古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案”，相信能对大家有所帮助。

第一章集合与常用逻辑用语

学案1集合的概念与运算
导学目标：
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．

自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)．
若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则A?B(或B?A)．
若AB且BA，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为U，则UA＝{x|x∈U且xA}．
A∩＝，A∩BA，A∩BB，
A∩B＝AAB.
A∪＝A，A∪BA，A∪BB，
A∪B＝BAB.
A∩UA＝；A∪UA＝U.
自我检测
1．(2011长沙模拟)下列集合表示同一集合的是()
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案C
2．(2009辽宁)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x5}，则M∩N等于()
A．{x|－5x5}B．{x|－3x5}
C．{x|－5x≤5}D．{x|－3x≤5}
答案B
解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3x5}．
3．(2010湖北)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()
A．4B．3C．2D．1
答案A
解析易知椭圆x24＋y216＝1与函数y＝3x的图象有两个交点，所以A∩B包含两个元素，故A∩B的子集个数是4个．
4．(2010潍坊五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于()
A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}
C．{(－2，1)，(2，1)}D．
答案B
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．(2011福州模拟)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，则a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究点一集合的基本概念
例1(2011沈阳模拟)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．
解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应关系：
a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②
由①得a＝－1，b＝1，符合题意；②无解．
∴b－a＝2.
变式迁移1设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
解由元素的互异性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.
探究点二集合间的关系
例2设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是()
A．M＝NB．M?N
C．M?ND．M∈N
解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
答案A
解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
变式迁移2设集合P＝{m|－1m0}，Q＝{m|mx2＋4mx－40对任意实数x恒成立，且m∈R}，则下列关系中成立的是()
A．P?QB．Q?P
C．P＝QD．P∩Q＝
答案A
解析P＝{m|－1m0}，
Q：m0，Δ＝16m2＋16m0，或m＝0.
∴－1m≤0.
∴Q＝{m|－1m≤0}．
∴P?Q.

探究点三集合的运算
例3设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
解(1)A＝{x|12≤x≤3}．
当a＝－4时，B＝{x|－2x2}，
∴A∩B＝{x|12≤x2}，
A∪B＝{x|－2x≤3}．
(2)RA＝{x|x12或x3}．
当(RA)∩B＝B时，BRA，
即A∩B＝.
①当B＝，即a≥0时，满足BRA；
②当B≠，即a0时，B＝{x|－－ax－a}，
要使BRA，需－a≤12，
解得－14≤a0.
综上可得，a的取值范围为a≥－14.
变式迁移3(2011阜阳模拟)已知A＝{x||x－a|4}，B＝{x||x－2|3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解(1)当a＝1时，
A＝{x|－3x5}，
B＝{x|x－1或x5}．
∴A∩B＝{x|－3x－1}．
(2)∵A＝{x|a－4xa＋4}，
B＝{x|x－1或x5}，且A∪B＝R，
∴a－4－1a＋451a3.
∴实数a的取值范围是(1,3)．
分类讨论思想在集合中的应用
例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值组成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值组成的集合．
【答题模板】
解(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；[2分]
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，
为满足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，
即a＝13或a＝－12.[4分]
故所求集合为{0，13，－12}．[6分]
(2)当m＋12m－1，即m2时，B＝，满足BA；[8分]
若B≠，且满足BA，如图所示，
则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.[10分]
故m2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[12分]
【突破思维障碍】
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【易错点剖析】
(1)容易忽略a＝0时，S＝这种情况．
(2)想当然认为m＋12m－1忽略“”或“＝”两种情况．

