一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。那么怎么才能写出优秀的教案呢？下面是小编精心为您整理的“2013年高考理科数学直线及其方程复习教案”，但愿对您的学习工作带来帮助。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.1直线及其方程
考纲要求
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
知识梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____与直线l____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．
②倾斜角的取值范围为________．
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.
2．直线的方程
(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．
(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距b和斜率k，则直线方程为__________，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距分别为a，b(其中a≠0，b≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式．
基础自测
1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()．
A．π6B．π3C．23πD．56π
2．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是()．
A．－6B．－7C．－8D．－9
3．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是()．
A．0°＜α＜45°B．45°＜α＜90°C．90°＜α＜135°D．135°＜α＜180°
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()．
A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1
5．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则有()．
A．ab＞0，bc＞0B．ab＞0，bc＜0
C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0
思维拓展
1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？
提示：(1)所有的直线都有倾斜角，当直线与x轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；(2)直线倾斜角的范围为[0，π)，因为正切函数在[0，π)上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，对其在0，π2和π2，π上的变化情况分别讨论．
2．求直线方程时，应注意什么？
提示：(1)因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；(2)有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．
一、直线的倾斜角与斜率
【例1】已知A(－2,3)，B(3,2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．
方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
请做[针对训练]1
二、求直线的方程
【例2】已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，求直线l的方程．
方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条件．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．
请做[针对训练]4
三、直线方程的应用
【例3－1】已知点A(2,5)与点B(4，－7)，试在y轴上求一点P，使得|PA|＋|PB|的值为最小．
【例3－2】已知两直线l1：x＋2＝0，l2：4x＋3y＋5＝0及定点A(－1，－2)，求过l1，l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程．
方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．
请做[针对训练]5
考情分析
通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．
针对训练
1．直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()．
A．0，π2B．(0，π)C．－π4，π4D．0，π4∪3π4，π
2．(2011山东临沂模拟)直线xcosθ＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．
3．(2011广东广州高三调研)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为__________．
4．若直线l过点P(－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
5．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α＜180°(2)①正切值tanα90°②y2－y1x2－x1
2．(1)y－y0＝k(x－x0)垂直于x轴
(2)y＝kx＋b(3)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
(4)xa＋yb＝1(5)Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)
基础自测
1．D解析：∵直线的斜截式方程为y＝－33x－33，
∴其斜率为－33.
∴其倾斜角为56π.
2．B解析：∵A，B，C三点共线，
∴k－1－1－3＝11－18－3.
∴k＝－7.
3．B解析：由tanα＝2，结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，
易知45°＜α＜90°.
4．D解析：当直线l过原点时，则－2－a＝0，即a＝－2；
当直线l不过原点时，原方程可化为xa＋2a＋ya＋2＝1，
由a＋2a＝a＋2，得a＝1.
所以a的值为－2或1.
5．D解析：显然直线斜率存在，直线方程可化为y＝－abx－cb，
因为直线过第一、二、三象限，
所以有－ab＞0，－cb＞0，
即ab＜0，bc＜0.
考点探究突破
【例1】－52，43解析：如图，由斜率公式得
kAP＝－2－30－(－2)＝－52，kBP＝－2－20－3＝43，
当直线l从与x轴平行位置绕P点逆时针旋转到直线PB位置但不与PB重合时满足题意，
其斜率l满足0≤k＜kPB＝43；
当直线l从AP位置(与AP不重合)绕P点逆时针旋转到与x轴平行的位置时，其斜率k满足kAP＜k＜0，即－52＜k＜0.
综上所述k的取值范围是－52＜k＜43.
【例2】解：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
当m≠2时，直线l的方程为y－13－1＝x－2m－2，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
【例3－1】解：如图所示，先求出A点关于y轴的对称点A′(－2,5)，
直线A′B的方程为y＋75＋7＝x－4－2－4，
化简为2x＋y－1＝0.
令x＝0，得y＝1.
故所求P点坐标为P(0,1)．
【例3－2】解：先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数．过l1、l2交点的直线系方程是x＋2＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x＋3λy＋(2＋5λ)＝0①，由
|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1，
得λ＝0.代入方程①，得x＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l2，所以应检验l2是否也符合已知条件．因A(－1，－2)到l2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l2也符合要求．
故直线l的方程为x＋2＝0和4x＋3y＋5＝0.
演练巩固提升
针对训练
1．D解析：直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4；
当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是3π4，π.
2．0，π6∪56π，π解析：把直线方程化为斜截式y＝－33cosθx－233，
则k＝－33cosθ.
∵－33≤k≤33，
∴0≤α≤π6或56π≤α＜π.
3．y＝－33x解析：将圆的一般方程化为标准方程：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径r＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，切线方程为y＝－33x.
4．解：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，
则l的方程为y－3＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝2k＋3；
令y＝0，得x＝－3k－2，
则12|2k＋3|－3k－2＝4，
∴(2k＋3)3k＋2＝±8.
若(2k＋3)3k＋2＝8，化简得4k2＋4k＋9＝0，方程无解；
若(2k＋3)3k＋2＝－8，化简得4k2＋20k＋9＝0，
解得k＝－92或－12.
∴直线l的方程为y－3＝－92(x＋2)或y－3＝－12(x＋2)，
即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.
5．解：解法一：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.
∵l过点P(3,2)，
∴3a＋2b＝1，b＝2aa－3.
从而S△ABO＝12ab＝12a2aa－3＝a2a－3.
故有S△ABO＝(a－3)2＋6(a－3)＋9a－3
＝(a－3)＋9a－3＋6
≥2(a－3)9a－3＋6＝12，
当且仅当a－3＝9a－3，
即a＝6时，(S△ABO)min＝12，
此时b＝2×66－3＝4.
∴所求直线l的方程为x6＋y4＝1，
即2x＋3y－12＝0.
解法二：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
代入P(3,2)，得3a＋2b＝1≥26ab，
得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，
当且仅当3a＝2b时，等号成立，
此时k＝－ba＝－23，
∴y－2＝－23(x－3)，
∴所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
解法三：依题意知，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，
则有A(3－2k，0)，B(0,2－3k)，
∴S△AOB＝12(2－3k)3－2k
＝1212＋(－9k)＋4(－k)
≥1212＋2(－9k)4(－k)
＝12(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

