俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2012届高考数学备考复习直线与圆教案》，仅供参考，欢迎大家阅读。

专题五：解析几何

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：
1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。
2．两直线平行与垂直的充要条件。
3．点到直线的距离、两平行线间的距离。
4．圆的方程（标准方程和一般方程）。
5．直线与圆的位置关系。
6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。
7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。
第一讲直线与圆

【最新考纲透析】
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2．圆与方程
（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。
（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
3．空间直角在系
（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
（2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】
要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题
考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。
2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。
3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是，而不是
2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。
例1：若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是：
①②③④⑤
其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）
【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①⑤
答案:①⑤
要点考向2：两直线的位置关系
考情聚焦：1．两直线的位置关系——平行或垂直是高考考查的重点内容。
2．多以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。
考向链接：两条直线和平行充要条件为且垂直的充要条件为0，要熟练掌握这一条件。判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况。
例2：（2010安徽高考文科Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=0
【命题立意】本题主要考查直线平行问题。
【思路点拨】可设所求直线方程为，代入点（1，0）得值，进而得直线方程。
【规范解答】选A，设直线方程为，又经过，故，所求方程为，
要点考向3：圆的方程
聚焦考情：1．圆的方程及求法是很重要的一类问题，是高考中的必考内容。
2．各种题型均可出现，属中低档题。
考向链接：求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于的方程组；
③解出，代入标准方程或一般方程。
此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量。
例3：(2010广东高考文科Ｔ6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）
A．B．
C．D．
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】选设圆心为，则，解得，所以，所求圆的方程为：，故选.
要点考向4：直线和圆的位置关系
聚焦考情：1．直线和圆的位置关系是每年必考内容，有时和向量相结合，体现了知识的交汇。
2．考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属中、低档题目。
例4：（2010重庆高考文科Ｔ8）若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化的思想.
【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线观察计算.
【规范解答】选D.（方法一）消去参数得，与联立方程组，消去得：，因为直线与曲线有两个不同的公共点，所以，即，解得；
（方法二）把圆的参数方程代入直线方程得：，即，所以，所以，
解得；
（方法三）如图所示，直线与圆相切之间的情形
符合题意，计算圆心（2，0）到直线的
距离等于圆半径1，即，解得，
所以.
【方法技巧】（1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值域求解；（3）数形结合法.
注：直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的关系来处理。

【高考真题探究】
1．（2010海南宁夏高考理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．则圆C的方程为.
【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.
【思路点拨】由题意得出圆心既在点的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.
【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联立方程，解得，即圆心，
半径，所以，圆的方程为.
【答案】
2．（2010广东高考理科Ｔ１2）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】设圆心坐标为，则，解得，又圆心位于轴左侧，所以.故圆O的方程为.
【答案】
3．（2010山东高考理科Ｔ16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为．
【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程.
【规范解答】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为.
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
4．（2010山东高考文科Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为.
【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.
【规范解答】设圆心坐标为，圆的半径为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），故所求圆的方程为.
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
5．（2010湖北高考理科Ｔ9）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）
A.[,]B.[,3]
C.[-1,]D.[,3]
【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力．
【思路点拨】将方程作等价
变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观
点得到直线在与曲线
有公共点时b的取值范围.
【规范解答】选D.由图可知当直线过点（0，3）时b取最大值3；当直线与圆相切且切点在圆的下半部分时对应的b取最小值.由消去y可得，由=0得或（舍去）.
6．（2010江西高考理科Ｔ８）直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是()
A．B．
C．D．
【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力.
【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定.
方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.
【规范解答】选A．（方法1）由题意，若使，则圆心到直线的距离，即，解得.故选A.
（方法2）设点M,N的坐标分别为，将直线方程和圆的方程联立得方程组，消去y得，
由根与系数的关系得，
由弦长公式知=
，
,∴，即，
∴，故选A.

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于()
(A)2(B)1(C)0(D)-1
2.夹在两条平行直线l1：3x-4y=0与l2：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为()
(A)2π(B)4π(C)8π(D)16π
3.已知直线l与直线3x+4y+1=0平行且它们之间的距离为4，如果原点(0，0)位于已知直线与直线l之间，那么l的方程为()
(A)3x+4y=0(B)3x+4y-5=0
(C)3x+4y-19=0(D)3x+4y+21=0
4.直角坐标平面内,过点P(2,1)且与圆x2+y2=4相切的直线()
(A)有两条
(B)有且仅有一条
(C)不存在
(D)不能确定
5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为D(0,1),则直线l的方程为()
(A)x-y+1=0(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0(D)x+y-1=0
6．(2010漳州模拟)．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程是（）
A．3－1B．2C．5D．4

二、填空题(每小题6分，共18分)
7.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_______.
8.一直线经过点P(1,2),并且与点A(2,3)和B(0,-5)的距离相等,则此直线方程为___________.
9.过点A(,1)的直线l将圆C：x2+(y-2)2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k等于_______.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知直线l1:mx+8y+n=0和直线l2:2x+my-1=0,分别根据下列情况求实数m与n的取值.
(1)l1与l2平行;
(2)l1与l2垂直.
11．（2010安徽名校联考）将圆向左平移1个单位，再向上移2个单位，得到圆O，直线与圆O相交于A，B两点，若圆O上存在点C，使，求直线的方程及对应的点C的坐标。
12．已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，，求直线的方程；
（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．
参考答案
1．【解析】选D.方法一:将选项分别代入题干中观察,易求出D符合要求.故选D.
方法二:∵直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
∴a(a+2)=-1.
∴a=-1.