解答集合问题时应注意五点：
1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．
2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意的特殊性．在利用AB解题时，应对A是否为进行讨论．
4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．
5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝的情况，然后取补集．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．满足{1}?A{1,2,3}的集合A的个数是()
A．2B．3C．4D．8
答案B
解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，
即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．(2011杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()
A．9B．8C．7D．6
答案B
解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.
3．(2010北京)集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()
A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}
答案B
解析由题意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．(2010天津)设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是()
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}
答案C
解析由|x－a|1得－1x－a1，
即a－1xa＋1.
由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x24}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1x≤2}D．{x|x2}
答案C
解析题图中阴影部分可表示为(UM)∩N，集合M为{x|x2或x－2}，集合N为{x|1x≤3}，由集合的运算，知(UM)∩N＝{x|1x≤2}．
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．
答案4
解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(UB)＝{m|m＝2n＋1，
n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(UB)＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.
答案1
解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011烟台模拟)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B.
解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x0}＝{x|x－3或x0}．(6分)
如图所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R.(9分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}
＝{x|－6≤x－3，或0x≤1}．(12分)
10．(12分)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．若BA，求实数a的取值范围．
解当a＝0时，显然BA；(2分)
当a0时，
若BA，如图，
则4a≤－12，－1a2，(5分)
∴a≥－8，a－12.∴－12a0；(7分)
当a0时，如图，若BA，
则－1a≤－12，4a≥2，(9分)

∴a≤2，a≤2.∴0a≤2.(11分)
综上知，当BA时，－12a≤2.(12分)
11．(14分)(2011岳阳模拟)已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}，
(1)当m＝3时，求A∩(RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．
解由x－5x＋1≤0，
所以－1x≤5，所以A＝{x|－1x≤5}．(3分)
(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，
则RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因为A＝{x|－1x≤5}，
A∩B＝{x|－1x4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2x4}，符合题意，
故实数m的值为8.(14分)

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高考数学（理科）一轮复习平面向量及其线性运算学案含答案

学案25平面向量及其线性运算
导学目标：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自主梳理
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．
(7)相等向量：长度______且方向______的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→=a，BC→=b，则向量AC→叫做a与b的，记作，即=AB→+BC→=，这种求向量和的方法叫做向量加法的.?
（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OA→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的.
(3)加法运算律
a＋b＝________(交换律)；
(a＋b)＋c＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．
(2)向量的减法
①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．
②如图，AB→＝a，，AD→＝b，则AC→＝，DB→＝____________.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝______；
②当λ0时，λa与a的方向______；当λ0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝________.(结合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
5．重要结论
PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)G为△ABC的________；
PA→＋PB→＋PC→＝0P为△ABC的________．
自我检测
1.（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→＝16，|，|则|AM→|等于()
A．8B．4C．2D．1
2．下列四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；
③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确命题的个数为()
A．1B．2C．3D．4
3.在ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→等于()
A．－14a＋14bB．－12a＋12b
C．a＋12bD．－34a＋34b
4.（2010湖北）已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝m，成立，则m等于()
A．2B．3C．4D．5
5.（2009安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.
探究点一平面向量的有关概念辨析
例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．0
变式迁移1下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①|a|＝|b|a＝b；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③|a|＝0a＝0；
④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→四边形ABCD是平行四边形．
探究点二向量的线性运算
例2（2011开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．

变式迁移2（2011深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.

探究点三共线向量问题
例3如图所示，平行四边形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.

变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．如图所示．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．三点共线的性质定理：
（1）若平面上三点A、B、C共线，则AB→＝λBC→.
（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()
A.EF→＝OF→＋OE→Ｂ.ＥF→＝OF→－OE→
Ｃ.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→
2.设a，b为不共线向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()
A.AD→＝BC→B.AD→＝2BC→
C.AD→＝－BC→D.AD→＝－2BC→
3．(2011杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若a与b共线，则b＝λa；
②若b＝－λa，则a与b共线；
③若a＝λb，则a与b共线；
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正确的结论有()
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
4.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
5.（2010广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于（）
A.23B.13C．－13D．－23
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.（2009湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝______，y＝__________.
7.已知＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→，则OP→＝_________.
8.（2011青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12时，则PA→(PB→＋PC→)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？

10.(12分)在△ABC中，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.

11．(14分)(2011黄山模拟)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
（1）求GA→＋GB→＋GO→；
（2）若PQ过△ABO的重心G，且，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.

答案自主梳理
1.（1）大小方向（2）有向线段（3）长度|a|?|
(4)任意的(5)1个±a|a|(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和a＋ba＋bAC→三角形法则(2)平行四边形法则(3)b＋aa＋(b＋c)3.(1)长度相等方向相反－a(2)①(－b)相反向量②a＋ba－b4.(1)λa①|λ||a|②相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb5.(1)重心(2)重心
自我检测
1.