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第九章解析几何
学案47直线及其方程

导学目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
自主梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2→，其坐标为________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．
3．直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C＝0是直线l的方程．
4．直线方程的五种基本形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x＝x0
斜截式不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
自我检测
1．(2011银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三点共线，则m的值为()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四个命题中，假命题是()
A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究点一倾斜角与斜率

例1已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．

变式迁移1直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究点二直线的方程
例2(2011武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

变式迁移2求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

探究点三直线方程的应用

例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA||PB|最小时l的方程．
变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？
探究点四数形结合思想
例4已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
试求y＋3x＋2的最大值与最小值．

变式迁移4直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α180°，熟记斜率公式k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直线方程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．
3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．(2011包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.
7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．

10．(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．
11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

学案47直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直线l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)5.x1＋x22y1＋y22
自我检测
1．A2.D3.D4.C5.D
课堂活动区
例1解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直线l的斜率为13.
变式迁移1D[直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4，
当－1≤k0时，倾斜角的范围是3π4，π.]
例2解题导引(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．
解过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和(0,8)，
显然不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
变式迁移2解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，
∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解题导引先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解设直线的方程为xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
当且仅当2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA||PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.
变式迁移4C
[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，
故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
课后练习区
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)当m＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当m≠－1时，k＝1m＋1.(3分)
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当m≠－1时，AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
则－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴所求m的范围是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)证明直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)

