第三课时空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解空间中直线与平面的位置关系;
(2)了解空间中平面与平面的位置关系;
(3)培养学生的空间想象能力.
2.过程与方法
(1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;
(2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
(二)教学重点、难点
重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.
(三)教学方法
借助实物,让学生观察事物、思考等,讲练结合,较好地完成本节课的教学目标.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题1:空间中直线和直线有几种位置关系?
问题2:一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系?
生1:平行、相交、异面
生2:有三种位置关系:
(1)直线在平面内
(2)直线与平面相交
(3)直线与平面平行
师肯定并板书,点出主题.
复习回顾,探索求真,激发学习兴趣.
探索新知
1.直线与平面的位置关系.
(1)直线在平面内——有无数个公共点.
(2)直线与平面相交——有且仅有一个公共点.
(3)直线在平面平行——没有公共点.
其中直线与平面相交或平行的情况,统称为直线在平面外,记作a.
直线a在面内的符号语言是a.图形语言是:
直线a与面相交的a∩=A.图形语言是符号语言是:
直线a与面平行的符号语言是a∥.图形语言是:
师:有谁能讲出这三种位置有什么特点吗?
生:直线在平面内时二者有无数个公共点.
直线与平面相交时,二者有且仅有一个公共点.
直线与平面平行时,三者没有公共点(师板书)
师:我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.
师:直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的?谁来画图表示一个和书写一下.
学生上台画图表示.
师;好.应该注意:画直线在平面内时,要把直线画在表示平面的平行四边形内;画直线在平面外时,应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
加强对知识的理解培养,自觉钻研的学习习惯.数形结合,加深理解.
探索新知
2.平面与平面的位置关系
(1)问题1:拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?
(2)问题2:如图所示,围成长方体ABCD–A′B′C′D′的六个面,两两之间的位置关系有几种?
(2)平面与平面的位置关系
平面与平面平行——没有公共点.
平面与平面相交——有且只有一条公共直线.
平面与平面平行的符号语言是∥.图形语言是:
师:下面请同学们思考以下两个问题(投影)
生:平行、相交.
师:它们有什么特点?
生:两个平面平行时二者没有公共点,两个平面相交时,二者有且仅有一条公共直线(师板书)
师:下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……
师:下面我们来看几个例子(投影例1)
通过类比探索,培养学生知识迁移能力.加强知识的系统性.
典例分析
例1下列命题中正确的个数是(B)
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥.
②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线没有公共点.
A.0B.1C.2D.3
例2已知平面∥,直线a,求证a∥.
证明:假设a∥,则a在内或a与相交.
∴a与有公共点.
又a.
∴a与有公共点,与面∥面矛盾.
∴∥.
学生先独立完成,然后讨论、共同研究,得出答案.教师利用投影仪给出示范.
师解:如图,我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;A1B1所在直线平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确;l与平面平行,则l与无公共点,l与平面内所有直线都没有公共点,所以命题④正确,应选B.
师投影例2,并读题,先学生尝试证明,发现正面证明并不容易,然后教师给予引导,共同完成,并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解.
例1教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法,同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活,并加深对面面平行、线面平行的理解.
随堂练习
1.如图,试根据下列条要求,把被遮挡的部分改为虚线:
(1)AB没有被平面遮挡;
(2)AB被平面遮挡.
答案:略
2.已知,,直线a,b,且∥,a,a,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
答案:平行或异面
3.如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论.
答案:三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条.
4.空间的三个平面的位置关系有几种情形?请画图表示所有情形.
答案:5种图略
学生独立完成
培养识图能力,探索意识和思维的严谨性.
归纳总结
1.直线与平面、平面与平面的位置关系.
2.“正难到反”数学思想与反证法解题步骤.
3.“分类讨论”数学思想
学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.
培养学生归纳整合知识能力,培养学生思维的灵活性与严谨性.
作业
2.1第一课时习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的()
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线都不相交
D.无数条直线都不相交
【解析】直线与平面平行,那么直线与平面内的任意直线都不相交,反之亦然;故应选C.
例2“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的().
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
【解析】如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面平行,应选B.
例3求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,则这条直线在这个平面内.已知:l∥,点P∈,P∈m,m∥l求证:.证明:设l与P确定的平面为,且=m′,则l∥m′.又知l∥m,,由平行公理可知,m与m′重合.所以.
§1.2.3—1。2.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)了解空间中直线与平面的位置关系;
(2)了解空间中平面与平面的位置关系;
(3)培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
(1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;
(2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具
1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
(一)创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P28的思考题为载体,提出了:空间中直线与平面有多少种位置关系?(板书课题)
(二)研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
例4(投影)
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种位置关系:
(1)两个平面平行——没有公共点
(2)两个平面相交——有且只有一条公共直线
用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为
α∥βα∩β=L
教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。教材P31练习
学生独立完成后教师检查、指导
(三)归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。
(四)作业
1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。
2、教材P36习题1.2第1、2题
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础,使教师有一个简单易懂的教学思路。那么,你知道教案要怎么写呢?下面是由小编为大家整理的“2012届高考数学备考复习平面向量教案”,希望能为您提供更多的参考。
专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲平面向量
【最新考纲透析】
1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景。
(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
(3)理解向量的几何意义。
2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义。
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1:向量的有关概念及运算
考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。
2.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3.多以选择、填空题的形式出现,有关会渗透在解答题中。
考向链接:向量的有关概念及运算要注意以下几点:
(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏,则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律,一定要牢固掌握、理解深刻
(3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解题的基础,除了用向量的加减法、实数与向量乘积外,还要充分利用平面几何的一些定理,充分联系其他知识。
例1:(2010山东高考理科T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的,,令⊙,下面说法错误的是()
A.若与共线,则⊙B.⊙⊙
C.对任意的,有⊙⊙D.(⊙)2
【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B,若与共线,则有⊙,故A正确;因为⊙,,而⊙,所以有⊙⊙,故选项B错误,故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖,信息量大,是近几年高考的热点题型.
