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八年级数学上册知识点:无理数
1.无理数的定义
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数。
初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。
2.有理数和无理数的区别
实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点:
1)把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数或无限循环小数,比如4=4.0;4/5=0.8;1/3=0.3...而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.4142,π=3.1415926,根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2)所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数却不能写成两个整数之比.根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫“比数”,把无理数改叫“非比数”.
初一时,我们认识了负数,使数的范围扩展到了有理数,初二,我们又开始学习了无理数,把数的范围再一次扩展到了实数。刚刚学习无理数,认为无理数不象有理数那样,直观易懂,总有一种虚幻的感觉,其次,无理数和有理数一样,有自己的鲜明特征。那么怎样学习无理数呢?请同学们注意以下四个方面。
一.明确无理数的存在
无理数来自实践,无理数并不“无理”,也不是人们臆想出来的,它是实实在在存在的,例如:
(1)一个直角三角形,两条直角边长分别为1和2,由勾股定理知,它的斜边长为;
(2)任何一个圆,它的周长和直径之比为一常数等等;
像这样的数,在我们周围的生活中,不是只有少数几个,而是像有理数一样有无限个。
二.弄清无理数的定义
教材中指出:无限不循环小数叫无理数,这说明无理数是具有两个基本特征的小数:一是小数位数是无限的;二是不循环的。这对初学者来说有一定难度,因此,我们必须掌握它的表现形式。
三.掌握无理数的表现形式
在初中阶段,无理数表现形式主要有以下几种:
1.无限不循环的小数,如0.1010010001……(两个1之间依次多一个0)
2.含的数,如:,,等。
3.开方开不尽而得到的数,如,等。
4.某些三角函数值:如,等。
四.辨别一些模糊认识
1.无限小数都是无理数
无限小数分:为无限循环小数和无限不循环小数,其中无限循环小数是有理数,只有无限不循环的小数才是无理数。
2.无理数包括正无理数、负无理数和零。
受思维习惯的影响,有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零,零也是无理数,其实零是一个有理数,因此,无理数只分为正无理数和负无理数两类。
3.带根号的数是无理数。
是有理数2,是有理数-2,可见带根号的数不一定是无理数。
4.无理数是用根号形式表示的数。
是无理数,但并不是用根号形式表示的,再如:0.1010010001……(两个1之间依次多一个),亦为不带根号的无理数。
5.无理数是开方开不尽的数。
无理数并非由开方的结果来定义的,事实上,如,0.232232223……,等无理数,都不是由开方得到的。
6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。
两个无理数的和,差,积,商不一定是无理数,如:
等都是有理数。
7.无理数与有理数的乘积是无理数。
这种说法是错误的!
由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数,就下肯定结论,错了!
如等足以推翻以上结论。
8.有些无理数是分数。
因为分数属于有理数,且无理数与有理数是两类不同的数,所以说,无理数不可能写成分数,当然,有些无理数可以借助分数线来表示。
如,但一定要注意它并不是分数。
9.无理数比有理数少。
这种说法错误,无理数在人们生产和生活中使用的少一些,但并不是说无理数就少一些,我们平常的计算中没有特别需要时,习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示,这样似乎就觉得使用无理数少一些,实际上,无理数也有无限个且比有理数多得多。
10.一个无理数的平方一定是有理数。
这种说法错误,不要误认为只有等无理数,如等也是无理数,显然等不是有理数。
八年级数学上册《认识无理数》教案
一、教学目标
1.通过拼图活动,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性,在探究过程中培养动手实践的能力和独立思考、合作交流的习惯.
2.会判断一个数是否为有理数,并能说明理由.
二、学情分析
学生在七年级通过生活中的事例已经经历了数系的第一次扩充,从非负有理数到负有理数的扩充,从而扩充到整个有理数范围,本节从有理数扩充无理数,学生理解起来有一定的难度,可以从实例出发,引入无理数。而且通过第一章《勾股定理》的学习,学生已经掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决简单的问题,为引入“新数”奠定了基础.同时学生对于剪切这样的活动已经具备基本的能力,并且比较感兴趣,也开阔了学生的发散思维能力。
三、教学重点
1.通过拼图活动,经历无理数发现的过程,感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数,并能说明理由.
三、教学难点
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
四、教学方法
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
认识无理数教学设计五、教学过程
(一)激情导课
工人师傅要加固一个高2米、宽1米的大门,需要在对角线位置加固一条钢板,设钢板长为a米,则a2的值是多少?
(二)民主导学
1.拼一拼
如图是两个边长为1的小正方形,请你通过剪一剪、拼一拼,设法得到一个大正方形.
问题1:设大正方形的边长为a,a满足什么条件?
问题2:a可能是整数吗?说说你的理由.
问题3:a可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴进行交流.
问题4:a可能是有理数吗?尝试说明理由.
认识无理数教学设计2.做一做
(1)如图,以直角三角形的斜边为正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
3.读一读:无理数的发现
4.巩固应用
(1)长、宽分别为3,2的长方形,它的对角线的长()
A.是分数B.是小数C.是整数D.不是有理数
(2)下列各数中,是有理数的是()
A.面积为3的正方形的边长B.体积为8的正方体的棱长
C.两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长D.圆周率π
(3)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,则△ABC中三边边长不是有
理数的有()
A.0条B.1条C.2条D.3条
5.拓展提高
(1)在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,任意连接这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
(2)如图是小明以他画的线段为边长设计出的一个正方形,请解决下列问题:
①阴影正方形的面积是多少?
认识无理数教学设计②阴影正方形的边长介于哪两个整数之间?
认识无理数教学设计认识无理数教学设计认识无理数教学设计
(3)在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,请按要求设计如下图形:
①三边边长均是有理数的三角形;
②三边边长均不是有理数的三角形;
③两边边长是有理数,另一边长不是有理数的直角三角形;
④一边边长是有理数,另两边长不是有理数的钝角三角形.
(4)如图,等边三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗?可能是分数吗?
三、检测导结
1.当堂检测
在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.
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2.一养鱼专业户欲将面积为288m2的长方形鱼塘改为等面积的边长为lm的正方形鱼塘,则l满足什么条件?l是有理数吗?请说明理由.
2.课堂小结
请你谈谈学习本节课的收获
(1)通过拼图活动,经历无理数产生的实际背景,让学生感受有理数又不够用了.
(2)能判断一个数是否为有理数.
四、布置作业
1.必做题:课本习题2.1(2)
2.选做题:课堂精炼P13(11、12)
3.思考题:
无理数像一篇读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数.设面积为10π的圆的半径为x,回答下列问题:
(1)x是有理数吗?请说明理由;
(2)试着估计x的整数部分是多少;
(3)将x精确到十分位是多少?
八年级上册数学《立方根》知识点北师大版
显然,如果我们知道了这两个平方根的一个,那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。0的平方根是0。负数在实数范围内不能开平方,只有在正数范围内,才可以开平方根。例如:-1的平方根为i,-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根,算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方:求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方,其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a,那么x就叫做a的平方根,即√a=x
课后练习
1.(05年南京市中考)9的算术平方根是()
A.-3B.3C.±3D.81
2.下列计算不正确的是()
A.=±2B.=9
C.=0.4D.=-6
3.下列说法中不正确的是()
A.9的算术平方根是3B.的平方根是±2
C.27的立方根是±3D.立方根等于-1的实数是-1
4.的平方根是()
A.±8B.±4C.±2D.±
5.9的立方根是_______.
6.求下列各数的平方根
(1)100;(2)0;(3);(4)1;(5)1;(6)0.09.
文章来源:http://m.jab88.com/j/51809.html
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