第九章解析几何
学案47直线及其方程
导学目标:1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式,了解斜截式与一次函数的关系.
自主梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________.
②倾斜角的范围为______________.
(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=________,倾斜角是90°的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=______________________.
2.直线的方向向量
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向量为P1P2→,其坐标为________________,当斜率k存在时,方向向量的坐标可记为(1,k).
3.直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和坐标平面上的直线l,如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解,并且以方程Ax+By+C=0的任意一个解作为点的坐标都在__________,就称直线l是方程Ax+By+C=0的直线,称方程Ax+By+C=0是直线l的方程.
4.直线方程的五种基本形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x=x0
斜截式不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则x=,y=,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
自我检测
1.(2011银川调研)若A(-2,3),B(3,-2),C12,m三点共线,则m的值为()
A.12B.-12C.-2D.2
2.直线l与两条直线x-y-7=0,y=1分别交于P、Q两点,线段PQ的中点为(1,-1),则直线l的斜率为()
A.-32B.32C.23D.-23
3.下列四个命题中,假命题是()
A.经过定点P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示
C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa+yb=1表示
D.经过点Q(0,b)的直线都可以表示为y=kx+b
4.(2011商丘期末)如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5.已知直线l的方向向量与向量a=(1,2)垂直,且直线l过点A(1,1),则直线l的方程为()
A.x-2y-1=0B.2x+y-3=0
C.x+2y+1=0D.x+2y-3=0
探究点一倾斜角与斜率
例1已知两点A(-1,-5)、B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,求l的斜率.
变式迁移1直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是()
A.0,π2B.(0,π)
C.-π4,π4D.0,π4∪3π4,π
探究点二直线的方程
例2(2011武汉模拟)过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,求此直线方程.
变式迁移2求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
探究点三直线方程的应用
例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:
(1)△AOB面积最小时l的方程;
(2)|PA||PB|最小时l的方程.
变式迁移3为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量|AB|=100m,|BC|=80m,|AE|=30m,|AF|=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?
探究点四数形结合思想
例4已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).
试求y+3x+2的最大值与最小值.
变式迁移4直线l过点M(-1,2)且与以点P(-2,-3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率范围是()
A.[-25,5]B.[-25,0)∪(0,5]
C.(-∞,-25]∪[5,+∞)D.[-25,π2)∪(π2,5]
1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的范围为0°≤α180°,熟记斜率公式k=y2-y1x2-x1,该公式与两点顺序无关.已知两点坐标(x1≠x2),根据该公式可以求出经过两点的直线斜率,而x1=x2,y1≠y2时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.
2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1求直线方程,但都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式,但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式.
3.使用直线方程时,一定要注意限制条件以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件是直线必须有斜率,截距式的使用条件是截距存在且不为零,两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是()
A.(0,π)B.0,π4∪π2,π
C.0,π4D.π4,π2∪π2,π
2.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.π6,π3B.π6,π2
C.π3,π2D.π6,π2
3.点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值是()
A.22B.42
C.16D.不存在
4.(2011宜昌调研)点A(a+b,ab)在第一象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5.(2011包头期末)经过点P(2,-1),且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为()
A.2x+y=2B.2x+y=4
C.2x+y=3D.2x+y=3或x+2y=0
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°,则m=________.
7.直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________.
8.设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知两点A(-1,2),B(m,3),求:
(1)直线AB的斜率k;
(2)求直线AB的方程;
(3)已知实数m∈-33-1,3-1,求直线AB的倾斜角α的范围.
10.(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的范围.
11.(14分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
学案47直线及其方程
自主梳理
1.(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2-y1x2-x12.(x2-x1,y2-y1)3.Ax+By+C=0
直线l上4.y-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1(a≠0,b≠0)Ax+By+C=0(A、B不同时为0)5.x1+x22y1+y22
自我检测
1.A2.D3.D4.C5.D
课堂活动区
例1解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系,本题需要挖掘隐含条件,判断角的范围.关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型.
解设直线l的倾斜角为α,则直线AB的倾斜角为2α,
由题意可知:tan2α=-2--53--1=34,∴2tanα1-tan2α=34.
整理得3tan2α+8tanα-3=0.
解得tanα=13或tanα=-3,∵tan2α=340,
∴0°2α90°,∴0°α45°,∴tanα0,
故直线l的斜率为13.
变式迁移1D[直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα,
又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.