2、基本对策:解答这类问题时,要通过联想类比,仔细分析题目中所提供的命题,找出其中的相似性和一致性
要点考向2:与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦:1.与平面向量数量积有关的问题(如向量共线、垂直及夹角等问题)是高考考查的重点。
2.该类问题多数是单独命题,有时与其他知识交汇命题,考查学生分析问题、解决问题的能力。
3.多以选择题、填空题的形式出现,有时会渗透在解答题中。
考向链接:与平面向量数量积有关的问题
1.解决垂直问题:均为非零向量。这一条件不能忽视。
2.求长度问题:,特别地。
3.求夹角问题:求两非零向量夹角的依据
例2:1.(2010湖南高考理科T4)在中,=90°AC=4,则等于()
A、-16B、-8C、8D、16
【命题立意】以直角三角形为依托,考查平面向量的数量积,基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于=90,因此选向量CA,CB为基底.
【规范解答】选D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理.二是考查数量积,平面向量基本定理,考查垂直,夹角和距离(长度).
2.(2010广东高考文科T5)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8—)=30,则x=()
A.6B.5C.4D.3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】先算出,再由向量的数量积列出方程,从而求出
【规范解答】选.,所以
.即:,解得:,故选.
要点考向3:向量与三角函数的综合
考情聚集:1.向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容,在近几年的高考中,年年都会出现。
2.这类问题一般比较综合,考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具,考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3.多以解答题的形式出现。
例3.在直角坐标系
(I)若;
(II)若向量共线,当
【解析】(1)…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
(II)………………8分
…………10分
………………12分
注:向量与三角函数的综合,实质上是借助向量的工具性。(1)解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算;(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算,以及数形结合的思路。
【高考真题探究】
1.(2010重庆高考理科T2)已知向量,满足,则()
A.0B.C.4D.8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质,考查向量运算的几何意义,考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式进行计算,或数形结合法,根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B(方法一)
;(方法二)数形结合法:由条件知,以向量
,为邻边的平行四边形为矩形,又因为,所以,
则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量,其长度为,如图所示.
【方法技巧】方法一:灵活应用公式,
方法二:熟记向量及向量和的三角形法则
2.(2010全国高考卷Ⅱ理科T8)△ABC中,点D在
边AB上,CD平分∠ACB,若=,
=,,则=()
(A)+(B)+(C)+(D)+
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD=CB:CA=1:2
这样可以用向量,表示。
【规范解答】选B,由题意得AD:DB=AC;CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3.(2010浙江高考文科T13)已知平面向量则的值是。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0,再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知,结合,解得,
所以2=,开方可知答案为.
【答案】
【方法技巧】(1);(2)。
4.(2009江西高考)已知向量,,,若则=.
【解析】因为所以.
答案:
5.(2009广东高考)已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.
【解析】(1)∵与互相垂直,则,即,
代入得,
又,∴.
(2)∵,,
∴,则,
∴.
6.(2009海南宁夏高考)已知向量
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若求的值.
【解析】(Ⅰ)因为,所以于是,故
(Ⅱ)由知,所以
从而,即,
于是.又由知,,
所以,或.因此,或
【跟踪模拟训练】
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,总分36分)
1.若,且,则向量与的夹角为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
2.已知O,A,M,B为平面上四点,且,则()
A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上D.O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则等于()
A.6B.8C.-8D.-6
4.已知为不共线的非零向量,且,则以下四个向量中模最小者为……()
(A)(B)(C)(D)
5.已知向量夹角为120°,且则等于()
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()=-(),其中为常向量.若映射f满足f()f()=对任意的,∈A恒成立,则的坐标可能是()
A.(,)B.(,-)C.(,)D.(-,)
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,总分18分)
7.已知e1、e2是两个不共线的向量,a=k2e1+(k)e2和b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=
8.已知向量,满足,,与的夹角为,则_________,若,则实数_________.
9.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中,则的最大值是.
三、解答题(10、11题每小题15分,12题16分,总分46分)
10.已知向量,,,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
11.设函数,其中向量,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
12.已知向量,,.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)设,
(1)求的单调增区间;
(2)函数经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数?
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8.3,3
9.2
三、解答题
10.解析:(Ⅰ)由向量,,,且.
得.
即.
所以.
因为,
所以.
因为,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
则.
.
11.解:(I)
(II)由,
得
12.解:(I)若,则
(II)
(1)令得,,
又,,即(0,是的单调增区间
(2)将函数的图像向上平移1个单位,再向左平移个单位,即得函数
的图像,而为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一,只要正确,就给分.)
【备课资源】
文章来源:http://m.jab88.com/j/52318.html
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