一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师营造一个良好的教学氛围。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高考数学（理科）一轮复习平面向量及其线性运算学案含答案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

学案25平面向量及其线性运算
导学目标：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自主梳理
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．
(7)相等向量：长度______且方向______的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→=a，BC→=b，则向量AC→叫做a与b的，记作，即=AB→+BC→=，这种求向量和的方法叫做向量加法的.?
（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OA→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的.
(3)加法运算律
a＋b＝________(交换律)；
(a＋b)＋c＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．
(2)向量的减法
①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．
②如图，AB→＝a，，AD→＝b，则AC→＝，DB→＝____________.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝______；
②当λ0时，λa与a的方向______；当λ0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝________.(结合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
5．重要结论
PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)G为△ABC的________；
PA→＋PB→＋PC→＝0P为△ABC的________．
自我检测
1.（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→＝16，|，|则|AM→|等于()
A．8B．4C．2D．1
2．下列四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；
③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确命题的个数为()
A．1B．2C．3D．4
3.在ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→等于()
A．－14a＋14bB．－12a＋12b
C．a＋12bD．－34a＋34b
4.（2010湖北）已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝m，成立，则m等于()
A．2B．3C．4D．5
5.（2009安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.
探究点一平面向量的有关概念辨析
例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．0
变式迁移1下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①|a|＝|b|a＝b；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③|a|＝0a＝0；
④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→四边形ABCD是平行四边形．
探究点二向量的线性运算
例2（2011开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．

变式迁移2（2011深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.

探究点三共线向量问题
例3如图所示，平行四边形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.

变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．如图所示．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．三点共线的性质定理：
（1）若平面上三点A、B、C共线，则AB→＝λBC→.
（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()
A.EF→＝OF→＋OE→Ｂ.ＥF→＝OF→－OE→
Ｃ.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→
2.设a，b为不共线向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()
A.AD→＝BC→B.AD→＝2BC→
C.AD→＝－BC→D.AD→＝－2BC→
3．(2011杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若a与b共线，则b＝λa；
②若b＝－λa，则a与b共线；
③若a＝λb，则a与b共线；
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正确的结论有()
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
4.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
5.（2010广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于（）
A.23B.13C．－13D．－23
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.（2009湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝______，y＝__________.
7.已知＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→，则OP→＝_________.
8.（2011青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12时，则PA→(PB→＋PC→)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？

10.(12分)在△ABC中，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.

11．(14分)(2011黄山模拟)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
（1）求GA→＋GB→＋GO→；
（2）若PQ过△ABO的重心G，且，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.M.jab88.com

答案自主梳理
1.（1）大小方向（2）有向线段（3）长度|a|?|
(4)任意的(5)1个±a|a|(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和a＋ba＋bAC→三角形法则(2)平行四边形法则(3)b＋aa＋(b＋c)3.(1)长度相等方向相反－a(2)①(－b)相反向量②a＋ba－b4.(1)λa①|λ||a|②相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb5.(1)重心(2)重心
自我检测
1.

