一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。优秀有创意的教案要怎样写呢?小编经过搜集和处理,为您提供向量的数量积,仅供参考,希望能为您提供参考!
2.4向量的数量积(3)
一、课题:向量数量积(3)
二、教学目标:
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点:1.平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式;
2.向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程:
(一)复习:
1.两平面向量垂直的充要条件;
2.两向量共线的坐标表示;
3.轴上单位向量,轴上单位向量,则:,,.
(二)新课讲解:
1.向量数量积的坐标表示:设,则,
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式:.
2.长度、夹角、垂直的坐标表示:
①长度:;
②两点间的距离公式:若,则;
③夹角:;
④垂直的充要条件:∵,即
(注意与向量共线的坐标表示的区别)
3.例题分析:
例1设,求.
解:.
例2已知,求证是直角三角形。
证明:∵,
∴∴
所以,是直角三角形。
说明:两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3如图,以原点和为顶点作等腰直角,使,
求点和向量的坐标。
解:设,则,,
∵,∴,
即:,
又∵,∴,即:,
由或,
∴,或,.
例4在中,,,求值。
解:当时,,∴∴,
当时,,,
∴∴,
当时,,∴∴.
五、课堂练习课本练习1,2.
六、小结:两向量数量积的坐标表示:长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业:课本习题
补充:已知,,
(1)求证:(2)若与的模相等,且,求的值。
俗话说,凡事预则立,不预则废。高中教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”,仅供您在工作和学习中参考。
课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示;
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。
【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。
例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角
例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=
2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。
6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)
7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?
8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。
课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示;
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。
【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。
例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角
例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=
2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。
6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)
7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?
8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道怎么写具体的教案内容吗?以下是小编为大家精心整理的“高二数学向量的数量积013”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。
8.2(2)向量的数量积(2)
教学目标设计
1.深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件;
2.掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法;
3.初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题,领略向量的数量积的数学价值;
4.通过对问题的分析研究,体会数学思考的过程.
教学重点及难点
重点:向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用;
难点:向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺,投影仪
教学过程设计
一.情景引入:
1.复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念:
对于两个非零向量,如果以为起点,作,那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角,其中.
(2)平面向量数量积(内积)的定义:
如果两个非零向量的夹角为(),那么我们把叫做向量与向量的数量积,记做,即.并规定与任何向量的数量积为0.
(3)“投影”的概念:
定义:叫做向量在方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为;当=180时投影为.
(4)向量的数量积的几何意义:
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积.
(5)向量的数量积的运算性质:
对于,有
(1)当且仅当时,=
(2)
(3)
(4)
2.分析思考:
(1)类比实数的运算性质,向量的数量积结合律是否成立?
学生通过讨论,回答:一般不成立
(2)如果一个物体在大小为2牛顿的力的作用下,向前移动1米,其所做的功的大小为1焦耳,问力的方向与运动方向的夹角是否为?
分析:设该物体在力的作用下产生位移,所做的功为,与的夹角为,则由知
二.学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后,我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得:
两个向量垂直的充要条件是.
2.例题分析
例1:化简:.(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求.(课本P66例3)
解:
所以
例3:已知,垂直,求的值.(课本P66例4)
解:因为垂直,所以
化简得
即
由已知,可得
解得.
所以,当时,垂直.
例4:已知、都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角.
解:由①
②
两式相减:
代入①或②得:
设、的夹角为,则
∴=60
3.问题拓展
例5.利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角.
证明:设AB是⊙O直径,半径为r
设,则;,则
则
,即∠ACB是直角.
三.巩固练习
1已知,(1)若∥,求;
(2)若与的夹角为60°,求;?
(3)若与垂直,求与的夹角.
2已知,向量与的位置关系为()
A.平行B.垂直?C.夹角为D.不平行也不垂直
3已知,与之间的夹角为,则向量的模为()
?A.2B.2?C.6D.12
4已知与是非零向量,则是与垂直的()
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件?
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
四.课堂小结
1.向量的数量积及其运算性质;
2.两向量的夹角公式;
3.两个向量垂直的充要条件;
4.求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法.
五.作业布置
练习8.2(1)P67T2、T3、T4;P35T3、T4
思考题
1已知向量与的夹角为,,则|+||-|=.
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量,那么=.
3已知⊥、与、的夹角均为60°,且则=______.???
4对于两个非零向量与,求使最小时的t值,并求此时与的夹角.
5求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后.再一次抛出物理模型问题,学生通过交流、分析.讨论,解决问题.进一步推而广之,由数量积的定义,通过变形十分容易的导出向量的夹角公式.并推出了两向量垂直的充要条件.之后,通过例题分析,学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程.学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力.
文章来源:http://m.jab88.com/j/21524.html
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