．匀速直线运动是指；
二、例题精讲
例1．下列关于质点的说法正确的是（）
A．体积很大的物体不能看成质点B．质点是一种理想化模型实际不存在
C．研究车轮的转动时可把车轮看成质点D．研究列车从徐州到南京的时间时可把车轮看成质点
例2．如图所示，一质点沿半径为R的圆周从A点到B点运动了半周，它在运动过程中位移大小和路程分别是（）
A．πR、πRB．2R、2R
C．2R、πRD．πR、R
例3．关于时刻和时间，下列说法正确的是()
A．时刻表示时间较短，时间表示时间较长B．时刻对应位置，时间对应位移
C．作息时间表上的数字均表示时刻D．1min只能分成60个时刻
例4．速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直路上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车头间来回飞着，问：
（1）当两车头相遇时，这鸟共飞行了多少时间？
（2）相遇前这只鸟共飞行了多少中程？

三、随堂练习
1．下列说法正确的是（）
A．参考系就是绝对不动的物体
B．只有选好参考系以后，物体的运动才能确定
C．同一物体的运动，相对于不同的参考系，观察的结果可能不同
D．我们平常所说的楼房是静止的，是以地球为参考系的
2．某运动员在百米竞赛中，起跑后第3s未的速度是8m/s，第10s末到达终点时的速度是13m/s，他这次跑完全程的平均速度是（）
A．11m/sB．10.5m/sC．10m/sD．9.5m/s

四、巩固提高
1．下列情况中的物体，哪几种情况可看作质点（）
A．地面上放一只木箱，在上面箱角处用水平力推它，当研究它是先滑动还是先翻转时
B．上述木箱，在外力作用下沿地面作匀速运动时
C．汽车的后轮，在研究牵引力的来源时
D．人造卫星，在研究它绕地球转动时
2．两辆汽车在平直公路上匀速并排行驶，甲车内一个人看见窗外树木向东移动，乙车内一个人发现甲车没有运动，如果以大地为参照物，上述事实说明（）
A．甲车向西运动，乙车不动
B．乙车向西运动，甲车不动
C．甲车向西运动，乙车向东运动
D．甲、乙两车以相同的速度同时向西运动
3．在研究物体的运动时，下列物体中可以当作质点处理的是（）
A．研究一端固定并可绕该端转动的木杆的运动时
B．研究用20cm长的细线拴着一个直径为10cm的小球摆动时
C．研究一体操运动员在平衡木上动作时
D．研究月球绕地球运转时
4．从甲地到乙地的高速公路全长360km，汽车从甲地出发历时90min，行驶150km，停车10min，然后以v2=120km/h速度继续前进50min，又停了5min，最后又行驶了45min到达乙地，则汽车在第一段时间内的平均速度v=km/h，在最后一段时间内的平均速度v=km/h，在全程的平均速度v=km/h。

5．火车从甲站到乙站的正常行驶速度是60km/h，有一次火车从甲站开出，由于迟开了5分钟，司机把速度提高到72km/h，才刚好正点到达乙站，则甲、乙两站的距离是km，火车从甲站到乙站正常行驶的时间为小时。

6．小球从距地面5m高处落下，被地面反向弹回后，在距地面2m高处被接住，则小球从高处落下到被接住这一过程中通过的路程和位移大小分别为（）
A．7m,7mB．5m,2mC．5m,3mD．7m,3m

7．如图是一个初速度为V0沿直线运动物体的速度图象，经过时间t速度为Vt,则在这段时间内物体的平均速度和加速度a的情况是……………………………（）
A.B.
C.a是恒定的D.a是随时间t变化的

8一支长150m的队伍沿直线前进，通讯兵从队尾前进300m赶到队伍前传达命令后立即返回。当通讯兵到回队尾时，队伍已前进了200m,则此过程中通讯兵所走的位移是多少？通讯兵所走的路程是多少？

文章来源：http://m.jab88.com/j/51916.html

更多