2．C[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]
3.A[由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，
又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b
＝－14a＋14b.]
4．B[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，
则AM→＝23AD→，①
因为AD为中线，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，
即2AD→＝mAM→，②
联立①②可得m＝3.]
5.43
解析设AB→＝a，AD→＝b，
那么AE→＝a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，
AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，
∴λ＋μ＝43.
课堂活动区
例1D[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；
②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．
所以应选D.]
变式迁移1②③④
解析①模相同，方向不一定相同，
故①不正确；
②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；
③只有零向量的模才为0，故③正确；
④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．
故应选②③④.
例2证明方法一如图所示，
在四边形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①
在四边形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②
①＋②得
(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴FC→＋FB→＝0，DE→＋AE→＝0.
∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，
即EF→＝(AB→＋DC→)．
方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．
∵E为AD的中点，∴AE→＝12AD→.
∵F是BC的中点，∴AF→＝12（AB→＋AC→)．
又AC→＝AD→＋DC→，
∴AF→＝12（AB→＋AD→＋DC→)＝12（AB→＋DC→)＋12AD→
＝12（AB→＋DC→)＋AE→
∴EF→＝AF→－AE→＝12（AB→＋DC→)．
即EF→＝12（AB→＋DC→)．
变式迁移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→
例3解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．
(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
证明在△ABD中BD→＝AD→－AB→.
因为AB→＝a,AD→＝b，所以BD→＝b－a.
由共线向量定理知：CM→∥CN→，
又∵CM→与CN→有公共点C，∴M、N、C三点共线．
变式迁移3（1）证明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2)＝CD→．
∴AC→与CD→共线．
又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．
（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线．
从而存在实数λ使得AC→＝λCD→
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.
解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值为43.
课后练习区
1．B[由减法的三角形法则知EF→＝OF→－OE→.]
3．D[题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]
5.
6．1＋3232
解析
作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62.
由∠DBF＝45°，
得DF＝BF＝62×22＝32，
所以BF→＝32AB→FD→＝32AC→，
所以AD→＝AB→＋BF→＋FD→＝（）AB→＋32AC→.
7.1λa＋λ－1λb
＝a＋λ－1λ(b－a)＝1λa＋λ－1λb.
8．0
解析由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12，得AP→－（AB→＋AC→)，即点P为△ABC中BC边的中点，
∴PB→＋PC→＝0.
∴PA→(PB→＋PC→)＝PA→0＝0.
9．解设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，……………………………………………………………(4分)
AB→＝OB→－OA→＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三点共线，只需AC→＝λAB→，
即－23a＋13b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴－23＝－λ，13＝λt.∴λ＝23，t＝12.……………………………………………………(11分)
∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)
10．解
取AE的三等分点M，
使|AM|＝13|AE|，连结DM.
设|AM|＝t，则|ME|＝2t.
又|AE|＝14|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.
∴|DP|＝211|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)
＝13AB→＋211－13AB→＋AC→
＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.……………………………………………………………(12分)
11．(1)解∵点G是△ABO的重心，
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)证明∵M是AB边的中点，∴OM→＝12(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∵P、G、Q三点共线，∴PG→∥GQ→，
且有且只有一个实数λ,使PG→＝λGQ→.…………………………………………………(5分)
，
∴(13－m)a＋13b＝λ[－13a＋(n－13)b]．…………………………………………………(8分)
又因为a、b不共线，所以
13－m＝－13λ13＝λn－13，……………………………………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.……………………………………………(14分)

高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助授课经验少的教师教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

学案45空间向量及其运算

导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
自主梳理
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．
(2)相等向量：方向______且模______的向量．
(3)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________．

推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝___________________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.
(4)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝__________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝π2，则称a与b______________，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)b＝____________________；
②交换律：ab＝________；
③分配律：a(b＋c)＝________________.
4．空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则ab＝____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b(b≠0)____________________，__________，________________，
a⊥b_________________________________________(a，b均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝aa＝_____________________________________________________________，
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝_________________________________________________________.
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则|AB→|＝__________________________________________________________________.
自我检测
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则()
A．x＝1，y＝1B．x＝12，y＝－12
C．x＝16，y＝－32D．x＝－16，y＝32
2．(2011青岛月考)
如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()
A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋c
C.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c
3．(2011广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.
4．有下列4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.
其中真命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4
5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．
探究点一空间基向量的应用
例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.