2．C[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]
3.A[由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，
又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b
＝－14a＋14b.]
4．B[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，
则AM→＝23AD→，①
因为AD为中线，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，
即2AD→＝mAM→，②
联立①②可得m＝3.]
5.43
解析设AB→＝a，AD→＝b，
那么AE→＝a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，
AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，
∴λ＋μ＝43.
课堂活动区
例1D[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；
②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．
所以应选D.]
变式迁移1②③④
解析①模相同，方向不一定相同，
故①不正确；
②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；
③只有零向量的模才为0，故③正确；
④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．
故应选②③④.
例2证明方法一如图所示，
在四边形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①
在四边形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②
①＋②得
(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴FC→＋FB→＝0，DE→＋AE→＝0.
∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，
即EF→＝(AB→＋DC→)．
方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．
∵E为AD的中点，∴AE→＝12AD→.
∵F是BC的中点，∴AF→＝12（AB→＋AC→)．
又AC→＝AD→＋DC→，
∴AF→＝12（AB→＋AD→＋DC→)＝12（AB→＋DC→)＋12AD→
＝12（AB→＋DC→)＋AE→
∴EF→＝AF→－AE→＝12（AB→＋DC→)．
即EF→＝12（AB→＋DC→)．
变式迁移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→
例3解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．
(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
证明在△ABD中BD→＝AD→－AB→.
因为AB→＝a,AD→＝b，所以BD→＝b－a.
由共线向量定理知：CM→∥CN→，
又∵CM→与CN→有公共点C，∴M、N、C三点共线．
变式迁移3（1）证明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2)＝CD→．
∴AC→与CD→共线．
又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．
（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线．
从而存在实数λ使得AC→＝λCD→
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.
解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值为43.
课后练习区
1．B[由减法的三角形法则知EF→＝OF→－OE→.]
3．D[题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]
5.
6．1＋3232
解析
作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62.
由∠DBF＝45°，
得DF＝BF＝62×22＝32，
所以BF→＝32AB→FD→＝32AC→，
所以AD→＝AB→＋BF→＋FD→＝（）AB→＋32AC→.
7.1λa＋λ－1λb
＝a＋λ－1λ(b－a)＝1λa＋λ－1λb.
8．0
解析由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12，得AP→－（AB→＋AC→)，即点P为△ABC中BC边的中点，
∴PB→＋PC→＝0.
∴PA→(PB→＋PC→)＝PA→0＝0.
9．解设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，……………………………………………………………(4分)
AB→＝OB→－OA→＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三点共线，只需AC→＝λAB→，
即－23a＋13b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴－23＝－λ，13＝λt.∴λ＝23，t＝12.……………………………………………………(11分)
∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)
10．解
取AE的三等分点M，
使|AM|＝13|AE|，连结DM.
设|AM|＝t，则|ME|＝2t.
又|AE|＝14|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.
∴|DP|＝211|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)
＝13AB→＋211－13AB→＋AC→
＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.……………………………………………………………(12分)
11．(1)解∵点G是△ABO的重心，
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)证明∵M是AB边的中点，∴OM→＝12(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∵P、G、Q三点共线，∴PG→∥GQ→，
且有且只有一个实数λ,使PG→＝λGQ→.…………………………………………………(5分)
，
∴(13－m)a＋13b＝λ[－13a＋(n－13)b]．…………………………………………………(8分)
又因为a、b不共线，所以
13－m＝－13λ13＝λn－13，……………………………………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.……………………………………………(14分)

相关知识

高考数学（理科）一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案

学案27平面向量的数量积及其应用
导学目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
自主梳理
1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量数量积的性质：
①如果e是单位向量，则ae＝ea＝__________________；
②非零向量a，b，a⊥b________________；
③aa＝________________或|a|＝________________；
④cos〈a，b〉＝________；
⑤|ab|____|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：ab＝________；
(2)分配律：(a＋b)c＝________________；
(3)数乘向量结合律：(λa)b＝________________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ab＝________________________；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b________________________；
(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.
(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.
自我检测
1.（2010湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则AB→AC→等于()
A．－16B．－8C．8D．16
2．(2010重庆)已知向量a，b满足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()
A．0B．22C．4D．8
3．(2011福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于()
A．－2B．2C.12D．－12
4.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________________．
5.（2009天津）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→MB→＝________.
探究点一向量的模及夹角问题
例1(2011马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；
（3）若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．

变式迁移1(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)(b－c)＝0，则|c|的最大值是()
A．1B．2
C.2D.22
(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．
探究点二两向量的平行与垂直问题
例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的3倍(k0)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)用k表示ab；
(3)求ab的最小值以及此时a与b的夹角θ.

变式迁移2(2009江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

探究点三向量的数量积在三角函数中的应用
例3已知向量a＝cos32x，sin32x，
b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

变式迁移3（2010四川）已知△ABC的面积S=AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

1．一些常见的错误结论：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(5)|ab|＝|a||b|；(6)(ab)c＝a(bc)；(7)若ab＝ac，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要注意．
2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a与b的夹角.
向量表示坐标表示
向量a的模|a|＝aa＝a2
|a|＝x21＋y21

a与b的数量积ab＝|a||b|cosθab＝x1x2＋y1y2
a与b共线的充要条件A∥b(b≠0)a＝λba∥bx1y2－x2y1＝0
非零向量a，b垂直的充要条件a⊥bab＝0a⊥bx1x2＋y1y2＝0
向量a与b的夹角cosθ＝ab|a||b|
cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：
（1）要证AB=CD，可转化证明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.
（2）要证两线段AB∥CD，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB→＝λCD→成立即可．
（3）要证两线段AB⊥CD，只需证AB→CD→＝0.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010重庆)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，ab＝0，则实数m的值为()
A．－32B.32
C．2D．6
2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为()
A．－6B．－3
C．3D．6
3.已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，ab0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()
A．30°B．－150°
C．150°D．30°或150°
4．(2010湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()
A.135B.655
C.6513D.1313
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010湖南长沙一中月考)设a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈π2，π，若ab＝25，则sinα＝________.
7．(2010广东金山中学高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
8．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m夹角为3π4，且mn＝－1，则向量n＝__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)，在线段OC上是否存在点M，使MA→⊥MB→，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．(12分)(2011杭州调研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cosπ2－θ，sinπ2－θ)．
(1)求证：a⊥b；
(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．