当0≤k≤1时,倾斜角的范围是0,π4,
当-1≤k0时,倾斜角的范围是3π4,π.]
例2解题导引(1)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况.
(2)求直线方程常用方法——待定系数法.
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数.
解过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是0,103和(0,8),
显然不满足中点是点M(0,1)的条件.
故可设所求直线方程为y=kx+1,与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点,联立方程组y=kx+1,x-3y+10=0,①
y=kx+1,2x+y-8=0,②
由①解得xA=73k-1,由②解得xB=7k+2.
∵点M平分线段AB,∴xA+xB=2xM,
即73k-1+7k+2=0,解得k=-14.
故所求直线方程为x+4y-4=0.
变式迁移2解(1)设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),
∴l的方程为y=23x,即2x-3y=0.
若a≠0,则设l的方程为xa+ya=1,
∵l过点(3,2),∴3a+2a=1,
∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为α,
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα=3,∴tan2α=2tanα1-tan2α=-34.
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-34(x+1),
即3x+4y+15=0.
例3解题导引先设出A、B所在的直线方程,再求出A、B两点的坐标,表示出△ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.
确定直线方程可分为两个类型:一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点,进而套用直线方程的几种形式,写出方程,此法称直接法;二是利用直线在题目中具有的某些性质,先设出方程(含参数或待定系数),再确定参数值,然后写出方程,这种方法称为间接法.
解设直线的方程为xa+yb=1(a2,b1),
由已知可得2a+1b=1.
(1)∵22a1b≤2a+1b=1,∴ab≥8.
∴S△AOB=12ab≥4.
当且仅当2a=1b=12,
即a=4,b=2时,S△AOB取最小值4,
此时直线l的方程为x4+y2=1,
即x+2y-4=0.
(2)由2a+1b=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,
|PA||PB|
=2-a2+1-022-02+1-b2
=[2-a2+1][1-b2+4]
≥2a-24b-1.
当且仅当a-2=1,b-1=2,
即a=3,b=3时,|PA||PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x+y-3=0.
变式迁移3解如图所示建立直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),
∴线段EF的方程为x30+y20=1(0≤x≤30).
在线段EF上取点P(m,n),
作PQ⊥BC于点Q,
PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
则S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n).
又m30+n20=1(0≤m≤30),
∴n=20(1-m30).
∴S=(100-m)(80-20+23m)
=-23(m-5)2+180503(0≤m≤30).
∴当m=5时,S有最大值,这时|EP||PF|=30-55=5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分EF成5∶1时,草坪面积最大.
例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义,借助数形结合,将求最值问题转化为求斜率取值范围问题,简化了运算过程,收到事半功倍的效果.
解由y+3x+2的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知:
kPA≤k≤kPB,由已知可得:
A(1,1),B(-1,5),
∴43≤k≤8,
故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.
变式迁移4C
[如图,过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP=5,kMQ=-25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时,倾斜角在增大,斜率也在增大,这时,k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时,
∵正切函数在(π2,π)上仍为增函数,
∴斜率从-∞开始增加,增大到kMQ=-25,
故直线l的斜率范围是(-∞,-25]∪[5,+∞).]
课后练习区
1.B2.B3.B4.C5.D
6.-27.[34π,π)8.x+y-5=0
9.解(1)当m=-1时,
直线AB的斜率不存在;(1分)
当m≠-1时,k=1m+1.(3分)
(2)当m=-1时,AB的方程为x=-1,(5分)
当m≠-1时,AB的方程为y-2=1m+1(x+1),
即y=xm+1+2m+3m+1.(7分)
∴直线AB的方程为x=-1或y=xm+1+2m+3m+1.
(8分)
(3)①当m=-1时,α=π2;
②当m≠-1时,
∵k=1m+1∈(-∞,-3]∪33,+∞,
∴α∈π6,π2∪π2,2π3.(10分)
综合①②,知直线AB的倾斜角
α∈π6,2π3.(12分)
10.