2．【解析】选B.夹在两条平行线之间的最大的圆的半径为两平行线间距离的一半,而两平行线间的距离
所以，则圆的最大面积

3．【解析】选C.与直线3x+4y+1=0平行的直线可设为3x+4y+m=0，
由两平行线之间的距离公式可得
即直线方程为3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，
原点位于直线l与直线3x+4y+1=0之间，可将点(0，0)代入两直线解析式，乘积为负的即为所求，故应选C.

4．【解析】选A.∵22+12＞4,
∴点P在圆外,故过P作圆的切线可作两条.

5．【解析】选A.圆心C的坐标为(-1,2),AB中点D(0,1)，
∴l的方程为y-1=x-0,
即x-y+1=0,故应选A.

6．【解析】选D.因为点A(－1,1)关于x轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程为

7．【解析】∵点A(1,2)在⊙O上,∴过点A且与⊙O相切的直线方程为x+2y=5,
答案：

8．【解析】假设所求直线的斜率存在,则可设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由题设有:
即|k-1|=|7-k|,解得k=4.
又所求直线的斜率不存在时,方程为x=1,符合题意.
故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1.
答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵点A(,1)在圆C:x2+(y-2)2=4的内部.
∴当劣弧所对的圆心角最小时,AC⊥l.
答案：

10．【解析】（1）显然两直线的斜率都存在，两条直线的方程可化为
故只需，即
即两直线平行。
（2）方法一：若两直线的斜率都存在，则可得两条直线的斜率分别为但由于所以,此时两直线不垂直.
若m=0,则两条直线中一条斜率为0,另一条斜率不存在,于是两直线垂直.
综上可知,当m=0,且n∈R时,两直线垂直.
方法二:因为两直线垂直,所以只需2m+8m=0,
即m=0.故当m=0时,两直线垂直.

11．【解析】已知圆，
经平移后圆O的方程为
因为，
又
设直线的方程是交于
中并简化得
由题意：
所以，
因为，
所以，直线的方程为对应的点C的坐标为（-1，2）
或直线的方程为对应点C的坐标为（1，-2）.

12．【解析】（1）设
解得或（舍去）．
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或........6分
（2）设
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
的坐标是
设
当，即时，
当，即时，
当，即时
则.

【备课资源】
2.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为()
(A)x-y+3=0(B)x-y-3=00
(C)x+y-1=0(D)x+y+3=0
【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),
故所求直线方程为y-2=1(x+1)，
即x-y+3=0.
3.直线x+y-2=0上的点和圆(x-6)2+(y-6)2=18上的点的最短距离是________.
5.已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切,
(1)求直线l1的方程；
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.
求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆O:
x2+y2=1相切,由题意设直线l1的方程为
y=k(x-3),
即kx-y-3k=0,

延伸阅读

2012届高考数学备考复习教案

高考综合演练3

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合,则是()
(A)(B)
(C)(D)

2．在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（D）
3．已知数列(D)
A．28B．33C．D．
4．已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（B）
A．B．2
C．D．4
5．如图，若是长方体被平面EFCH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且EH//，则下列结论中不正确的是（）
A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形
C.是棱柱D.是棱台

6．二项式的展开式中所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有（）
A、4项B、5项C、6项D、7项
7．将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（）
A．25B．35C.60D．120
8．某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为70分，方差为102，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩和方差分别为（）
A．70，90B．70，114C．65，90D．65，114
9．曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
10．函数是（）
(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数
11．设，且=sinx+cosx，则（）
A．0≤x≤πB．―≤x≤
C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜
12．已知随机变量服从正态分布,若,则
(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记设为数列{}的最大项，则=．
14．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.

15．
已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.
16．设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：，曲线C2参数方程为：(θ
为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是．

三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）
17．若向量，在函数
的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为且当的最大值为1。
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的单调递增区间。

18．已知动圆过定点，且与直线相切。
(l)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

19．如图，直线与相交
于点P。直线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线于点Q1，过点
Q1作y轴的垂线交直线于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线于点Q2，…，
这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…。点Pn（n=1,2,…）的横
坐标构成数列。
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)比较与的大小。

20．如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

21．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
(1)求q的值；
(2)求随机变量的数学期望E;
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

22．(2010届广东高三二模)已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个
实根为,函数在区间上是单调的.
(1)求的值和的取值范围;
(2)若,证明:.