11．(14分)(2011济南模拟)已知a＝(1,2sinx)，b＝2cosx＋π6，1，函数f(x)＝ab(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)＝85，求cos2x－π3的值．

答案自主梳理
1．(1)ab＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①|a|cos〈a，e〉②ab＝0③|a|2aa④ab|a||b|
⑤≤2.(1)ba
(2)ac＋bc(3)λ(ab)3.(1)a1b1＋a2b2(2)a1b1＋a2b2＝0(3)a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22
(4)(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12
自我检测
2．B[|2a－b|＝2a－b2
＝4a2－4ab＋b2＝8＝22.]
3．D[由(a＋λb)b＝0得ab＋λ|b|2＝0，
∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]
4．y2＝8x(x≠0)
解析由题意得AB→＝2，－y2，
BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
即2，－y2x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．
5．－2
解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→MB→＝－2.
课堂活动区
例1解(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，
∴ab＝－6.
∴cosθ＝ab|a||b|＝－64×3＝－12.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)|a＋b|＝a＋b2
＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝16＋2×－6＋9＝13.
(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，
∴∠ABC＝π－2π3＝π3.
又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，
∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC
＝12×4×3×32＝33.
变式迁移1(1)C[∵|a|＝|b|＝1，ab＝0，
展开(a－c)(b－c)＝0|c|2＝c(a＋b)
＝|c||a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ，
∴|c|的最大值是2.]
(2)λ12且λ≠－2
解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴ab0且ab不同向．
即|i|2－2λ|j|20，∴λ12.
当ab同向时，由a＝kb(k0)得λ＝－2.
∴λ12且λ≠－2.
例2解题导引1.非零向量a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0.
2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．
解(1)由题意得，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2kab＋b2＝k2＋2kab＋1，
(3|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6kab.
由条件知，k2＋2kab＋1＝3(1＋k2)－6kab，
从而有，ab＝1＋k24k(k0)．
(3)由(2)知ab＝1＋k24k＝14(k＋1k)≥12，
当k＝1k时，等号成立，即k＝±1.
∵k0，∴k＝1.
此时cosθ＝ab|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
故ab的最小值为12，此时θ＝π3.
变式迁移2(1)解因为a与b－2c垂直，
所以a(b－2c)
＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2
＝17－15sin2β≤42.
又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.
(3)证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，
所以a∥b.
例3解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
解(1)ab＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，
|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22
＝2＋2cos2x＝2|cosx|，
∵x∈－π3，π4，∴cosx0，
∴|a＋b|＝2cosx.
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝2cosx－122－32.
∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，
∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；
当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.
变式迁移3解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝12bcsinA＝12.
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010.
由题意cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－1010.
课后练习区
1．D[因为ab＝6－m＝0，所以m＝6.]
2．D[由(2a＋3b)(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]
3．C[∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，
∴sin∠BAC＝12.又ab0，
∴∠BAC为钝角．∴∠BAC＝150°.]
4．C[由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2.
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B[因为ab＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉
＝ab|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]
6.35
解析∵ab＝cos2α＋2sin2α－sinα＝25，
∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，∴sinα＝35.
7．120°
解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0.
又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cosθ＝0.
∴cosθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
8．(－1,0)或(0，－1)
解析设n＝(x，y)，由mn＝－1，
有x＋y＝－1.①
由m与n夹角为3π4，
有mn＝|m||n|cos3π4，
∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②
由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
9．解设存在点M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)
∵MA→⊥MB→，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.
∴M点坐标为(2,1)或225，115.
故在线段OC上存在点M，使MA→⊥MB→，且点M的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)
10．(1)证明∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin－θsinπ2－θ
＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)
(2)解由x⊥y得，xy＝0，
即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)
又|a|2＝1，|b|2＝1，
∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分)
∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3
＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)
故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝ab＝2cosx＋π6＋2sinx
＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx
＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3.…………………………………………………………(5分)
由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间是
π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π3.
又因为2sinx＋π3＝85，
所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分)
即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝45.
所以cos2x－π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………(14分)