解直线x+my+m=0恒过A(0,-1)点.(2分)
kAP=-1-10+1=-2,
kAQ=-1-20-2=32,(5分)
则-1m≥32或-1m≤-2,
∴-23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点,
∴所求m的范围是-23≤m≤12.(12分)
11.(1)证明直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
令x+2=01-y=0,解之得x=-2y=1,
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).(4分)
(2)解由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有-1+2kk≤-21+2k≥1,解之得k0;(7分)
当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程,得A-1+2kk,0,
B(0,1+2k).依题意得-1+2kk0,1+2k0,
解得k0.(11分)
∵S=12|OA||OB|
=121+2kk|1+2k|
=121+2k2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k0且4k=1k,
即k=12,
∴Smin=4,此时l:x-2y+4=0.(14分)
经验告诉我们,成功是留给有准备的人。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,有效的提高课堂的教学效率。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?小编经过搜集和处理,为您提供高考数学(理科)一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案,相信能对大家有所帮助。
学案50直线、圆的位置关系
导学目标:1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想.
自主梳理
1.直线与圆的位置关系
位置关系有三种:________、________、________.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:
(1)代数法:利用判别式Δ,即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ
(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:
dr________,d=r________,dr________.
2.圆的切线方程
若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为____________________________.
注:点P必须在圆x2+y2=r2上.
经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点P(x0,y0)的切线方程为________________________.
3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB|=1+k2|xA-xB|
=1+k2[xA+xB2-4xAxB].
说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
4.圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种:________、________、________、________、________.
判断圆与圆的位置关系常用方法:
(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2,半径为r1、r2(r1≠r2),则|O1O2|r1+r2________;|O1O2|=r1+r2______;|r1-r2||O1O2|r1+r2________;|O1O2|=|r1-r2|________;0≤|O1O2||r1-r2|??________.
(2)已知两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________,其中λ为λ≠-1的任意常数,因此圆系不包括第二个圆.
当λ=-1时,为两圆公共弦所在的直线,方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
自我检测
1.(2010江西)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是()
A.-34,0
B.-∞,-34∪0,+∞
C.-33,33
D.-23,0
2.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()
A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0
C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0
3.(2011宁夏调研)圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()
A.1条B.2条
C.3条D.4条
4.过点(0,1)的直线与x2+y2=4相交于A、B两点,则|AB|的最小值为()
A.2B.23C.3D.25
5.(2011聊城月考)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()
A.相切B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心D.相离
探究点一直线与圆的位置关系
例1已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.
变式迁移1从圆C:(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向该圆引切线,求切线的方程及过两切点的直线方程.
探究点二圆的弦长、中点弦问题
例2(2011汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
变式迁移2已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.
(1)证明:不论k取何值,直线和圆总有两个不同交点;
(2)求当k取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求这条最短弦的长.
探究点三圆与圆的位置关系
例3已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时,
(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含.
变式迁移3已知⊙A:x2+y2+2x+2y-2=0,⊙B:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.当a,b变化时,若⊙B始终平分⊙A的周长,求:
(1)⊙B的圆心B的轨迹方程;
(2)⊙B的半径最小时圆的方程.
探究点四综合应用
例4已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,说明理由.
变式迁移4已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若O为坐标原点,且OM→ON→=12,求k的值.
1.求切线方程时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但注意有两条.
2.解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式.这就是通常所说的“几何法”和“代数法”.
3.判断两圆的位置关系,从圆心距和两圆半径的关系入手.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是()
A.相离B.相切或相交
C.相交D.相切
2.(2011珠海模拟)直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于()
A.3或-3B.-3或33
C.-33或3D.-33或33
3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()
A.3B.2
C.6D.23
4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是()
A.(4,6)B.[4,6)
C.(4,6]D.[4,6]
5.(2010全国Ⅰ)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA→PB→的最小值为()
A.-4+2B.-3+2
C.-4+22D.-3+22
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为23,则a=________.
7.(2011三明模拟)已知点A是圆C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点,A点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C上,则实数a=________.
8.(2011杭州高三调研)设直线3x+4y-5=0与圆C1:x2+y2=4交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧上,则圆C2的半径的最大值是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为α,直线l交圆于A、B两点.
(1)当α=3π4时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.
10.(12分)(2011湛江模拟)自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
11.(14分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
学案50直线、圆的位置关系
自主梳理
1.相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离2.x0x+y0y=r2(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
自我检测
1.A2.D3.B4.B5.B
课堂活动区
例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型:
当P在圆外时,有2条切线;
当P在圆上时,有1条切线;
当P在圆内时,不存在.
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时,一定要注意直线方程的存在性,有时要进行恰当分类.
(3)切线长的求法:
过圆C外一点P作圆C的切线,切点为M,半径为R,
则|PM|=|PC|2-R2.