参考答案
一、选择题
1．
2．D
3．D
4．B
5．【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活，全面地考查了考生对知识的理解。
【思路点拨】利用线线平行线线平行线面平行线线平行可以判断A的正误，进而判断其他答案。
【规范解答】选D，若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台与这个图形。
【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的转化，他们之间的转化关系就是我们学习的六个判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化。

6．D
7．B
8．A
9．【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.

10．【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。
【思路点拨】是奇函数C正确
【规范解答】选C因为，所以是最小正周期为π的奇函数

11．B
12．【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先由服从正态分布得出正态曲线关于直线对称,于是得到
与的关系，最后进行求解.
【规范解答】选C，因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.

二、填空题
13．【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值．
【规范解答】
∴
∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．
【答案】4.

14．
15．
16．【解析】将两曲线方程化为直角坐标坐标方程，得C1：，C2：.
因为两曲线有公共点，所以，即－1≤m≤3，故m∈[－1，3].

三、解答题
17．解析：（I）由题意得
∵对称中心到对称轴的最小距离为
的最小正周期为
………………6分
（II）………………10分

18．解析：(1)如图。设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，动点的轨迹方程为
（2）由题可设直线的方程为，
由得
或
设，则
因为以为直径的圆过原点，
则，即，于是
即，
，解得或（舍去）
又，直线存在，其方程为

19．解析：(Ⅰ)证明设点的坐标是由已知条件得
点的坐标分别是：
由在直线上，
得
所以
即
(Ⅱ)解由题设知又由（Ⅰ）知
所以数列是首项为x1—1,公比为的等比数列。
从而即，。
(Ⅲ)解由得点P的坐标为（1，1）。
所以
（当，即或时，
而此时0所以故
当0即时，
而此时所以故

20．解析：解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以∥且.又是中点，
所以∥且,
所以∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.
（Ⅲ）解:取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
.
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
.所以，所以∥.
又平面,平面,则∥平面.
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面.
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为,,，，
所以，.
由得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．解析：（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,,P(B)=q,.
根据分布列知:=0时=0.03,所以，q=0.8.
（2）当=2时,P1=
=0.75q()×2=1.5q()=0.24
当=3时,P2==0.01,
当=4时,P3==0.48,
当=5时,P4=
=0.24
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

22．解析：(1):∵,∴.
∵的一个极值点为,∴.
∴.∴,
当时,;当时,;当时,;
∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
∵方程的两个实根为,即的两根为,
∴.
∴,.
∵函数在区间上是单调的,
∴区间只能是区间,,之一的子区间.
由于,故.
若,则,与矛盾.
∴.
∴方程的两根都在区间上.
令,的对称轴为,
则解得.
∴实数的取值范围为.
说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵且函数在区间上是单调的,
∴.
由即解得.∴实数的取值范围为.
(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,
∴函数在区间上的最大值为,最小值为.
∵,
.
令,则,.
设,则.
∵,∴.∴.
∴函数在上单调递增

2012届高考数学备考复习：统计

专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第三讲统计、统计案例

【最新考纲透析】
1．随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性；
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
2．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列表率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
（3）能从样本数据中撮基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释；
（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
3．变量的相关性
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
4．回归分析及独立性检验
了解回归分析的基本思想、方法及简单应用，了解独立性检验（只要求2×2列）的基本思想、方法及简单应用。