高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案（含答案）

第三章导数及其应用
学案13导数的概念及运算
导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．
自主梳理
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．
导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．
3．函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．
4．基本初等函数的导数公式表

原函数导函数
f(x)＝Cf′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)
F(x)＝sinxf′(x)＝__________
F(x)＝cosxf′(x)＝____________
f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝____________(a0，a≠1)
f(x)＝exf′(x)＝________
f(x)＝logax(a0，a≠1，且x0)f′(x)＝__________(a0，a≠1，且x0)
f(x)＝lnxf′(x)＝__________

5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；
(2)[f(x)g(x)]′＝______________；
(3)fxgx′＝______________[g(x)≠0]．
6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′uu′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．
自我检测
1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx为()
A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2
C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx
2．设y＝x2ex，则y′等于()
A．x2ex＋2xB．2xex
C．(2x＋x2)exD．(x＋x2)ex
3．(2010全国Ⅱ)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()
A．64B．32C．16D．8
4．(2011临汾模拟)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是()
A．－ln22B．－ln2
C.ln22D．ln2
5．(2009湖北)已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，则f(π4)＝________.
探究点一利用导数的定义求函数的导数
例1利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；
(2)f(x)＝1x＋2.

变式迁移1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．

探究点二导数的运算
例2求下列函数的导数：
(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；
(3)y＝xex；(4)y＝tanx.

变式迁移2求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.

探究点三求复合函数的导数
例3(2011莆田模拟)求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝11＋x2；
(3)y＝lnx2＋1；(4)y＝xe1－cosx.

变式迁移3求下列函数的导数：
(1)y＝11－3x4；
(2)y＝sin22x＋π3；
(3)y＝x1＋x2.

探究点四导数的几何意义
例4已知曲线y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

变式迁移4求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．

1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．
(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．
2．曲线的切线的求法：
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则f1－2Δx－f1Δx的值为()
A．10B．－10C．－20D．20
2．(2011温州调研)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()
A.14，12B．(1,2)
C.12，1D．(2,3)
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0
4．(2010辽宁)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π
5．(2011珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)||x2－x1|恒成立”的只有()
A．f(x)＝1xB．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2xD．f(x)＝x2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是__________．
7．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
8．设点P是曲线y＝x33－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)求下列函数在x＝x0处的导数．
(1)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；
(2)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.