解(1)将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx,
由|k+2|1+k2=2,解得k=2±6,得y=(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,
设直线方程为x+y-a=0,
由|-1+2-a|2=2,
得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.
∴直线方程为x+y+1=0,或x+y-3=0.
综上,圆的切线方程为y=(2+6)x,或y=(2-6)x,
或x+y+1=0,或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,
得x21+y21=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0.
即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,即OP取得最小值,直线OP⊥l,
∴直线OP的方程为2x+y=0.
解方程组2x+y=0,2x-4y+3=0,得点P的坐标为-310,35.
变式迁移1解设圆切线方程为y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0,∴1=|k+2-2k|k2+1,
∴k=34,另一条斜率不存在,方程为x=2.
∴切线方程为x=2和3x-4y+6=0.
圆心C为(1,1),∴kPC=3-12-1=2,
∴过两切点的直线斜率为-12,又x=2与圆交于(2,1),
∴过切点的直线为x+2y-4=0.
例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法:
已知直线的斜率为k,直线与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C到l的距离为d,圆的半径为r.
方法一代数法:弦长|AB|=1+k2|x2-x1|
=1+k2x1+x22-4x1x2;
方法二几何法:弦长|AB|=2r2-d2.
(2)有关弦的中点问题:
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直,利用这条性质可确定某些等量关系.
解(1)方法一
如图所示,|AB|=43,取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,连接AC、BC,
则|AD|=23,|AC|=4,
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
当直线l的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式,得|-2k-6+5|k2+-12=2,
解得k=34.
当k=34时,直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
方法二当直线l的斜率存在时,
设所求直线的斜率为k,
则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5.
联立直线与圆的方程y=kx+5,x2+y2+4x-12y+24=0,
消去y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.①
设方程①的两根为x1,x2,
由根与系数的关系,得x1+x2=2k-41+k2,x1x2=-111+k2.②
由弦长公式,得1+k2|x1-x2|
=1+k2[x1+x22-4x1x2]=43.
将②式代入,解得k=34,
此时直线方程为3x-4y+20=0.
又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.
∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即CD→PD→=0,
(x+2,y-6)(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
变式迁移2(1)证明由kx-y-4k+3=0,
得(x-4)k-y+3=0.
∴直线kx-y-4k+3=0过定点P(4,3).
由x2+y2-6x-8y+21=0,
即(x-3)2+(y-4)2=4,
又(4-3)2+(3-4)2=24.
∴直线和圆总有两个不同的交点.
(2)解kPC=3-44-3=-1.
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短,因此过P点斜率为1的直线即为所求,其方程为y-3=x-4,即x-y-1=0.|PC|=|3-4-1|2=2,
∴|AB|=2|AC|2-|PC|2=22.
例3解题导引圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手.
解对于圆C1与圆C2的方程,经配方后
C1:(x-m)2+(y+2)2=9;
C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)如果C1与C2外切,
则有m+12+-2-m2=3+2.
(m+1)2+(m+2)2=25.
m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
(2)如果C1与C2内含,
则有m+12+m+223-2.
(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,
得-2m-1,
∴当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切;
当-2m-1时,圆C1与圆C2内含.
变式迁移3解(1)两圆方程相减得公共弦方程
2(a+1)x+2(b+1)y-a2-1=0.①
依题意,公共弦应为⊙A的直径,
将(-1,-1)代入①得a2+2a+2b+5=0.②
设圆B的圆心为(x,y),∵x=ay=b,
∴其轨迹方程为x2+2x+2y+5=0.
(2)⊙B方程可化为(x-a)2+(y-b)2=1+b2.
由②得b=-12[(a+1)2+4]≤-2,
∴b2≥4,b2+1≥5.当a=-1,b=-2时,⊙B半径最小,
∴⊙B方程为(x+1)2+(y+2)2=5.
例4解题导引这是一道探索存在性问题,应先假设存在圆上两点关于直线对称,由垂径定理可知圆心应在直线上,以AB为直径的圆经过原点O,应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决.因此能否将问题合理地转换是解题的关键.
解圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,
圆心为C(1,-2).
假设在圆C上存在两点A、B,则圆心C(1,-2)在直线y=kx-1上,即k=-1.
于是可知,kAB=1.
设lAB:y=x+b,代入圆C的方程,
整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)0,b2+6b-90,
解得-3-32b-3+32.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-b-1,x1x2=12b2+2b-2.