【核心要点突破】
要点考向1：随机抽样
考情聚焦：1．随机抽样问题和实际生活紧密相连，是高考考查的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．解决有关随机抽样问题首先要深该理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体；
2．系统抽样中编号的确定和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的内容。
例1：（2010四川高考文科Ｔ4）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）.
(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6
【命题立意】本题主要考查分层抽样的概念，考查应用所学知识解决实际问题的能力.
【思路点拨】首先计算抽样比例，再计算每层抽取人数.
【规范解答】选D抽样比例为，故各层中依次抽取的人数为人，人，人，人.故选D.
要点考向2：频率分布直方图或频率分布表
考情聚焦：1．频率分布直方图或频率分布表近几年频繁地出现在各地高考题中，是高考的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题。
考向链接：解决该类问题时，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键。频率分布指的是样本数据在各个小范围内所占的比例大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其中
（1）频率分布直方图中纵轴表示，；
（2）在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比；
（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种描述形式，前者准确，后者直观；
（4）众数为最高矩形的底边中点的横坐标；
（5）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（6）平均数等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
例2：（2010北京高考理科Ｔ11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参
加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。
【命题立意】本题考查频率颁布直方图，抽样方法中的分层抽样。熟练掌握频率颁布直方图的性质，分层抽样的原理是解决本题的关键。
【思路点拨】利用各矩形的面积之和为1可解出。分层抽样时，选算出身高在[140，150]内的学生在三组学生中所占比例，再从18人中抽取相应比例的人数。
【规范解答】各矩形的面积和为：，解得。身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生人数分别为：30、20、10，人数的比为3：2：1，因此从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为18=3人。
【参考答案】0.0303。
要点考向3：茎叶图
考情聚焦：1．茎叶图是新课标新增内容，与实际生活联系密切，可方便处理数据，在高考中时有考查，茎叶图可能成为高考的热点；
2．三种考查形式均有可能出现，属于容易题。
考向链接：1．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况；
2．在作茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么；
3．根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据平均数的大小号稳定性的高低。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ11）（2010马鞍山模拟）为检测学生的体温状况，随机抽取甲，乙两个班级各10名同学，测量他们的体温（单位0.1摄氏度）获得体温数据的茎叶图，如图所示.
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班级的平均体温较高；
（Ⅱ）计算乙班的样本平均数，方差；
（Ⅲ）现在从甲班中随机抽取两名体温不低于36.4摄氏度的同学，
求体温为37.1摄氏度的同学被抽到的概率
【解析】（Ⅰ）甲班的平均体温：
（35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1）÷10＝36.36
乙班的平均体温：
（35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0）÷10＝36.30
故甲班的平均体温较高.
（Ⅱ）乙班的样本平均数：36.3
方差：0.134
（Ⅲ）甲班体温不低于36.4摄氏度的有5人，故。
要点考向4：众数、中位数、平均数、方差、标准差
考情聚焦：1．近几年高考加强了对平均数、方差、标准差的考查，这也是高考贴近实际生活的体现，应引起高度重视；
2．三种题型均有可能出现，属容易题。
考向链接：数据的平均数为，方差为，则
（1）数据的平均数是
（2）若的平均数为；的平均数为，则的平均数
（3）或
（4）数据的方差与的方差相等；
（5）数据的方差为。
例4：（2010辽宁高考理科Ｔ18）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
【命题立意】本题考查了古典概型、频率分布直方图、独立性检验等知识。
【思路点拨】（I）
（II）计算小长方形的高，作图
【规范解答】解：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
……4分
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。
（ii）表3：

由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在频率分布直方图中，小长方形的高是频率与组距的比值，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％
要点考向5：线性回归方程
考情聚焦：1．近几年高考虽然没有考查线性回归方程，但它在现实生活中有着广泛的应用，应引起重视；
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属中、低题目。
例5：（2010湖南高考文科Ｔ3）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）
A.B.
C.D.
【命题立意】以朴素的题材为背景，让学生感受线性回归的意义，变量之间的变化趋势.
【思路点拨】负相关说明斜率为负，而价格为0时，销量不能为负。
【规范解答】∵商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，∴a0，排除B，D.又∵x=0时，y0,∴答案为A.
【方法技巧】回归问题主要研究变量之间的相关性，变化趋势，分为正相关和负相关，线性相关不是研究变量之间的确定性，而是相关性，即有关联.求斜率和截距常用给定的公式.
要点考向6：独立性检验
考情聚焦：1．独立性检验是新课标的新增内容，2009年辽宁等省高考题对此作了考查，应引起高度重视；
2．呈现方式可以是选择题、填空题、解答题，属容易题。
例6：（2010辽宁高考文科Ｔ18）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
频数1025203015
（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝b＝
注射药物Bc＝d＝
合计n＝
附：K2＝
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828
【命题立意】考查了频率分布直方图、中位数、独立性检验的知识。
【思路点拨】（I）根据频率分布直方图，估计中位的范围，比较中位数的大小。
（II）将各数据代入公式计算，比较
【规范解答】
（I）
可以看出注射药物A后的疱疹面的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后的疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。

（II）
疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计
注射药物Aa＝70b＝30100
注射药物Bc＝35d＝65100
合计10595n＝200
由于所以有99％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。
【方法技巧】
1、在做频率分布直方图时，一定要注意，小长方形的高表示的是频率与组距的比，不要当成了频率。
2、根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间。
3、P(K210.828)＝0.01是“指注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积没有差异”的概率，所以有关的概率是1-P(K210.828)＝99.9％。

【高考真题探究】
1．（2010陕西高考文科Ｔ4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则（）
(A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB
【命题立意】本题考查样本平均数、标准差的概念的灵活应用，属保分题。
【思路点拨】直接观察图像易得结论，不用具体的运算
【规范解答】选B由图易得＜，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB
【方法技巧】统计内容有抽样方法、样本特征数（均值、方差，直方图等）、回归分析、预测（应用）等，体现算法思想．弄清基本概念，原理，计算方法等．
2．（2010山东高考理科Ｔ6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为
(A)(B)(C)(D)2
【命题立意】本题考查用样本的平均数、方差,考查了考生的运算求解能力.
【思路点拨】先由平均值求出a，再利用方差的计算公式求解.
【规范解答】选D,由题意知,解得,所以样本方差为
=2,故选D.
3．（2010福建高考文科Ｔ9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
【命题立意】本题考查中位数与平均数的求解。
【思路点拨】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数。
【规范解答】选A，数据从小到大排列后可得其中位数为，平均数为。
【方法技巧】给出实际数据求解中位数和平均数等数据特征相对较为容易，但是同学也要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”，会用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数。
1.众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；
2.中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数。
3.平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4．（2010广东高考理科Ｔ7）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P（X4）=
A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585
【命题立意】本题考察随机变量的正态分布的意义。
【思路点拨】由已知条件先求出，再求出的值。
【规范解答】选