10．(12分)(2011保定模拟)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度．

11．(14分)(2011平顶山模拟)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

自主梳理
1.
2.（1）(2)切线的斜率切线斜率的取值范围
3.y′或f′(x)
4．0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x
5．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)f′xgx－fxg′x[gx]2
自我检测
1．C2.C3.A4.D
5．1
解析∵f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，
∴f′(π4)＝2－1.
∴f(π4)＝1.
课堂活动区
例1解题导引(1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx，从而分子分母相约分．
(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：
；
；
(4)用导数的定义求导的步骤为：
①求函数的增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．
解(1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx
＝
＝
＝
＝，
∴
＝－12.
(2)ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx
＝
＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx
＝－1x＋2x＋2＋Δx，
∴
＝－1x＋22.
变式迁移1解∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1
＝x0＋Δx2＋1－x20－1x0＋Δx2＋1＋x20＋1
＝2x0Δx＋Δx2x0＋Δx2＋1＋x20＋1，
∴ΔyΔx＝2x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1.
∴
∴y=
＝2x2x2＋1＝xx2＋1.
例2解题导引求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．
解(1)∵y＝(1－x)1＋1x
＝1x－x＝，
∴y′＝
＝.
(2)y′＝lnxx′＝lnx′x－x′lnxx2
＝.
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
(4)y′＝sinxcosx′＝sinx′cosx－sinxcosx′cos2x
＝cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.
变式迁移2解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3ex＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(3)y′＝lnx′x2＋1－lnxx2＋1′x2＋12
＝1xx2＋1－lnx2xx2＋12＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12.
例3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：
分解复合关系→分解复合关系→分层求导
(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
解(1)y′＝[(1＋sinx)2]′
＝2(1＋sinx)(1＋sinx)′
＝2(1＋sinx)cosx
＝2cosx＋sin2x.
(2)y′＝′
(3)y′＝(lnx2＋1)′
＝1x2＋1(x2＋1)′
＝1x2＋112(x2＋1)－12(x2＋1)′
＝xx2＋1.
变式迁移3解(1)设u＝1－3x，y＝u－4.
则yx′＝yu′ux′＝－4u－5(－3)
＝121－3x5.
(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，
则yx′＝yu′uv′vx′＝2ucosv2
＝4sin2x＋π3cos2x＋π3
＝2sin4x＋2π3.
(3)y′＝(x1＋x2)′
＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′
＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.
例4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．
(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．
解(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.
∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，
即y＝x20x－23x30＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，
即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，
∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，则
切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，
故切点为1，53，(－1,1)．
故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
变式迁移4解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.
(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.
(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①
又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②
由①②得x0＝32，k＝－14.
∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.
综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为
y＝2x或y＝－14x.
课后练习区
1．C2.C3.A4.D5.A
6．1秒或2秒末
7.2
8．12x＋3y＋8＝0
9．解(1)∵f′(x)＝2ex1－x′＝2ex′1－x－2ex1－x′1－x2
＝22－xex1－x2，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分)
(2)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′
＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)
10．解设经时间t秒梯子上端下滑s米，
则s＝5－25－9t2，
当下端移开1.4m时，……………………………………………………………………(3分)
t0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分)
又s′＝－12(25－9t2)－12(－92t)
＝9t125－9t2，…………………………………………………………………………(10分)
所以s′(t0)＝9×715125－9×7152
＝0.875(m/s)．
故所求的梯子上端下滑的速度为0.875m/s.……………………………………………(12分)
11．解(1)因为f′(x)＝x－ax(x0)，……………………………………………………(2分)
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，……………………………………………………………（5分）
解得a＝2，b＝－2ln2.……………………………………………………………………(7分)
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．
所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)

高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案”，相信能对大家有所帮助。

第一章集合与常用逻辑用语

学案1集合的概念与运算
导学目标：
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．

自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)．
若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则A?B(或B?A)．
若AB且BA，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为U，则UA＝{x|x∈U且xA}．
A∩＝，A∩BA，A∩BB，
A∩B＝AAB.
A∪＝A，A∪BA，A∪BB，
A∪B＝BAB.
A∩UA＝；A∪UA＝U.
自我检测
1．(2011长沙模拟)下列集合表示同一集合的是()
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案C
2．(2009辽宁)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x5}，则M∩N等于()
A．{x|－5x5}B．{x|－3x5}
C．{x|－5x≤5}D．{x|－3x≤5}
答案B
解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3x5}．
3．(2010湖北)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()
A．4B．3C．2D．1
答案A
解析易知椭圆x24＋y216＝1与函数y＝3x的图象有两个交点，所以A∩B包含两个元素，故A∩B的子集个数是4个．
4．(2010潍坊五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于()
A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}
C．{(－2，1)，(2，1)}D．
答案B
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．(2011福州模拟)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，则a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究点一集合的基本概念
例1(2011沈阳模拟)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．
解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应关系：
a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②
由①得a＝－1，b＝1，符合题意；②无解．
∴b－a＝2.
变式迁移1设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
解由元素的互异性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.
探究点二集合间的关系
例2设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是()
A．M＝NB．M?N
C．M?ND．M∈N
解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
答案A
解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
变式迁移2设集合P＝{m|－1m0}，Q＝{m|mx2＋4mx－40对任意实数x恒成立，且m∈R}，则下列关系中成立的是()
A．P?QB．Q?P
C．P＝QD．P∩Q＝
答案A
解析P＝{m|－1m0}，
Q：m0，Δ＝16m2＋16m0，或m＝0.
∴－1m≤0.
∴Q＝{m|－1m≤0}．
∴P?Q.