2013高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.4直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
5．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种：____、____、____.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac0，＝0，0.
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：
d＜r____，
d＝r____，
d＞r____.
(2)圆的切线方程：
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为______________．
经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上点P(x0，y0)的切线方程为__________．
(3)直线与圆相交：
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝______，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．
2．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_____、_____、_____、_____、_____.
(2)判断圆与圆的位置关系常用方法：
①几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则|O1O2|＞r1＋r2____；|O1O2|＝r1＋r2____；|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2____；|O1O2|＝|r1－r2|____；|O1O2|＜|r1－r2|____.
②代数法：
方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
有两组不同的实数解两圆____；
有两组相同的实数解两圆____；
无实数解两圆相离或内含．
3．在空间直角坐标系中，O叫做坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：即伸开右手，使拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，中指指向______轴的正方向．也可这样建立坐标系：令z轴的正方向竖直向上，先确定x轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转90°就是y轴的正方向．
4．空间点的坐标
设点P(x，y，z)为空间坐标系中的一点，则(1)关于原点的对称点是______；(2)关于x轴的对称点是______；(3)关于y轴的对称点是______；(4)关于z轴的对称点是______；(5)关于xOy坐标平面的对称点是______；(6)关于yOz坐标平面的对称点是______；(7)关于xOz坐标平面的对称点是______．
5．空间两点间的距离
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝__________.
基础自测
1．在下列直线中，与圆x2＋y2＋23x－2y＋3＝0相切的直线是()．
A．x＝0B．y＝0
C．x－y＝0D．x＋y＝0
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是()．
A．相交B．内切
C．外切D．内含
3．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0有两个不同的公共点，则k的取值范围是()．
A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
5．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝__________.
6．已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|＝6，则x的值为__________．
思维拓展
1．在判断直线与圆相交时，当直线方程和圆的方程都含有字母时，如何判断？
提示：若给出的方程都含有字母，利用代数法和几何法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．
2．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示：①首先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，该点即为切点，则切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．②若求出的切线条数与判断不一致，则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了．
一、直线与圆的位置关系
【例1】点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋by＝r2与圆的交点个数为()．
A．0B．1C．2D．需要讨论确定
方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法：代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便．
请做[针对训练]4
二、直线与圆相交问题
【例2－1】过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()．
A．3B．2C．6D．23
【例2－2】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆C截得的弦长为43，求l的方程．
方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋k2Δ|a|.其中a为一元二次方程中的二次项系数．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.
代数法计算量较大，我们一般选用几何法．
请做[针对训练]1
三、圆的切线问题
【例3】从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线方程．
方法提炼求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．
请做[针对训练]5
四、圆与圆的位置关系
【例4－1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2外切；
(2)圆C1与圆C2内含．
【例4－2】已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，并且通过两圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，
(1)求圆C的方程；
(2)求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程．
方法提炼1．判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论．
2．若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程C1＋λC2＝0(λ≠－1)．
3．利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程．
请做[针对训练]2
五、空间直角坐标系
【例5－1】在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是__________．
【例5－2】求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离．
方法提炼求某点关于某轴的对称点时，“关于谁对称谁不变”，如点(x，y，z)关于x轴的对称点是(x，－y，－z)；求某点关于某平面的对称点时，“缺哪个变哪个”，如点(x，y，z)关于平面xOy的对称点是(x，y，－z)；点(x，y，z)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)．
请做[针对训练]3
考情分析
通过分析近几年的高考试题，可以看到对于本节内容，主要是考查直线与圆的位置关系，以选择题、填空题为主，题目难度适中，着重于基础知识、基本方法的考查．整个命题过程主要侧重以下几点：(1)直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点，特别是直线与圆的位置关系；(2)圆中几个重要的度量关系．在直线与圆的位置关系中，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心；在切线问题中，切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体．
针对训练
1．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.
3．已知在空间中有△ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC的面积等于__________．
4．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
5．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，如图所示，求光线l所在直线的方程．
参考答案