变式迁移1
如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．

探究点二利用向量法判断平行或垂直
例2(2011合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.
(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．

变式迁移2
如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.

探究点三利用向量法解探索性问题
例3(2011泉州月考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别
为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；
(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．

变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．
(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；
(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．
1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．
2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中假命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4
2.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()
A．既垂直于AC，又垂直于MN
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．与AC、MN都不垂直
3．(2011绍兴月考)
如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()
A．45°B．60°
C．90°D．120°
4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a等于()
A．16B．4C．2D．8
5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为()
A.2B．211C．32D．42
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.
(2011信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.
7．(2011铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.
其中能够化简为向量BD1→的是________．(填所有正确的序号)
8．(2011丽水模拟)
如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)
如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E、B、F、D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.

10．(12分)(2009福建)如图，
四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

11．(14分)(2011汕头月考)
如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

学案45空间向量及其运算
自主梳理
1．(1)大小方向(2)相同相等(3)存在实数λ，使得a＝λbOA→＋tAB→(4)OM→＋xMA→＋yMB→12.xa＋yb＋zc3.(1)①∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos〈a，b〉abab＝|a||b|cos〈a，b〉
(2)①λ(ab)②ba③ab＋ac4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)ab＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)a21＋a22＋a23
a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12
自我检测
1．C[∵a∥b，∴2x1＝1－2y＝39，
∴x＝16，y＝－32.]
2．A[B1M→＝B1A1→＋A1A→＋AM→
＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→
＝－a＋c＋12(a＋b)＝－12a＋12b＋c.]
3.97
解析∵AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，
∴|AC′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→AD→＋2AD→AA′→＋2AA′→AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，
∴|AC′→|＝97.
4．B[①正确．②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确．]
5．共面
解析AB→＝(3,4,5)，AC→＝(1,2,2)，AD→＝(9,14,16)，设AD→＝xAB→＋yAC→，
即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)．
∴x＝2y＝3，从而A、B、C、D四点共面．
课堂活动区
例1解题导引欲证a⊥b，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明ab＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．
证明如图所示
.
设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.
∵OM→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，
ON→＝12(OA→＋OC→)＝12(a＋c)，
∴PM→＝PO→＋OM→＝－12a＋12(b＋c)
＝12(b＋c－a)，
QN→＝QO→＋ON→＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b)．
∴PM→QN→＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)]