探究点三集合的运算
例3设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
解(1)A＝{x|12≤x≤3}．
当a＝－4时，B＝{x|－2x2}，
∴A∩B＝{x|12≤x2}，
A∪B＝{x|－2x≤3}．
(2)RA＝{x|x12或x3}．
当(RA)∩B＝B时，BRA，
即A∩B＝.
①当B＝，即a≥0时，满足BRA；
②当B≠，即a0时，B＝{x|－－ax－a}，
要使BRA，需－a≤12，
解得－14≤a0.
综上可得，a的取值范围为a≥－14.
变式迁移3(2011阜阳模拟)已知A＝{x||x－a|4}，B＝{x||x－2|3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解(1)当a＝1时，
A＝{x|－3x5}，
B＝{x|x－1或x5}．
∴A∩B＝{x|－3x－1}．
(2)∵A＝{x|a－4xa＋4}，
B＝{x|x－1或x5}，且A∪B＝R，
∴a－4－1a＋451a3.
∴实数a的取值范围是(1,3)．
分类讨论思想在集合中的应用
例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值组成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值组成的集合．
【答题模板】
解(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；[2分]
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，
为满足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，
即a＝13或a＝－12.[4分]
故所求集合为{0，13，－12}．[6分]
(2)当m＋12m－1，即m2时，B＝，满足BA；[8分]
若B≠，且满足BA，如图所示，
则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.[10分]
故m2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[12分]
【突破思维障碍】
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【易错点剖析】
(1)容易忽略a＝0时，S＝这种情况．
(2)想当然认为m＋12m－1忽略“”或“＝”两种情况．

解答集合问题时应注意五点：
1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．
2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意的特殊性．在利用AB解题时，应对A是否为进行讨论．
4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．
5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝的情况，然后取补集．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．满足{1}?A{1,2,3}的集合A的个数是()
A．2B．3C．4D．8
答案B
解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，
即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．(2011杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()
A．9B．8C．7D．6
答案B
解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.
3．(2010北京)集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()
A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}
答案B
解析由题意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．(2010天津)设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是()
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}
答案C
解析由|x－a|1得－1x－a1，
即a－1xa＋1.
由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x24}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1x≤2}D．{x|x2}
答案C
解析题图中阴影部分可表示为(UM)∩N，集合M为{x|x2或x－2}，集合N为{x|1x≤3}，由集合的运算，知(UM)∩N＝{x|1x≤2}．
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．
答案4
解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(UB)＝{m|m＝2n＋1，
n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(UB)＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.
答案1
解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011烟台模拟)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B.
解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x0}＝{x|x－3或x0}．(6分)
如图所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R.(9分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}
＝{x|－6≤x－3，或0x≤1}．(12分)
10．(12分)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．若BA，求实数a的取值范围．
解当a＝0时，显然BA；(2分)
当a0时，
若BA，如图，
则4a≤－12，－1a2，(5分)
∴a≥－8，a－12.∴－12a0；(7分)
当a0时，如图，若BA，
则－1a≤－12，4a≥2，(9分)

∴a≤2，a≤2.∴0a≤2.(11分)
综上知，当BA时，－12a≤2.(12分)
11．(14分)(2011岳阳模拟)已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}，
(1)当m＝3时，求A∩(RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．
解由x－5x＋1≤0，
所以－1x≤5，所以A＝{x|－1x≤5}．(3分)
(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，
则RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因为A＝{x|－1x≤5}，
A∩B＝{x|－1x4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2x4}，符合题意，
故实数m的值为8.(14分)

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案

学案52双曲线

导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

图形

性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±bax
y＝±abx

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
自我检测
1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．
5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究点一双曲线的定义及应用
例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

变式迁移1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
探究点二求双曲线的标准方程
例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

变式迁移2(2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．
探究点三双曲线几何性质的应用
例3已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

变式迁移3已知双曲线C：x22－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．
【答题模板】
(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)证明
如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思维障碍】
写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．
【易错点剖析】
在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.
3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支D．一条射线
2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()
A.2B.3C．2D.5
4．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是()
A．相交B．相离C．相切D．内含
5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.
7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．
8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；
(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

11．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程；
(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

学案52双曲线
自主梳理
1．双曲线焦点焦距(1)ac双曲线(2)a＝c两条射线(3)ac3.等轴双曲线y＝±xe＝2
自我检测
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
课堂活动区
例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示椭圆的长半轴)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
变式迁移1解
设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以
C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ(参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．
解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
当x＝4时，y＝2yp＝3，
∴双曲线的焦点在y轴上．
从而有ab＝12，∴b＝2a.
设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为y25－x220＝1.
方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.
设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
变式迁移2y24－x212＝1
解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.
例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，
F2(5,0)，离心率e＝53，
渐近线方程为y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
变式迁移3解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
课后练习区
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，
(2分)
设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，
由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)
方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以双曲线方程为x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)
又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此时y＝－255.(11分)
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)
11．解(1)设P(x，y)，
则x－22＋y2＝2x－12，
化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．
因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程为y＝x＋1，
因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/56992.html

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