由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,
也就是x1x2+(x1+b)(x2+b)=0,
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得b2+3b-4=0,
解得b=-4或b=1,均满足Δ0.
即直线AB的方程为x-y-4=0,或x-y+1=0.
变式迁移4解(1)方法一∵直线l过点A(0,1)且斜率为k,
∴直线l的方程为y=kx+1.
将其代入圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,
得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.①
由题意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×70,
得4-73k4+73.
方法二同方法一得直线方程为y=kx+1,
即kx-y+1=0.
又圆心到直线距离d=|2k-3+1|k2+1=|2k-2|k2+1,
∴d=|2k-2|k2+11,解得4-73k4+73.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由①得x1+x2=4+4k1+k2x1x2=71+k2,
∴OM→ON→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=4k1+k1+k2+8=12k=1(经检验符合题意),∴k=1.
课后练习区
1.C2.C3.D4.A5.D
6.17.-108.1
9.解(1)当α=3π4时,kAB=-1,
直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.(3分)
故圆心(0,0)到AB的距离d=|0+0-1|2=22,
从而弦长|AB|=28-12=30.(6分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-2,y1+y2=4.由x21+y21=8,x22+y22=8,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,
∴kAB=y1-y2x1-x2=12.(10分)
∴直线l的方程为y-2=12(x+1),
即x-2y+5=0.(12分)
10.
解已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.(4分)
设l的方程为y-3=k(x+3),则
|5k+2+3|12+k2=1,(8分)
即12k2+25k+12=0.∴k1=-43,k2=-34.
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
(12分)
11.解两圆的标准方程分别为
(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),
半径分别为11和61-m.
(1)当两圆外切时,5-12+6-32=11+61-m.
解得m=25+1011.(4分)
(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离,故只有61-m-11=5.
解得m=25-1011.(8分)
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为
2×112-|4+3×3-23|42+322=27.(14分)
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助教师缓解教学的压力,提高教学质量。优秀有创意的教案要怎样写呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“高三理科数学复数总复习教学案”,希望能为您提供更多的参考。
第十五章复数
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想,体会理性思维在数系扩充中的作用.本章重点:1.复数的有关概念;2.复数代数形式的四则运算.
本章难点:运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度,还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势,常以选择题、填空题形式出现,多为容易题.在复习过程中,应将复数的概念及运算放在首位.
知识网络
15.1复数的概念及其运算
典例精析
题型一复数的概念
【例1】(1)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=;
(2)在复平面内,复数1+ii对应的点位于第象限;
(3)复数z=3i+1的共轭复数为z=.
【解析】(1)(m2+i)(1+mi)=m2-m+(1+m3)i是实数1+m3=0m=-1.
(2)因为1+ii=i(1+i)i2=1-i,所以在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限.
(3)因为z=1+3i,所以z=1-3i.
【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),并注意复数分为实数、虚数、纯虚数,复数的几何意义,共轭复数等概念.
【变式训练1】(1)如果z=1-ai1+ai为纯虚数,则实数a等于()
A.0B.-1C.1D.-1或1
(2)在复平面内,复数z=1-ii(i是虚数单位)对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】(1)设z=xi,x≠0,则
xi=1-ai1+ai1+ax-(a+x)i=0或故选D.
(2)z=1-ii=(1-i)(-i)=-1-i,该复数对应的点位于第三象限.故选C.
题型二复数的相等
【例2】(1)已知复数z0=3+2i,复数z满足zz0=3z+z0,则复数z=;
(2)已知m1+i=1-ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni=;
(3)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则这个实根为,实数k的值为.
【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R),又z0=3+2i,
代入zz0=3z+z0得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i,
整理得(2y+3)+(2-2x)i=0,
则由复数相等的条件得
解得所以z=1-.
(2)由已知得m=(1-ni)(1+i)=(1+n)+(1-n)i.
则由复数相等的条件得
所以m+ni=2+i.
(3)设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得
由复数相等的充要条件得
解得或
所以方程的实根为x=2或x=-2,
相应的k值为k=-22或k=22.
【点拨】复数相等须先化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.
【变式训练2】(1)设i是虚数单位,若1+2i1+i=a+bi(a,b∈R),则a+b的值是()
A.-12B.-2C.2D.12
(2)若(a-2i)i=b+i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=.
【解析】(1)C.1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=3+i2,于是a+b=32+12=2.
(2)3.2+ai=b+ia=1,b=2.