＝14[c2－(a－b)2]＝14(|OC→|2－|BA→|2)
∵|AB→|＝|OC→|，∴PM→QN→＝0.
即PM→⊥QN→，故PM⊥QN.
变式迁移123
解析设{AB→，AC→，AD→}为空间一组基底，
则AF→＝12AB→＋12AC→，
CE→＝12CA→＋12CD→＝12CA→＋12(AD→－AC→)
＝－AC→＋12AD→.
∴AF→CE→＝12AB→＋12AC→－AC→＋12AD→
＝－12AB→AC→－12AC→2＋14AB→AD→＋14AC→AD→
＝－14AB→2－12AC→2＋18AB→2＋18AC→2
＝－12AC→2.
又|AF→|＝|CE→|＝32|AC→|，∴|AF→||CE→|＝34|AC→|2.
∴cos〈AF→，CE→〉＝AF→CE→|AF→||CE→|＝－12AC→234|AC→|2＝－23.
∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为23.
例2解题导引
如图所示，建立坐标系后，要证MN平行于平面EBC，只要证MN→的横坐标为0即可．
(1)证明如图所示，以BA→、BC→、BE→为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，
设ANAE＝DMDB＝λ，则MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→
＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．
∵0λ1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN→的横坐标为0.
∴MN→平行于平面yBz，即MN∥平面EBC.
(2)解由(1)知|MN→|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1
＝2λ－122＋12，
∴当λ＝12时，MN取得长度的最小值为22.
变式迁移2证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE.
则点N、E的坐标分别为
22，22，0、(0,0,1)．
∴NE→＝－22，－22，1.
又点A、M的坐标分别为(2，2，0)、22，22，1，
∴AM→＝－22，－22，1.
∴NE→＝AM→且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又∵NE平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)得，AM→＝－22，－22，1，
∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，
∴DF→＝(0，2，1)，BF→＝(2，0,1)．
∴AM→DF→＝0，AM→BF→＝0.∴AM→⊥DF→，AM→⊥BF→，
即AM⊥DF，AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，
∴AM⊥平面BDF.
例3解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG→与平面BOE的法向量n垂直，即FG→n＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用MF→∥n即可解出，然后检验解的合理性．
(1)证明
如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O—xyz.
则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，
B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．
由题意，得G(0,4,0)．
因为OB→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，
所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．
由FG→＝(－4,4，－3)，得nFG→＝0.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
(2)解设点M的坐标为(x0，y0,0)，
则FM→＝(x0－4，y0，－3)．
因为FM⊥平面BOE，所以FM→∥n，
因此x0＝4，y0＝－94，
即点M的坐标是4，－94，0.
在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组x0，y0，x－y8.
经检验，点M的坐标满足上述不等式组．
所以，在△AOB内存在一点M，使PM⊥平面BOE.
由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，94.
变式迁移3解
(1)以点B为原点，以BA、BC、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝22AC＝2a，
∴A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，C1(0，2a,3a)，
E0，22a，32a，A1(2a,0,3a)，
∴BE→＝0，22a，32a，A1C→＝(－2a，2a，－3a)，
cos〈BE→，A1C→〉＝BE→A1C→|BE→||A1C→|＝－72a2112a×13a＝－7143143.
∴直线BE与A1C所成的角的余弦值为7143143.
(2)假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，
并设AF→＝λAA1→＝λ(0,0,3a)＝(0,0,3λa)(0λ1)，
∵D为A1C1的中点，∴D22a，22a，3a，
B1D→＝22a，22a，3a－(0,0,3a)＝22a，22a，0，
B1F→＝B1B→＋BA→＋AF→＝(0,0，－3a)＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa)＝(2a,0,3a(λ－1))，
CF→＝CA→＋AF→＝(2a，－2a,0)＋(0,0,3λa)
＝(2a，－2a,3λa)．
∵CF⊥平面B1DF，∴CF→⊥B1D→，CF→⊥B1F→，
CF→B1D→＝0CF→B1F→＝0，即3λa×0＝09λ2－9λ＋2＝0，
解得λ＝23或λ＝13
∴存在点F使CF⊥面B1DF，且
当λ＝13时，|AF→|＝13|AA1→|＝a，
当λ＝23时，|AF→|＝23|AA1→|＝2a.
课后练习区
1．C[②③④均不正确．]
2．A[以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴AC→＝(－2,2,0)，MN→＝(0,1,1)，OM→＝(－1，－1,1)，
∴OM→AC→＝0，OM→MN→＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.]