5．（2010广东高考文科Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.
【命题立意】本题考察统计中基本特征量的意义以及变量间的关系.
【思路点拨】按大小排列出收入数据的顺序，找出中间的那个数据.
【规范解答】收入数据按大小排列为：、、、、，所以中位数为13.
【参考答案】正向.
6．（2010陕西高考理科Ｔ19）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。
【命题立意】本题考查了分层抽样的概念、条形图的识别、概率的简单求法等基础知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
【思路点拨】读懂频数条形图是解题的关键
【规范解答】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故由估计该校学生身高在170~180cm之间的概率
（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，则

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在［50,60)元的同学有30人,则n的值为()
(A)90(B)100(C)900(D)1000
2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．62B．63C．64D．65

3.在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时，得到了以下数据：
下列结论中正确的一项是（）
(A)有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(B)有99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(C)有99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效
(D)没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效
4.如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字),由图可知:（）
(A)甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高
(B)甲、乙中位数的和为17.8,甲稳定性高
(C)甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高
(D)甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高
5.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）
（A）s3s1s2
（B）s2s1s3
（C）s1s2s3
（D）s2s3s1
6.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg),得到频率分布直方图如图：
根据图可得这100名学生中体重在［56.5,64.5）的学生人数是（）
（A）20（B）30（C）40（D）50
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为______.
8．某学校有初中生1100人，高中生900人，教师100人，现对学校的师生进行样本容量为的分层抽样调查，已知抽取的高中生为60人，则样本容量________
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下:
甲:8281797895889384
乙:9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数,并说明它在乙组数据中的含义;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
11.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均为优秀的概率;
②若这8位同学的数学、物理分数对应如表:
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.
参考公式：相关系数
回归直线的方程是：
其中；其中是与对应的回归估计值。
参考数据：
12.(探究创新题)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件,根据上面的数据判定,产品是否合格与设备是否改进有没有关系?

参考答案
1．【解析】选B.由频率分布直方图知,支出在［50,60)元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，∴=0.3,∴n=100.
2．【解析】选C.甲的中位数为28，乙的中位数为36.所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
3．【解析】选A.
因为6.6233.841，所以有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效.
4．【解析】选A.由茎叶图知甲的中位数是9.05,乙的中位数是9.15,故甲、乙中位数的和为18.2,看茎叶图知乙稳定性比甲高,故选A.
5．
6．【解析】选C.通过观察图象知：体重在［56.5,64.5）的频率为(58.5-56.5)×0.03+(60.5-58.5)×0.05+(62.5-60.5)×0.05
+(64.5-62.5)×0.07=0.4.
故体重在［56.5,64.5）的学生人数是0.4×100=40.
7．【解析】由题意知,学号组成以=14为公差的等差数列,故还有一个同学的学号为20.
答案:20
8．【解析】，解之得
答案：140
9．答案：12
10．【解析】(1)茎叶图如下:
学生乙成绩中位数为84,它是这组数据最中间位置的两个数的平均数.(中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中)
甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适。
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）=。
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从二项分布
故的分布列为
11．[解析]（1）应选女生（位），男生3（位），可以得到不同的样本个数是。
（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理成绩均成优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是，然后使剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是。根据乘法原理，满足条件的种数是。这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种。故所求的概率
②变量y与x的相关系数是可以看出，物理与数学成绩是高度正相关。以数学成绩x为横坐标，物理作散点图如图所示。
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关。
设y与x的线性回归方程为
根据所给的数据，可以计算出
所以y与x的线性回归方程是
12．【解析】由已知数据得到下表
∵12.38＞6.635,
∴有99%的把握认为产品是否合格与设备是否改造是有关的.

【备课资源】
1.以下五个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
④在回归直线方程=0.1x+10中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量增加0.1个单位
⑤在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.
其中正确的是()
(A)②③④⑤(B)①③④
(C)①③⑤(D)②④
【解析】选A.①描述的抽样方法应该是系统抽样,故①错误.
2.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为()
(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45
【解析】选A.根据频率分布直方图的意义,成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为(0.36+0.34)×1×50=35.
3.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有()
(A)100辆(B)200辆(C)300辆(D)400辆
【解析】选C.由频率分布直方图知速度不小于90km/h的频率为1-(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,故速度不小于90km/h的汽车约有1000×0.3=300辆.
4.下图是甲、乙两种玉米生长高度抽样数据的茎叶图,设甲的中位数为a,乙的众数为b,则a与b的大小关系为________.
【解析】由茎叶图知,甲的中位数是26,乙的众数为26,故a=b.
答案:a=b
5.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图：据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为________.
【解析】由茎叶图知,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的人数为6,频率为,故估计200名教师中,使用多媒体进行教学次数在［15,25)内的有200×=60人.
答案:60

