一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编经过搜集和处理，为您提供向量的数量积，仅供参考，希望能为您提供参考！

2.4向量的数量积（3）

一、课题：向量数量积（3）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．

（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1设，求．
解：．
例2已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵，∴，
即：，
又∵，∴，即：，
由或，
∴，或，．
例4在中，，，求值。
解：当时，，∴∴，
当时，，，
∴∴，
当时，，∴∴．
五、课堂练习课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业：课本习题
补充：已知，，
（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。

精选阅读

平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)，(5，2)
练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．
＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)(－)＝－7．
(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．
经检验，＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．
(2)＋x与－垂直，
(＋x)(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即x1x2＋yy1＝0．
又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．
＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴⊥，CP是AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．71，2，3，4，5．

高二数学向量的数量积013

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编为大家精心整理的“高二数学向量的数量积013”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

８．2（2）向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．
(3)“投影”的概念：
定义：叫做向量在方向上的投影．
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
(4)向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？
学生通过讨论，回答：一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？
分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量垂直的充要条件是．
２.例题分析
例1：化简:．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)
解：因为垂直，所以
化简得
即
由已知，可得
解得．
所以，当时，垂直．
例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
解：由①
②
两式相减：
代入①或②得：
设、的夹角为，则
∴=60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设,则;,则
则
，即∠ACB是直角．

三．巩固练习
1已知,(1)若∥,求；
(2)若与的夹角为60°，求；?
(3)若与垂直，求与的夹角．
2已知,向量与的位置关系为（）
A．平行B．垂直?C．夹角为D．不平行也不垂直
3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）
?A．2B．2?C．6D．12
4已知与是非零向量，则是与垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件?
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4
思考题
1已知向量与的夹角为，,则|+||-|=．
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．
3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．???
4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．
5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．

《平面向量的数量积》学案

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编收集并整理了“《平面向量的数量积》学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

《平面向量的数量积》学案

教学目标：掌握平面向量数量积的概念、性质及简单应用
教学重点：平面向量数量积的概念、性质及应用
教学难点：对平面向量数量积应用的准确把握
教学过程：
题型一：平面向量数量积的性质与运算
【例题1】.关于平面向量，有下列5个命题：
①若，则
②‖
③
④
⑤非零向量和满足，则与的夹角为
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
【例题2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，满足条件(8－)＝30，则x＝__________.

题型二：向量的夹角与模
【例题3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求与的夹角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面积．

变式训练1：已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是

变式训练2：已知平面向量且。
题型三：向量数量积的应用
【例题4】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值为。

变式训练：已知

课堂练习：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为______．
2、设x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→CB→的值为__________
DE→DC→的最大值为________．
4、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→AF→＝2，则AE→BF→的值是________．
课堂小结：

§3.1.3空间向量的数量积运算

§3.1.3空间向量的数量积运算
【学情分析】：
本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律
（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明
（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。
【教学重点】：
空间向量的数量积运算
【教学难点】：
空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新1、平面向量的数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；；
复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。
二．新课讲授1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
注意夹角的表示方法和意义，垂直的表示。

特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；
；
思考：
1、若，是否有成立？
2、若，是否有，或成立？
3、向量数量积是否有结合律成立？
注意向量运算和代数运算的差别。
三．典例讲练例1．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，且，
求证：
证明：取直线的方向向量，同时取向量，。
因为，所以。
因为，且，所以
因此。
注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。
又因为，
所以
这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明
三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

例2．，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：
证明：在内作任一直线个，分别在，，，，上取非零向量，，，。
因为与相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对，
使
将上式两边与向量作数量积，
得
因为，，
所以
所以，即
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，
所以

四．练习1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）
（A）（B）
（C）（D）
注意的使用

2、如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的
长。

巩固
3、如图，线段AB，BD在平
面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。

五．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律
（2）三垂线定理及其逆定理
（3）夹角、距离的求法回顾方法
六．作业课本P97，习题3.1A组，第3题、第4题、第5题

练习与测试：
（基础题）
1．已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证OG⊥BC
分析：要证OG⊥BC，只需证明。
把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示
略解：
（中等题）
２．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60
（1）证明CC1⊥BD
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明
分析：取为运算的基向量，则。
注意向量间的方向对夹角的影响
略证（2）设，菱形边长为a，则
，解得
当时，

文章来源：http://m.jab88.com/j/21526.html

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