经验告诉我们,成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?为此,小编从网络上为大家精心整理了《复数的乘法与除法》,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。
复数的乘法与除法教学目标例题讲解:向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算,故要安排范例与足够的练习,使学生对向量的线性运算有相当的掌握.向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础,也应配备适当例题,提高学生这方面能力,开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练.
例1.如图5-4已知梯形ABCD中,两底角∠A=∠B=60°,E为AB中点,且ED∥BC,适当添加箭头后,写出分别与向量、、相等的向量.
由已知可断定(?)图中3个正三角形全等.
故与相等的向量有、.
与相等的向量有.
与相等的向量有.
例2.用五边形ABCDE,作出下列向量:
(1),,,;(2)+;
(3)+++;(4).
如图5-5
(1)略
(2)即
(3)原式=
过B作∥原式=
(4)原式==+=
还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练,但也要适可而止.
例3.如图5-6,ABCD中E、F分别是BC、CD的中点,若记,,试用、表示向量、、和
从图中可知由、可先求出=2=2-2
若记=,=
则=,=
而有+=,
联立以上二式,可得==
而
∴=
例4.证明三角形中位线定理.
已知:图5-7中D、E分别是边AB、AC的中点,
求证:DE∥BC且DE=BC.
证明:D、E分别为AB、AC的中点
,
=
∴DE∥BC且DE=BC.
例5.图5-8,△ABC中,点C分OA边为1∶3,点D分OB边为2∶3,AD与BC交于点P,延长OP交AB于E,求E点分AB所成的比,
解:记,,则=,
∵点P在直线AD上,存在tR使=
∴
∴=(1-t)+①
相仿由点P在BC上可得=(1-m)+②
比较①、②求出t=,
∴=+③
又由点E在AB上可有④
∵与共线,==⑤
比较④、⑤可得S=
∴
∴
∴
则=2∶1
而点E分AB边的比为2∶1
3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
(3)了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点:引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1:我们知道,对于实系数一元二次方程,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?
问题2:类比引进,就可以解决方程在有理数集中无解的问题,怎么解决在实数集中无解的问题呢?
问题3:把实数和新引进的数i像实数那样进行运算,并希望运算时有关的运算律仍成立,你得到什么样的数?
二、学生活动
1.复数的概念:
⑴虚数单位:数__叫做虚数单位,具有下面的性质:
①_________
②______________________________________________
⑵复数:形如__________叫做复数,常用字母___表示,全体复数构成的集合叫做______,常用字母___表示.
⑶复数的代数形式:_________,其中____叫做复数的实部,___叫做复数的虚部,复数的实部和虚部都是___数.
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当_____时,它是实数;
当且仅当_____时,它是实数0;
当_______时,叫做虚数;
当_______时,叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?
3.练习:
(1).下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么?
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判断下列命题是否正确:
(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数
(3)若a为实数,则Z=a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1实数m分别取什么值时,复数
z=m+1+(m-1)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
解:
归纳总结:
确定复数z=a+bi是实数、虚数、纯虚数的条件是:练习:实数m分别取什么值时,复数
z=m2+m-2+(m2-1)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
两个复数相等,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也就是
a+bi=c+di_______________________(a、b、c、d为实数)
由此容易出:a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中,x,y为实数,求x与y.
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数,且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x与y.
2、若x为实数,且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0,求x的值.
数系的扩充与复数的引入
1、了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用.
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
3、了解复数的代数表示法及其几何意义,能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
重视复数的概念和运算,注意复数问题实数化.
第1课时复数的有关概念
1.复数:形如的数叫做复数,其中a,b分别叫它的和.
2.分类:设复数:
(1)当=0时,z为实数;
(2)当0时,z为虚数;
(3)当=0,且0时,z为纯虚数.
3.复数相等:如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等.
4.共轭复数:当两个复数实部,虚部时.这两个复数互为共轭复数.(当虚部不为零时,也可说成互为共轭虚数).
5.若z=a+bi,(a,bR),则|z|=;z=.
6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做,叫虚轴.
7.复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系.
8.两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数,就比较它们的大小.
例1.m取何实数值时,复数z=+是实数?是纯虚数?
解:①z是实数
②z为纯虚数
变式训练1:当m分别为何实数时,复数z=m2-1+(m2+3m+2)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
解:(1)m=-1,m=-2;(2)m≠-1,m≠-2;(3)m=1;(4)m=-1.