基础梳理自测
知识梳理
1．(1)相切相交相离①相交相切相离②相交相切相离
(2)x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2x0x＋y0y＋Dx0＋x2＋Ey＋y02＋F＝0(3)d2＋l22
2．(1)相离外切相交内切内含
①相离外切相交内切内含②相交相切
3．xyz
4．(－x，－y，－z)(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)
5．(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2
基础自测
1．B解析：将圆的方程化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝1，分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得B选项正确(A，B选项均通过作图可直观判断)．
2．B解析：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.
∵|O1O2|＝1＝r2－r1，∴两圆内切．
3．D解析：由题意知，圆心C(1,1)到直线l的距离d＝|k－1－2k＋2|k2＋1＜2，解得k≠－1，故k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
4．x2＋y2＝2解析：圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2.
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
5．±147解析：由已知可求出圆心O到直线l的距离d＝2，即|3k|1＋k2＝2，解得k＝±147.
6．1或9解析：由空间两点间的距离公式，得(x－5)2＋(2－4)2＋(3－7)2＝6，
即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9.
考点探究突破
【例1】A解析：由题意知a2＋b2＜r2，
所以圆心(0,0)到直线ax＋by－r2＝0的距离d＝r2a2＋b2＞r，
即直线与圆相离，无交点．
【例2－1】D解析：直线方程为y＝3x，圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝4.
圆心(0,2)，半径长r＝2.
圆心到直线y＝3x的距离d＝1.
则弦长为2r2－d2＝23.
【例2－2】解：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心(－2,6)，半径长r＝4.
又直线l被圆截得的弦长为43，
所以圆心C到直线l的距离d＝42－(23)2＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，
此时l的方程为34x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.故所求直线方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
【例3】解：当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
∵圆心为(1,1)，半径长r＝1，
∴|k－1＋3－2k|k2＋(－1)2＝1，∴k＝34.
∴所求切线方程为y－3＝34(x－2)，
即3x－4y＋6＝0.
当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2.
【例4－1】解：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，则有(m＋1)2＋(m＋2)2＜3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，m2＋3m＋2＜0，
解得－2＜m＜－1.
∴当m＝－5，或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2内含．
【例4－2】解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点，
故设此圆的方程为x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0，(λ≠－1，λ∈R)，即(1＋λ)(x2＋y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即x2＋y2－4x1＋λ－4λy1＋λ－3＝0，圆心为21＋λ，2λ1＋λ.
由于圆心在直线x－y－4＝0上，
∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13，
所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.
(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得x－y＝0，此即相交弦所在直线的方程．
【例5－1】(0，－1,0)解析：设M(0，y,0)，由(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，
解得y＝－1，故M(0，－1,0)．
【例5－2】解：易知B(1，－2,1)，C(1,2,1)．
所以|BC|＝
(1－1)2＋(－2－2)2＋(1－1)2＝4.
演练巩固提升
针对训练
1．2x－y＝0解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.
设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为d＝|k－2|1＋k2，故有|k－2|1＋k2＝0，解得k＝2.故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
2．1解析：依题，画出两圆位置如下图，公共弦为AB，交y轴于点C，连接OA，则|OA|＝2.两圆方程相减，得2ay＝2，解得y＝1a，
∴|OC|＝1a.
又公共弦长为23，∴|AC|＝3.
于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即1a2＝22－(3)2，
整理得a2＝1，又a＞0，∴a＝1.
3．92解析：根据空间中两点间的距离公式可得：
|AB|＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，
|BC|＝(－1－0)2＋(－1－0)2＋(－1＋5)2＝32
|AC|＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，故其面积S＝12|AB||AC|＝12×3×3＝92.
4．解：方法一：圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝|b|2，圆的半径长r＝2.
(1)d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
(2)d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点；
(3)d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．
方法二：把直线y＝x＋b与圆的方程x2＋y2＝2联立，即y＝x＋b，x2＋y2＝2，消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0.
再利用△＞0，△＝0，△＜0，分别确定b的取值，结论同“方法一”．
5．解法一：设入射光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)．因为点A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，所以反射光线所在直线经过点A′.
又∵光线的入射角等于反射角，
∴反射光线所在直线的方程为
kx＋y＋3k＋3＝0.
∵反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，
∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－34，或k＝－43.∴入射光线l所在的直线方程为y－3＝－34(x＋3)，或y－3＝－43(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.
解法二：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称圆C′的方程为x2＋y2－4x＋4y＋7＝0.
因入射光线经x轴反射后与圆C相切，则入射光线所在直线与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0.
∵圆C′的圆心(2，－2)到l的距离与半径长相等，∴|2k＋2＋3k＋3|k2＋1＝1，
∴k＝－34，或k＝－43.
∴入射光线所在直线方程为
3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.