3．B[
如图建立坐标系，设AB＝BC＝AA1＝2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)，
∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，
∴cos〈EF→，BC1→〉＝228＝12.
∵〈EF→，BC1→〉∈[0°，180°]
∴EF与BC1所成的角是60°.]
4．A[由PC→＝λ1PA→＋λ2PB→得：
(2a－1，a＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)，
∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2解得a＝16.]
5．B[
过A、B分别作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，垂足分别为A1和B1，则AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，
∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→，
∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.]
6.12
解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，
又EF→＝ED→＋DC→＋CF→，
∴2EF→＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→＋DC→)，∴λ＝12.
7．①②
解析①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；
④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋(A1A→＋DD1→)＝B1D1→≠BD1→.
8．(1,1,1)
解析设DP＝y0，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E1，1，y2，DP→＝(0,0，y)，AE→＝－1，1，y2.
∴cos〈DP→，AE→〉＝DP→AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y8＋y2＝33.
解得y＝2，∴E(1,1,1)．
9．证明(1)
建立如图所示的空间直角坐标系，
则BE→＝(3,0,1)，BF→＝(0,3,2)，
BD1→＝(3,3,3)．(2分)
所以BD1→＝BE→＋BF→.
故BD1→、BE→、BF→共面．
又它们有公共点B，∴E、B、F、D1四点共面．(6分)
(2)设M(0,0，z)，则GM→＝0，－23，z.
而BF→＝(0,3,2)，
由题设，得GM→BF→＝－23×3＋z2＝0，得z＝1.(8分)
∴M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴ME→＝(3,0,0)．
又BB1→＝(0,0,3)，BC→＝(0,3,0)，∴ME→BB1→＝0，
∴ME→BC→＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又∵BB1∩BC＝B，∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)
10.
解(1)如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D—xyz.
依题意，得D(0,0,0)，
A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，
E12，1，0.(2分)
∴NE→＝－12，0，－1，
AM→＝(－1,0,1)．
∵cos〈NE→，AM→〉＝NE→AM→|NE→||AM→|＝－1252×2＝－1010，
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.
(6分)
(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.
∵AN→＝(0,1,1)，可设AS→＝λAN→＝(0，λ，λ)，
又EA→＝12，－1，0，
∴ES→＝EA→＋AS→＝12，λ－1，λ.(8分)
由ES⊥平面AMN，
得ES→AM→＝0，ES→AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.(10分)
故λ＝12，此时AS→＝0，12，12，|AS→|＝22.
经检验，当AS＝22时，ES⊥平面AMN.
故线段AN上存在点S，
使得ES⊥平面AMN，此时AS＝22.(12分)
11．(1)证明设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.
由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→
＝12(q＋r－p)，(2分)
∴MN→AB→＝12(q＋r－p)p
＝12(qp＋rp－p2)
＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB
又∵CD→＝AD→－AC→＝r－q，
∴MN→CD→＝12(q＋r－p)(r－q)
＝12(qr－q2＋r2－qr－pr＋pq)
＝12(a2cos60°－a2＋a2－a2cos60°－a2cos60°＋a2cos60°)
＝0，∴MN⊥CD.(4分)
(2)解由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，
∴|MN→|2＝MN→2＝14(q＋r－p)2
＝14[q2＋r2＋p2＋2(qr－pq－rp)]
＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22
＝14×2a2＝a22.
∴|MN→|＝22a，∴MN的长为22a.(9分)
(3)解设向量AN→与MC→的夹角为θ.
∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，
MC→＝AC→－AM→＝q－12p，
∴AN→MC→＝12(q＋r)q－12p
＝12q2－12qp＋rq－12rp
＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°
＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.(12分)
又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，
∴AN→MC→＝|AN→||MC→|cosθ
即32a32acosθ＝a22.
∴cosθ＝23，(13分)
∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.(14分)

