高一数学教案:《指数函数》优秀教学设计(三)
教学目标:
进一步理解指数函数及其性质,能运用指数函数模型,解决实际问题.
教学重点:
用指数函数模型解决实际问题.
教学难点:
指数函数模型的建构.
教学过程:
一、情境创设
1.某工厂今年的年产值为a万元,为了增加产值,今年增加了新产品的研发,预计从明年起,年产值每年递增15%,则明年的产值为 万元,后年的产值为 万元.若设x年后实现产值翻两番,则得方程 .
二、数学建构
指数函数是常见的数学模型,也是重要的数学模型,常见于工农业生产,环境治理以及投资理财等.
递增的常见模型为y=(1+p%)x(p>0);递减的常见模型则为y=(1-p%)x(p>0).
三、数学应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他,每经过一年,这种物质剩留的质量是原来的84%,写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
例2 某医药研究所开发一种新药,据检测:如果成人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量为y(微克),与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图曲线,其中OA是线段,曲线ABC是函数y=kat的图象.试根据图象,求出函数y= f(t)的解析式.
例3 某位公民按定期三年,年利率为2.70%的方式把5000元存入银行.问三年后这位公民所得利息是多少元?
例4 某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元.
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;
(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
(复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息方法)
小结:银行存款往往采用单利计算方式,而分期付款、按揭则采用复利计算.这是因为在存款上,为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力,同时也是为了提高储户的长期存款的积极性,往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高;而在分期付款的过程中,由于每次存入的现金存期不一样,故需要采用复利计算方式.比如“本金为a元,每期还b元,每期利率为r”,第一期还款时本息和应为a(1+p%),还款后余额为a(1+p%)-b,第二次还款时本息为(a(1+p%)-b)(1+p%),再还款后余额为(a(1+p%)-b)(1+p%)-b=a(1+p%)2-b(1+p%)-b,……,第n次还款后余额为a(1+p%)n-b(1+p%)n?1-b(1+p%)n?2-……-b.这就是复利计算方式.
例5 2000~2002年,我国国内生产总值年平均增长7.8%左右.按照这个增长速度,画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结果取整数).
练习:
1.(1)一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个,计划从今年开始的m年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%,试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式;
(2)一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个,计划从今年开始的m年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降p%,试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式.
2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经3小时后,这种细菌可由1个分裂成个 .
3.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则得方程 .
四、小结:
1.指数函数模型的建立;
2.单利与复利;
3.用图象近似求解.
五、作业:
课本P71-10,16题.
高一数学教案:《指数函数》优秀教学设计(一)
教学目标:
1.掌握指数函数的概念(能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围),会作指数函数的图象;
2.能归纳出指数函数的几个基本性质,并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程,培养学生探究、归纳分析问题的能力.
教学重点:
指数函数的定义、图象和性质.
教学难点:
指数函数性质的归纳.
教学过程:
一、创设情境
课本第59页的细胞分裂问题和第64页的古莲子中的14C的衰变问题.
二、学生活动
(1)阅读课本64页内容;
(2)动手画函数的图象.
三、数学建构
1.指数函数的概念:一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R,值域为(0,+).
练习:
(1)观察并指出函数y=x2与函数y=2x有什么区别?
(2)指出函数y=2·3x,y=2x+3,y=32x,y=4?x,y=a?x(a>0,且a≠1)中哪些是指数函数,哪些不是,为什么?
思考:为什么要强调a>0,且a≠1?a≠1自然将所有的正数分为两部分
(0,1)和(1,+),这两个区间对函数的性质会有什么影响呢?
2.指数函数的图象和性质.
五、小结
1.指数函数的定义(研究了对a的限定以及定义域和值域).
2.指数函数的图象.
3.指数函数的性质:
(1)定点:(0,1);
(2)单调性:a>1,单调增;0<a<1,单调减.
六、作业
课本P70习题3.1(2)5,7.
高一数学知识点:指数函数函数奇偶性
指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况,考试技巧。
可以看到:
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点。
(8)显然指数函数无界。
高一数学教案:《指数函数》优秀教学设计(二)
教学目标:
1.进一步理解指数函数的性质;
2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题;
教学重点:
指数函数的性质的应用;
教学难点:
指数函数图象的平移变换.
教学过程:
一、情境创设
1.复习指数函数的概念、图象和性质
练习:函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是_____,值域是______,函数图象所过的定点坐标为 .若a>1,则当x>0时,y 1;而当x<0时,y 1.若0<a<1,则当x>0时,y 1;而当x<0时,y 1.
2.情境问题:指数函数的性质除了比较大小,还有什么作用呢?我们知道对任意的a>0且a≠1,函数y=ax的图象恒过(0,1),那么对任意的a>0且a≠1,函数y=a2x?1的图象恒过哪一个定点呢?
二、数学应用与建构
例1 解不等式:
(1); (2);
(3); (4).
小结:解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样,是指数性质的运用,关键是底数所在的范围.
例2 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图:
(1); (2); (3); (4).
小结:指数函数的平移规律:y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(当k>0时,向左平移,反之向右平移),上下平移 y=f(x)+h(当h>0时,向上平移,反之向下平移).
练习:
(1)将函数f (x)=3x的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,可以得到函数 的图象.
(2)将函数f (x)=3?x的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,可以得到函数 的图象.
(3)将函数图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位所得函数的解析式是 .
(4)对任意的a>0且a≠1,函数y=a2x?1的图象恒过的定点的坐标是 .函数y=a2x-1的图象恒过的定点的坐标是 .
小结:指数函数的定点往往是解决问题的突破口!定点与单调性相结合,就可以构造出函数的简图,从而许多问题就可以找到解决的突破口.
(5)如何利用函数f(x)=2x的图象,作出函数y=2?x?和y=2|x?2|的图象?
(6)如何利用函数f(x)=2x的图象,作出函数y=|2x-1|的图象?
小结:函数图象的对称变换规律.
例3 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1-2x,试画出此函数的图象.
例4 求函数的最小值以及取得最小值时的x值.
小结:复合函数常常需要换元来求解其最值.
练习:
(1)函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a等于 ;
(2)函数y=2??x?的值域为 ;
(3)设a>0且a≠1,如果y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值为14,求a的值;
(4)当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,求实数a的取值范围.
三、小结
1.指数函数的性质及应用;
2.指数型函数的定点问题;
3.指数型函数的草图及其变换规律.
四、作业:
课本P71-11,12,15题.
五、课后探究
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(1)函数f(x)的定义域为(0,1),则函数的定义域为.
(2)对于任意的x1,x2ÎR,若函数f(x)=2x,试比较的大小.
文章来源:http://m.jab88.com/j/12313.html
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