题型三复数的运算
【例3】(1)若复数z=-12+32i,则1+z+z2+z3+…+z2008=;
(2)设复数z满足z+|z|=2+i,那么z=.
【解析】(1)由已知得z2=-12-32i,z3=1,z4=-12+32i=z.
所以zn具有周期性,在一个周期内的和为0,且周期为3.
所以1+z+z2+z3+…+z2008
=1+z+(z2+z3+z4)+…+(z2006+z2007+z2008)
=1+z=12+32i.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi+x2+y2=2+i,
所以解得所以z=+i.
【点拨】解(1)时要注意x3=1(x-1)(x2+x+1)=0的三个根为1,ω,ω-,
其中ω=-12+32i,ω-=-12-32i,则
1+ω+ω2=0,1+ω-+ω-2=0,ω3=1,ω-3=1,ωω-=1,ω2=ω-,ω-2=ω.
解(2)时要注意|z|∈R,所以须令z=x+yi.
【变式训练3】(1)复数11+i+i2等于()
A.1+i2B.1-i2C.-12D.12
(2)(2010江西鹰潭)已知复数z=23-i1+23i+(21-i)2010,则复数z等于()
A.0B.2C.-2iD.2i
【解析】(1)D.计算容易有11+i+i2=12.
(2)A.
总结提高
复数的代数运算是重点,是每年必考内容之一,复数代数形式的运算:①加减法按合并同类项法则进行;②乘法展开、除法须分母实数化.因此,一些复数问题只需设z=a+bi(a,b∈R)代入原式后,就可以将复数问题化归为实数问题来解决.
第十一章算法初步
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1.了解算法的含义,了解算法的思想.
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.
3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
4.了解几个古代的算法案例,能用辗转相除法及更相减损术求最大公约数;用秦九韶算法求多项式的值;了解进位制,会进行不同进位制之间的转化.本章重点:1.算法的三种基本逻辑结构即顺序结构、条件结构和循环结构;2.输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句(两种形式)的结构、作用与功能及各种语句的格式要求.
本章难点:1.用自然语言表示算法和运用程序框图表示算法;2.用算法的基本思想编写程序解决简单问题.弄清三种基本逻辑结构的区别,把握程序语言中所包含的一些基本语句结构.算法初步作为数学新增部分,在高考中一定会体现出它的重要性和实用性.
高考中将重点考查对变量赋值的理解和掌握、对条件结构和循环结构的灵活运用,学会根据要求画出程序框图;预计高考中,将考查程序框图、循环结构和算法思想,并结合函数与数列考查逻辑思维能力.因此算法知识与其他知识的结合将是高考的重点,这也恰恰体现了算法的普遍性、工具性,当然难度不会太大,重在考查算法的概念及其思想.
1.以选择题、填空题为主,重点考查算法的含义、程序框图、基本算法语句以及算法案例等内容.
2.解答题中可要求学生设计一个计算的程序并画出程序框图,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
知识网络
11.1算法的含义与程序框图
典例精析
题型一算法的含义
【例1】已知球的表面积是16π,要求球的体积,写出解决该问题的一个算法.
【解析】算法如下:
第一步,s=16π.
第二步,计算R=s4π.
第三步,计算V=4πR33.
第四步,输出V.
【点拨】给出一个问题,设计算法应该注意:
(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方法,此问题涉及到的各种情况;
(2)将此问题分成若干个步骤;
(3)用简练的语句将各步表述出来.
【变式训练1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分,则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I<13成立时,只能运算
1×3×5×7×9×11.故选A.
题型二程序框图
【例2】图一是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1,A2,…,A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是()
A.i<6?B.i<7?C.i<8?D.i<9?
图一
【解析】根据题意可知,i的初始值为4,输出结果应该是A4+A5+A6+A7,因此判断框中应填写i<8?,选C.
【点拨】本题的命题角度较为新颖,信息量较大,以条形统计图为知识点进行铺垫,介绍了算法流程图中各个数据的引入来源,其考查点集中于循环结构的终止条件的判断,考查了学生合理地进行推理与迅速作出判断的解题能力,解本题的过程中不少考生误选A,实质上本题中的数据并不大,考生完全可以直接从头开始限次按流程图循环观察,依次写出每次循环后的变量的赋值,即可得解.