例2.已知x、y为共轭复数,且,求x.
解:设代入由复数相等的概念可得
变式训练2:已知复数z=1+i,如果=1-i,求实数a,b的值.
由z=1+i得
==(a+2)-(a+b)i
从而,解得.
例3.若方程至少有一个实根,试求实数m的值.
解:设实根为,代入利用复数相等的概念可得=
变式训练3:若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.
解:t=-3,x1=0,x2=3i.提示:提示:设出方程的纯虚数根,分别令实部、虚部为0,将问题转化成解方程组.
例4.复数满足,试求的最小值.
设,则,
于是
变式训练4:已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、,其中,设对应的复数为.
(1)求复数;
(2)若复数对应的点P在直线上,求的值.
解:(1)
(2)将代入
可得.
1.要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时,对实部和虚部的约束条件.
2.设z=a+bi(a,bR),利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.
第2课时复数的代数形式及其运算
1.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:
设,则
(1)=;
(2)=;
(3)=().
2.几个重要的结论:
⑴
⑵==.
⑶若z为虚数,则=
3.运算律
⑴=.
⑵=.
⑶=.
例1.计算:
解:提示:利用
原式=0
变式训练1:求复数
(A)(B)(C)(D)
解:故选C;
例2.若,求
解:提示:利用
原式=
变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲.
解:2
例3.已知,问是否存在复数z,使其满足(aR),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由
解:提示:设利用复数相等的概念有
变式训练3:若,其中是虚数单位,则a+b=__________
解:3
例4.证明:在复数范围内,方程(为虚数单位)无解.
证明:原方程化简为
设、y∈R,代入上述方程得
将(2)代入(1),整理得无实数解,∴原方程在复数范围内无解.
变式训练4:已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若,求a的取值范围.
解:由题意得z1==2+3i,
于是==,=.
由,得a2-8a+70,1a7.
1.在复数代数形式的四则运算中,加减乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化,必须准确熟练地掌握.
2.记住一些常用的结果,如的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.
3.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别,在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.
复数章节测试题
一、选择题
1.若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为()
A、-6B、13C.D.
2.定义运算,则符合条件的复数对应的点在()
A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限;
3.若复数是纯虚数(是虚数单位),则实数()
A.-4;B.4;C.-1;D.1;
4.复数=()
A.-IB.IC.2-iD.-2+i
6.若复数在复平面上对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是()
A.B.C.D.
7.已知复数z满足,则z=()
(A)-1+i(B)1+i(C)1-i(D)-1-i
8.若复数,且为纯虚数,则实数为()
A.1B.-1C.1或-1D.0
9.如果复数的实部和虚部相等,则实数等于()
(A)(B)(C)(D)
10.若z是复数,且,则的一个值为()
A.1-2B.1+2C.2-D.2+
11.若复数为纯虚数,其中为虚数单位,则=()
A.B.C.D.
12.复数在复平面中所对应的点到原点的距离为()
A.12B.22C.1D.2
二、填空题
13.设,a,b∈R,将一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数为a,第二次得到的点数为b,则使复数z2为纯虚数的概率为.
14.设i为虚数单位,则.
15.若复数z满足方程,则z=.
16..已知实数x,y满足条件,(为虚数单位),则的最小值是.
17.复数z=,则|z|=.
18.虚数(x-2)+y其中x、y均为实数,当此虚数的模为1时,的取值范围是()
A.[-,]B.∪(
C.[-,]D.[-,0∪(0,
19.已知(a0),且复数的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数的模.
20..复平面内,点、分别对应复数、,且,,
,若可以与任意实数比较大小,求的值(O为坐标原点).
复数章节测试题答案
一、选择题
1.A2.答案:A3.答案:B
4.答案:B
6.答案:A
7.A
8.B
9.B
10.B
11.D
12.B
二、填空题
13.
14.2i
15.
16.答案:22
17.答案:
18.答案:B∵,设k=,
则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点
的直线斜率,作图如下,k≤,
又∵y≠0,∴k≠0.由对称性选B.
【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力,利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0,这一易错点.
【误区警示】本题属于基础题,每步细心计算是求解本题的关键,否则将会遭遇“千里之堤,溃于蚁穴”之尴尬.
19.解:
20.解:依题意为实数,可得
文章来源:http://m.jab88.com/j/44741.html
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