2012届高考数学备考复习点、直线、平面之间的位置关系教案

专题四：立体几何
第二讲点、直线、平面之间的位置关系

【最新考纲透析】
1．理解空间直线平面位置关系的定义。
2．了解可以作为推理依据的公理和定理。
3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【核心要点突破】
要点考向1：线线、线面的位置关系
考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。
2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。
3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。
考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。
2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。
3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质
4．证明线面垂直的方法有：
（1）定义；
（2）判定定理；
例1：（2010天津高考文科Ｔ１9）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。
【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。
【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.
在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。
连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG//FA,FAGM,得NGGM.
在Rt△NGM中，tan,
所以二面角B-EF-A的正切值为.

要点考向2：面面位置关系
考情聚焦：1．在高考中，本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解决问题的能力。
2．题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直。
3．选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档。
考向链接：1．证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可。从而将面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行。
2．证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决。
例2：（2010辽宁高考文科Ｔ19）
如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(Ⅰ)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;
（Ⅱ)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.
【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】（I）先证明B1C⊥平面A1BC1.再证明平面AB1C⊥平面A1BC1;
（II）利用线面平行的性质，得到DE//A1B，判断出D点是中点，从而可解
【规范解答】（I）
（II）
【方法技巧】
1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。
2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了A1B∩BC1＝B
要点考向3：与折叠有关的问题
考情聚焦：1．空间图形的折叠问题是近几年高考命题的一个新的亮点,它通常与其他知识相结合,能够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。
2．选择题、填空题、解答题均可出现，尤其解答题为多，属中档题。
例3：（2010浙江高考文科Ｔ20）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
【思路点拨】（1）可以在面内找一条直线与BF平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角。
【规范解答】(Ⅰ)取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知FG∥CD，FG=CD.BE∥CD,BE=CD.所以FG∥BE,FG=BE.
故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG
因为平面，BF平面，所以BF//平面
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连CE。
因为，在△BCE中，可得CE=a,在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中，M为DE中点，
所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中点N，
连线NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,则cos=.
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角转化为线线夹角。
注：（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。
（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形。

【高考真题探究】
1．（2010山东高考理科Ｔ3）在空间，下列命题正确的是（）
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
【命题立意】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力.
【思路点拨】可利用特殊图形进行排除.
【规范解答】选D，在正方体中，但它们在底面上的投影仍平行，故A选项不正确；平面与平面都平行于直线，但平面与平面相交，故B选项不正确；平面与平面都垂直于平面，但平面与平面相交，故C选项不正确；而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项D正确.
2．（2010浙江高考理科Ｔ6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）
（A）若，，则（B）若，，则
（C）若，，则（D）若，，则
【命题立意】本题考查空间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力。
【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理。
【规范解答】选B。如图（1），选项A不正确；如图（2），选项B正确；如图（3）选项C不正确；如图（4）选项D不正确。
3．（2010广东高考理科Ｔ18）如图5，是
半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B
和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足
FB=FD=a，FE=a
证明：EB⊥FD；
已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得
FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。
【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.
【思路点拨】（1）点E为的中点，AC为直径是，又面EB⊥FD.
作出二面角的棱证明为所求二面角的平面角求、
【规范解答】（1）证明：连结.因为是半径为a的半圆，为直径，点E为的中点，
所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且点是底边的中点，所以
在中，，所以是，所以.
由，，且，所以面
又面，所以，
所以平面，而平面，所以
（2）过点作，FQ=FE,FR=FB，，，
与共面且与共面，
为平面BED与平面RQD的棱.
由（1）知，平面，平面，而平面，平面，
，，是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.
在中，，
，=.
由余弦定理得：
又由正弦定理得：
，即
所以平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为
4．（2010北京高考理科Ｔ１6）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在
的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
【命题立意】本题考查了线面平行、线面垂直及二面角的求法。一般的，运用几何法（方法一）对空间想象能力，空间运算能力要求较高，关键是寻找二面角的平面角；运用向量法（方法二）思路简单，但运算量较大，熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键。
【思路点拨】立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法。几何法：（1）证明AF与面BDE内的某条线平行；（2）证明CF垂直于面BDE内的两条相交直线；（3）由第（2）问的结论，可过A作一直线与CF平行，从而垂直于面BDE，再过A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂线，找到二面角的平面角。向量法：利用三个垂直关系CE，CD，CB，建立空间直角坐标系，利用向量的平行、垂直和数量积求二面角的大小。
【规范解答】方法一：
（I）设AC与BD交点G。因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.
(II)连接FG，，为平行四边形，
又，CEFG为菱形，。
在正方形ABCD中，。
正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，
，又，。
（III）在平面ACEF内，过A作，垂足为H，连接HB。则AH//CF。
AH平面BDE，，。
又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，。
又，面BCE，。面ABH。
。为所求的二面角A-BE-D的平面角。
由得，，
为锐角，。
方法二：
（I）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.设为平面BDE的法向量，则，即，令，得，。
，，
又面BDE，AF//平面BDE。
（II）由（I）知，所以,
所以,.又因为，所以平面BDE.
(III)设平面ABE的法向量,由（I）知=，，则，.即所以且令则.所以.从而。所以。
因为二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
5．（2010福建高考文科Ｔ20）如图，在长方体ABCD–A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。
（I）证明：AD//平面EFGH；
（II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE–D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。
【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，然后求解圆柱的体积，利用体积比计算出几何概率。
【规范解答】(I)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面；
（II）设，则在长方体ABCD-A1B1C1D1的体积，几何体的体积，又，，所以当且仅当时等号成立，从而，故，当且仅当时等号成立，所以得最小值等于。
【方法技巧】立体几何中的证明问题，一定要把条件写完整了，保证逻辑合理，如：本题一定要写出。
6．（2010江苏高考Ｔ１6）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求证：PC⊥BC；
求点A到平面PBC的距离。
【命题立意】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
【思路点拨】（1）可证明BC与PC所在的某一个平面垂直；（2）点A到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的2倍。
【规范解答】（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
【方法技巧】一个几何体无论怎样转动，其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可考虑利用等体积法求解。等体积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面及其对应的高，减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现。本题也可利用等体积法求解：
连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。