【变式训练2】(2009辽宁)某店一个月的收入和支出,总共记录了N个数据a1,a2,…,aN.其中收入记为正数,支出记为负数,该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的()
A.A>0?,V=S-T
B.A<0?,V=S-T
C.A>0?,V=S+T
D.A<0?,V=S+T
【解析】选C.
题型三算法的条件结构
【例3】某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算:
f=
其中f(单位:元)为托运费,ω为托运物品的重量(单位:千克),试写出一个计算费用f的算法,并画出相应的程序框图.
【解析】算法如下:
第一步,输入物品重量ω.
第二步,如果ω≤50,那么f=0.53ω,
否则,f=50×0.53+(ω-50)×0.85.
第三步,输出托运费f.
程序框图如图所示.
【点拨】求分段函数值的算法应用到条件结构,因此在程序框图的画法中需要引入判断框,要根据题目的要求引入判断框的个数,而判断框内的条件不同,对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
【变式训练3】(2010天津)阅读如图的程序框图,若输出s的值为-7,则判断框内可填写()
A.i<3?
B.i<4?
C.i<5?
D.i<6?
【解析】i=1,s=2-1=1;
i=3,s=1-3=-2;
i=5,s=-2-5=-7.所以选D.
题型四算法的循环结构
【例4】设计一个计算10个数的平均数的算法,并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下:
第一步,令S=0.
第二步,令I=1.
第三步,输入一个数G.
第四步,令S=S+G.
第五步,令I=I+1.
第六步,若I>10,转到第七步,
若I≤10,转到第三步.
第七步,令A=S/10.
第八步,输出A.
据上述算法步骤,程序框图如图.
【点拨】(1)引入变量S作为累加变量,引入I为计数变量,对于这种多个数据的处理问题,可通过循环结构来达到;(2)计数变量用于记录循环次数,同时它的取值还用于判断循环是否终止,累加变量用于输出结果.
【变式训练4】设计一个求1×2×3×…×10的程序框图.
【解析】程序框图如下面的图一或图二.
图一图二
总结提高
1.给出一个问题,设计算法时应注意:
(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方法;
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况;
(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述;
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤;
(5)用简练的语言将各个步骤表示出来.
2.循环结构有两种形式,即当型和直到型,这两种形式的循环结构在执行流程上有所不同,当型循环是当条件满足时执行循环体,不满足时退出循环体;而直到型循环则是当条件不满足时执行循环体,满足时退出循环体.所以判断框内的条件,是由两种循环语句确定的,不得随便更改.
3.条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中.如分段函数的求值,数据的大小关系等问题的算法设计.
11.2基本算法语句
典例精析
题型一输入、输出与赋值语句的应用
【例1】阅读程序框图(如下图),若输入m=4,n=6,则输出a=,i=.
【解析】a=12,i=3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句,也是程序必不可少的重要组成部分,使用赋值语句,要注意其格式要求.
【变式训练1】(2010陕西)如图是求样本x1,x2,…,x10的平均数的程序框图,则图中空白框中应填入的内容为()
A.S=S+xnB.S=S+xnnC.S=S+nD.S=S+1n
【解析】因为此步为求和,显然为S=S+xn,故选A.
题型二循环语句的应用
【例2】设计算法求11×2+12×3+13×4+…+199×100的值.要求画出程序框图,写出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题,共99项相加,可设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示:
程序如下:
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k*(k+1))
k=k+1
LOOPUNTILk>99
PRINTs
END
【点拨】(1)在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时,一定要注意格式和条件的表述方法,WHILE语句是当条件满足时执行循环体,UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务,如累加求和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中,也可以嵌套条件语句,甚至是循环语句,此时需要注意嵌套的这些语句,保证语句的完整性,否则就会造成程序无法执行.
【变式训练2】下图是输出某个有限数列各项的程序框图,则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知,当N=1时,A=1;N=2时,A=13;N=3时,A=15,…,即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列,故当N=50时,A=11+(50-1)×2=199,即为框图最后输出的一个数据.故填199.
题型三算法语句的实际应用
【例3】某电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间3分钟以内,收取通话费0.2元,如果通话时间超过3分钟,则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计算).试设计一个计算通话费用的算法,要求写出算法,编写程序.
【解析】我们用c(单位:元)表示通话费,t(单位:分钟)表示通话时间,
则依题意有
算法步骤如下:
第一步,输入通话时间t.
第二步,如果t≤3,那么c=0.2;否则c=0.2+0.1×[t-2].
第三步,输出通话费用c.