09年高考理科物理总复习教案

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是小编精心为您整理的“09年高考理科物理总复习教案”，仅供您在工作和学习中参考。

09年高考理科物理总复习教案

北京新干线学校物理教研组

一,理综试题的卷面情况

2009年高三年级第二学期期中练习试题与近几年来理综物理试题在结构上基本相同,题型分布保持相对稳定,2009年试题的题量及赋分与2008年基本一致。其中8道不定向选择题中力学题由热、光、原子物理题各占一个题,力学两个小题其一万有引力、其二是牛顿第二定律实验,电学为交流电,和带电粒子在电磁场中的运动,图像的考察。实验题考虑到以前的考察,本次突出了实用能力的检查。计算题新情境含量大。考查的知识点分布、能力取向及难易程度与往年相当。

2009年试题的文字阅读量适中,实物图和函数图像图的数量与2008年相当,创新点在函数图的应用能力上的考察(尤其是选择题的20题)。从试卷的难易程度上看,计算量有一些加大,整卷难度和去年基本持平。

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2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2点与直线、直线与直线的位置关系
考纲要求
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．
(1)两直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2________________.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2__________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2k1k2＝____.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2____________.
2．两直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.
3．有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝____________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
(3)两平行线间的距离
已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：
①求一条直线上一点到另一条直线的距离；
②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.
4．对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为____________．
(2)中心对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得______．
(3)轴对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
基础自测
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
2．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()．
A．13B．22C．6D．2
3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝()．
A．2B．1C．0D．－1
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝()．
A．－1B．－12C．2D．12
5．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．
思维拓展
1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？
提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．
2．运用距离公式时应注意什么？
提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．
一、两直线的平行
【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()．
A．2B．－3
C．2或－3D．－2或－3
方法提炼1．判定两直线平行的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]1
二、两直线的垂直
【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法提炼1．判定两直线垂直的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.
2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]2
三、距离公式的应用
【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．
【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
请做[针对训练]3
四、对称问题
【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；
(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．
【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．
2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．
针对训练
1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．
2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．
4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(2)－1A1A2＋B1B2＝0
2．相交平行重合
3．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2
(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2
4．(1)x1＋x22，y1＋y22
(2)x＝2a－x1，y＝2b－y1
基础自测
1．A解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，
∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.
2．B解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.
3．D解析：∵两直线垂直，
∴a(a＋2)＝－1.
∴a＝－1.
4．B解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，
∴三条直线交于点(－1，－2)．
∴－1－2b＝0，即b＝－12.
5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32|2－m|＝6m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.
考点探究突破
【例1】C解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；
当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.
解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3或2时，－2(m＋1)－12≠0.
∴m＝－3或2为所求．
【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k(－2)＝－1.∴k＝12.
又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.
解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.
故交点P(－1,2)．
(1)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，
∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．
综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋1＝0，
解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，
解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由两点间的距离公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，
即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.
解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，
如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，
设直线l与两平行线的夹角为θ，
则，
所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是，
故所求直线的斜率不存在，或为0.
又因为直线l过点P(3,1)，
所以直线l的方程为x=3，或y=1.
【例4－1】解：(1)设A′(x，y)，
由已知得y＋2x＋123＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，
解得x＝－3313，y＝413.
故A′－3313，413.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上．
设对称点为M′(a，b)，
则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，
得M′613，3013.
设m与l1的交点为N，
由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．
又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l3上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)．
∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，
∴l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵P′在直线l1上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0.
整理得2x－3y－9＝0.
【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P(3，－2)，显然P也在l2上．
设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－(－2)1＋－34×(－2)＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.
故l2的直线方程为y＋2＝－211(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.
方法二：在直线l1上取一点A(2,0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则
y0－0x0－2＝43，32＋x02＋40＋y02－1＝0，
解得B45，－85.
故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
演练巩固提升
针对训练
1．3x＋4y－11＝0解析：解法一：设直线l的斜率为k.
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－34.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
解法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
2．1解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，
∴1×2＋(－2)m＝0，即m＝1.
3．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2，可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴(a－1)2＋(b－1)2即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．
因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是(a－1)2＋(b－1)2的最小值．
由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，
故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.
4．解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
图甲
设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′kl＝－1，
即b－4a3＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，
∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，
即2x＋y－9＝0.
解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．
图乙
设C′的坐标为(x′，y′)，
∴y′－4x′－33＝－1，3x′＋32－y′＋42－1＝0.
解得x′＝35，y′＝245.∴C′35，245.
由两点式得直线AC′的方程为y－1245－1＝x－435－4，
即19x＋17y－93＝0.
解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.
∴所求点Q的坐标为117，267.

文章来源：http://m.jab88.com/j/51905.html

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