【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.给出以下三个命题：
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是()
(A)3(B)2(C)1(D)0
2.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）
(A)充要条件
(B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件
(D)既非充分又非必要条件
3.设有直线m、n和平面α、β.下列四个命题中,正确的是（）
(A)若m∥α,n∥α,则m∥n
(B)若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β
(C)若α⊥β,mα,则m⊥β
(D)若α⊥β,m⊥β,mα,则m∥α
4.对于平面α和直线m、n，给出下列命题
①若m∥n,则m、n与α所成的角相等；
②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
③若m与n是异面直线，且m∥α,则n与α相交.
其中真命题的个数是（）
(A)0(B)1(C)2(D)3
5.已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是（）
(A)平面ABC必不垂直于α
(B)平面ABC必平行于α
(C)平面ABC必与α相交
(D)存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
6．（2010北京模拟）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC

二、填空题（每小题6分，共18分）
7.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内,MN⊥BC于M，则MN与平面AB1的位置关系是_______.
8.如果一条直线与一个平面垂直,那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_______.
9.设α、β表示平面，a、b表示不在α内也不在β内的两条直线.给出下列四个论断:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三个作为条件,余下的一个作为结论,可以构造出一些命题.写出你认为正确的一个命题________.
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10.如图，在四棱锥P-ABCD中.PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.
(1)证明PA∥平面BDE;
(2)证明AC⊥平面PBD;
11.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一点F，使
AD∥平面PEF？说明理由.
12.(探究创新题)如图,A、B、C、D为空间四点,在△ABC中,AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴转动.
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长;
（2）当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1.【解析】选B.由直线与平面平行的性质定理知①正确；
由直线与平面垂直的判定定理知②正确；
若两条直线都平行于一个平面,则这两条直线平行或相交或异面，故③不正确.
2.【解析】选C.由直线与平面垂直的定义知,当直线l与平面α内无数条直线都垂直时,直线l与平面α不一定垂直;反之成立.
3.【解析】选D.m∥α,n∥αm∥n或m与n相交或m,n异面,故A不对.mα,nα,m∥β,n∥βα,β相交或平行,故B不对.α⊥β,mαm∥β或m⊥β或m与β斜交,故C不对.α⊥β,m⊥β,mαm∥α正确.
故选D.
4.【解析】选B.①正确；对②，若m⊥α,m⊥n,则n∥α或nα；对③，若m与n异面，m∥α,则n与α相交或平行或在α内.
5.【解析】选D.如图，A、B、C三点不共线且到α的距离都相等，可得A、B、C皆错.
6.【解析】选C.A．若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；
B．若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；
C．若AB=AC，DB=DC，四边形ABCD可以是空间四边形，AD不一定等于BC；
D．若AB=AC，DB=DC，可以证明AD⊥BC。

二、填空题
7.【解析】∵MN⊥BC，
∴MN∥BB1,
而BB1平面AB1，
∴MN∥平面AB1.
答案：MN∥平面AB1
8.【解析】∵AB⊥面BCC1B1,
AB⊥面ADD1A1，
∴AB与面BCC1B1，AB与面ADD1A1
各构成一个“正交线面对”.
这样的“正交线面对”共有
12×2=24个，
又A1B⊥面AB1C1D.
∴A1B与面AB1C1D构成一个“正交线面对”.
这样的“正交线面对”共有12×1=12个，
∴共有24+12=36个.
答案：36
9.【解析】由a∥b,a∥β,b⊥α可得α⊥β.
答案：①②④③