程序如下:
INPUTt
IFt<3THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
ENDIF
PRINTc
END
【点拨】在解决实际问题时,要正确理解其中的算法思想,根据题目写出其关系式,再写出相应的算法步骤,画出程序框图,最后准确地编写出程序,同时要注意结合题意加深对算法的理解.
【变式训练3】(2010江苏)下图是一个算法流程图,则输出S的值是.
【解析】n=1时,S=3;n=2时,S=3+4=7;n=3时,S=7+8=15;n=4时,S=15+24=31;n=5时,S=31+25=63.因为63≥33,所以输出的S值为63.
总结提高
1.输入、输出语句可以设计提示信息,加引号表示出来,与变量之间用分号隔开.
2.赋值语句的赋值号左边只能是变量而不能是表达式;赋值号左右两边不能对换,不能利用赋值语句进行代数式计算,利用赋值语句可以实现两个变量值的互换,方法是引进第三个变量,用三个赋值语句完成.
3.在某些算法中,根据需要,在条件语句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含条件语句.遇到这样的问题,要分清内外条件结构,保证结构的完整性.
4.分清WHILE语句和UNTIL语句的格式,在解决一些需要反复执行的运算任务,如累加求和,累乘求积等问题中应主要考虑利用循环语句来实现,但也要结合其他语句如条件语句.
5.编程的一般步骤:
(1)算法分析;(2)画出程序框图;(3)写出程序.
11.3算法案例
典例精析
题型一求最大公约数
【例1】(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数;
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数:
1764=840×2+84,
840=84×10+0.
所以840与1764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数:
556-440=116,
440-116=324,
324-116=208,
208-116=92,
116-92=24,
92-24=68,
68-24=44,
44-24=20,
24-20=4,
20-4=16,
16-4=12,
12-4=8,
8-4=4.
所以440与556的最大公约数是4.
【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法,辗转相除法用较大的数除以较小的数,直到大数被小数除尽结束运算,较小的数就是最大公约数;更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数,直到所得的差和较小数相等为止,这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下,辗转相除法步骤较少,而更相减损术步骤较多,但运算简易,解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数,先求其中两个数的最大公约数,再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.
【解析】先求147与343的最大公约数.
343-147=196,
196-147=49,
147-49=98,
98-49=49,
所以147与343的最大公约数为49.
再求49与133的最大公约数.
133-49=84,
84-49=35,
49-35=14,
35-14=21,
21-14=7,
14-7=7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
题型二秦九韶算法的应用
【例2】用秦九韶算法写出求多项式f(x)=1+x+0.5x2+0.01667x3+0.04167x4+0.00833x5在x=-0.2时的值的过程.
【解析】先把函数整理成f(x)=((((0.00833x+0.04167)x+0.16667)x+0.5)x+1)x+1,
按照从内向外的顺序依次进行.
x=-0.2,
a5=0.00833,v0=a5=0.00833;
a4=0.04167,v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.01667,v2=v1x+a3=0.00867;
a2=0.5,v3=v2x+a2=0.49827;
a1=1,v4=v3x+a1=0.90035;
a0=1,v5=v4x+a0=0.81993;
所以f(-0.2)=0.81993.
【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法,特点是:
(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值;
(2)减少运算次数,提高效率;
(3)步骤重复实施,能用计算机操作.
【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值为.
【解析】1397.
题型三进位制之间的转换
【例3】(1)将101111011(2)转化为十进制的数;
(2)将53(8)转化为二进制的数.
【解析】(1)101111011(2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379.
(2)53(8)=5×81+3=43.
所以53(8)=101011(2).
【点拨】将k进制数转换为十进制数,关键是先写成幂的积的形式再求和,将十进制数转换为k进制数,用“除k取余法”,余数的书写是由下往上,顺序不能颠倒,k进制化为m进制(k,m≠10),可以用十进制过渡.
【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.
【解析】具体的计算方法如下:
89=3×29+2,
29=3×9+2,
9=3×3+0,
3=3×1+0,
1=3×0+1,
所以89(10)=10022(3).
总结提高
1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同,但二者的原理却是相似的,主要区别是一个是除法运算,一个是减法运算,实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值,关键是正确的将多项式改写,然后由内向外,依次计算求解.
2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强,要掌握算法步骤,并熟练转化;要熟练应用“除基数,倒取余,一直除到商为0”.
文章来源:http://m.jab88.com/j/51660.html
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