高考数学（理科）一轮复习曲线与方程学案含答案

学案55曲线与方程

导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．
自主梳理
1．曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________都是这个方程的______．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．平面解析几何研究的两个主要问题
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．
3．求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为________；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．
自我检测
1．(2011湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()
A．双曲线的一支B．椭圆
C．抛物线D．圆
3．(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是()
A．直线lB．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线
4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM→PN→＝0，则P点的轨迹是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．(2011江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究点一直接法求轨迹方程
例1动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

变式迁移1已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．
探究点二定义法求轨迹方程
例2(2011包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

变式迁移2在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－a2，0，Ca2，0，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程
例3如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．

变式迁移3已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP→＝22PB→.求点P的轨迹C的方程．

分类讨论思想的应用

例(12分)
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．
多角度审题要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．
【答题模板】
解(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，
所以l2的斜率为－1k1，
l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程为y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ak1，[6分]
设MN中点P的坐标为(x，y)，则有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)当l1平行于y轴时，MN中点为a2，b2，其坐标满足方程③.
综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思维障碍】
引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．
【易错点剖析】
当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.
1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．
2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
2．(2011唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为()
A．双曲线B．双曲线的一支
C．椭圆D．线段
3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹是()
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
4．(2011银川模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()
A．双曲线B．椭圆
C．抛物线D．圆
5．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线的一个分支
C．两条射线D．一条射线
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．
8．平面上有三点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y2＝4px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(12分)(2009宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)点M的轨迹方程；
(2)|OM→|的最小值．
学案55曲线与方程
自主梳理
1．(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点M的坐标(2){M|p(M)}(4)最简形式(5)曲线上
自我检测
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，
即直线处于两切线之间时满足题意，
则－33m0或0m33.
综上知－33m0或0m33.]
课堂活动区
例1解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；
②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：
1°AB0，表示焦点在x轴上的椭圆；
2°A＝B0，表示圆；
3°0AB，表示焦点在y轴上的椭圆；
4°A0B，表示焦点在x轴上的双曲线；
5°A0B，表示焦点在y轴上的双曲线；
6°A，B0，无轨迹．
解设点P(x，y)，则kAP＝yx－a，kBP＝yx＋a.
由题意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．
(2)当k≠0时，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．
②若k0，(*)式可化为x2a2＋y2－ka2＝1.
1°当－1k0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)；
2°当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；
3°当k－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)．
变式迁移1y2＝－8x
解析由题意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移项两边平方，化简得y2＝－8x.
例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；
(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
解
如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
设动圆M的半径为r，则
由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x0)．
变式迁移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|BC|＝a.
∴虚半轴长为a22－a42＝34a，由双曲线标准方程得为16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．
解设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
联立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得动点P的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
变式迁移3解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因为|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化简得x22＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.
课后练习区
1．B[
如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
连接MO，由三角形的中位线可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]
2．B[A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．]
3．C[设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]
5．D[因为|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以轨迹为一条射线．]
6．4π
解析设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
设A(x，y)，y≠0，则Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化简得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
方法二
定义法．如图所示，
设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，
则E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距离为常数6.
∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0.
故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解设M(x，y)，直线AB斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在时，经验证也符合上式．
故M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以椭圆C的方程为x216＋y27＝1.(4分)
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P在椭圆C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①当λ＝34时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)．
轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)
②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
当0λ34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．
当34λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．(12分)
11．解(1)椭圆的方程可写为y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲线C的方程为x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
设P(x0，y0)，因为P在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切线AB的方程为y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
设A(x,0)和B(0，y)，由切线方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得点M的坐标为(x，y)，
由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
当且仅当x2－1＝4x2－1，即x＝3时，上式取等号．
故|OM→|的最小值为3.(14分)

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案

学案52双曲线

导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

图形

性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±bax
y＝±abx

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
自我检测
1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．
5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究点一双曲线的定义及应用
例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

变式迁移1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
探究点二求双曲线的标准方程
例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

变式迁移2(2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．
探究点三双曲线几何性质的应用
例3已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

变式迁移3已知双曲线C：x22－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．
【答题模板】
(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)证明
如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思维障碍】
写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．
【易错点剖析】
在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.
3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支D．一条射线
2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()
A.2B.3C．2D.5
4．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是()
A．相交B．相离C．相切D．内含
5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.
7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．
8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；
(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

11．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程；
(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

学案52双曲线
自主梳理
1．双曲线焦点焦距(1)ac双曲线(2)a＝c两条射线(3)ac3.等轴双曲线y＝±xe＝2
自我检测
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
课堂活动区
例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示椭圆的长半轴)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
变式迁移1解
设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以
C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ(参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．
解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
当x＝4时，y＝2yp＝3，
∴双曲线的焦点在y轴上．
从而有ab＝12，∴b＝2a.
设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为y25－x220＝1.
方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.
设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
变式迁移2y24－x212＝1
解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.
例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，
F2(5,0)，离心率e＝53，
渐近线方程为y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
变式迁移3解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
课后练习区
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，
(2分)
设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，
由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)
方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以双曲线方程为x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)
又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此时y＝－255.(11分)
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)
11．解(1)设P(x，y)，
则x－22＋y2＝2x－12，
化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．
因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程为y＝x＋1，
因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/51806.html

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