三、解答题
10.【证明】(1)设AC∩BD=H,连结EH.在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EH∥PA.又EH平面BDE且PA平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC.结合（1）易知DB⊥AC.
又PD∩DB=D.故AC⊥平面PBD.
11.【解析】(1)∵PA⊥底面ABC，
BE平面ABC，
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形，E是AC的中点,
∴BE⊥AC,而PA∩AC=A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在点F，F是CD的中点.
理由：∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF∥AD.
而EF平面PEF，AD平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
12.【解析】（1）取AB的中点E,连结DE、CE，
因为△ADB是等边三角形,
所以DE⊥AB,
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.
又DE=,EC=1.
在Rt△DEC中,
（2）当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC=BC,AD=BD，
所以C、D都在线段AB的垂直平分线上,
即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,由（1）知AB⊥DE，
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE、CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,
由CD平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述得AB⊥CD.

【备课资源】
1.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是（）
(A)若m⊥α,m∥n,n?β,则α⊥β
(B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n
(C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α
(D)若m⊥α,m⊥β,则α∥β
【解析】选B.对B，m和n可能平行，也可能异面，故错误.
2.设a、b是两条直线,α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β
(B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)aα,b⊥β,α∥β
(D)aα,b∥β,α⊥β
【解析】选C.aα,b⊥β,α∥β?a⊥b.
3.已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题
①若α⊥β、l⊥β,则l∥α;
②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α;
④若α⊥β,β∥γ,则γ⊥α；
其中正确的命题是（）
(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③
【解析】选B.α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故①不正确.l⊥α,l∥β?α⊥β,②正确.
若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α或l?α或l与α相交，③不正确.显然④正确.
4.设α、β、γ为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线
①α⊥β,α∩β=n,m⊥n;②α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ;
③α⊥β,α∥γ,m∥γ;④n⊥α,n⊥β,m⊥α
其中，是m⊥β的充分条件的为（）
(A)①②(B)②④(C)②③(D)③④
【解析】选B.α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ?m⊥β；

2012届高考数学备考复习：导数及其应用

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“2012届高考数学备考复习：导数及其应用”，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。

【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。
②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010山东高考文科Ｔ21）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1）当
所以
因此，,即曲线
又
所以曲线
（2）因为,所以,令
当时，所以
当时，0，此时，函数单调递减；
当时，0，此时，函数单调递增.
当时，由，
即，解得.
①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
②当时，，
时，,此时,函数单调递减
时，0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
③当时，由于,
时，,此时,函数单调递减：
时，0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（III）如果，且，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以,即2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；
(ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。
【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：
，联立，得到：，
化简：得到
从而所以同样运用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。

【高考真题探究】
1.（2010全国高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A）(B)
(C)(D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a、b的值。
【规范解答】选A，,在点处的切线方程是。
斜率为1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设，则依据题意可得：
其导函数故选A.
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
5．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ22）设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当时，当且仅当
令，则
当时，是增函数；当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x-1时，
（Ⅱ）由题设，此时
当a0时，若，则不成立；
当a0时，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，则.当且仅当
⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当a时，由⑴知x
当时，所以h(x)h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0,.
6．（2010江苏高考Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||||，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
若，∴，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）

【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数在R上可导，且，则（C）
A．B．C．D．无法确定
2．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（D）
A．B．C．D．
3．设函数在上可导，且，则当时有(A)
A．B．
C．D．
4．设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（C）
5．在区间上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如图，函数的图象在点P处的切线是，则=（C）．
A．B．0C．D．不确定

二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数的单调减区间为。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010安徽安庆高三二模（文））已知函数.
⑴当时，求函数的最小值；
⑵若在上是单调函数，求的取值范围.
12．（2010届北京市朝阳区高三一模（文））已知函数，．
（Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a0时，对x∈R有f′(x)0.
∴当a0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当时，
………2分
令得或（，舍去负值）。………3分
函数及导数的变化情况如下表：
∴当时，函数的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上为单调函数，只需对，都有或
，∴，∴………8分
①当时，恒成立即恒成立；………10分
②当时，，∴，∴恒成立；……12分
综上所述：当时，在上为单调函数………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因为函数在处取得极值，所以，解得.
于是函数，,.
函数在点处的切线的斜率，
则在点处的切线方程为.…………………………6分
（Ⅱ）当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或
解得，或，所以的取值范围是．……14分

【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A．1B．C．D．
【解析】选A.，于是切线的斜率，∴有
2.（2009江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为()
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)

5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0有两个不等的实根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求的导数;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009马鞍山模拟）已知函数f(x)=x2-alnx,

（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009山东高考）已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a0，即b2a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.

文章来源：http://m.jab88.com/j/51697.html

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