古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编帮大家编辑的《对数换底公式》，相信能对大家有所帮助。

对数换底公式

首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?

如求设，写成指数式是，取以为底的对数得

即．

在这个等式中，底数3变成后对数式将变成等式右边的式子．

一般地

关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．

换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．

如换底公式可以解决如下问题：

(1)．(2)．(

延伸阅读

高一数学对数的换底公式教案21

第三课时对数的换底公式
教学目标：
1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；
教学重点：换底公式及推论
教学过程：
一、问题情境：
1.不是常用对数和自然对数的对数如何运算?
2.能否通过转化,将一般对数化为常用对数或自然对数？
二、学生活动：
1．验证换底公式.
2．推导和证明换底公式.
3．应用换底公式.
三、建构数学：
1）引导学生自己总结出换底公式.
2）介绍换底公式的含义及应用.
3）指导学生推导换底公式.
探究:
(1)对数换底公式：(a0,a1，m0,m1,N0)
(2)两个常用的推论:
①，；
②（a,b0且均不为1）.
四、数学运用：
1．例题：
例1．(教材P61例6)试用常用对数表示.

例2.(教材P61例7)求的值.

例3．(教材61例8)

例4．(教材62例9)

例5．已知3=a，7=b,用a,b表示56

例6．计算：①②

2．练习:
P63（练习）1，2，3，4.
五、回顾小结：
本节课学习了以下内容：换底公式及其推论.
六、课外作业：P64习题6,7,8.
补充:1.设，且.(1)求证：；（2）比较的大小.
2.已知，求.

对数与对数运算

2.2.1对数与对数运算（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
2．过程与方法：
（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
3．情感、态度与价值观
（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：
（1）换底公式及其应用.
（2）对数的应用问题.
2．教学难点：
换底公式的灵活应用.
（三）教学方法
启发引导式
通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出
问题
我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？

师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.

产生认知冲突，激发学生的学习欲望.
概念
形成
1.探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.
例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得
x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.
由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.

师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
（师生讨论并完成）
当a＞0，且a≠1时，
若ab=N，①
则logaN=b.②
在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，
则logcab=logcN，
即blogca=logcN.
∴b=.③
由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.

推导换底公式
应用
举例
（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）
例1计算：（1）log34log48log8m=log416，求m的值.
（2）log89log2732.
（3）（log25+log4125）.

合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.
例220世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.

例3科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.

课堂练习
1.课本P79练习第4题.
2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有
A.2个B.3个C.4个D.1个
3.若log34log48log8m=log42，求m.
4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；
（2）已知log1227=a，求log616.
例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.
（1）解：原方程等价于
××=2，
即log3m=2，∴m=9.
（2）解法一：原式
===.
解法二：原式
=
==.
（3）解：原式=
（log25+log25）
=log225log52
=log25log52
=log25log52=.
小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn
=logaM及换底公式
logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，
即logablogba=1.

例2解：（1）M=lg20－lg0.001
=lg=lg20000
=lg2+lg104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由M=lgA－lgA0可得
M=lg=10M
A=A010M.
当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0107.6；
当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0105.
所以，两次地震的最大振幅之比是
=
=107.6－5=102.6≈398.
答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.

例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：
死亡年数t12
碳14含量Pxx2

3…t…
x3…xt…
因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，
所以=x5730，
于是x==（），
这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.
由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，
由计算器可得t≈2193.
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.

课堂练习答案
1.（1）1；（2）1；（3）.
2.A
3..
4.（1）.
（2）.

掌握换底公式的应用.

掌握利用对数知识解决实际问题.

归纳
总结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.
2.解决实际问题的一般步骤：
学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.
课后
作业作业：2.2第三课时习案学生独立完成巩固新知
提升能力
备选例题
例1已知log189=a，18b=5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189=a，18b=5，
∴log185=b，
于是
=
=.
方法二：∵log189=a，18b=5，
∴lg9=alg18，lg5=blg8，
∴
=.
【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式.
例2我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y=10lg.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0=10－12w/m2，当I=I0时，y=0，即dB=0.
（1）如果I=1w/m2，求相应的分贝值；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y=10lg
（2）由70=10lg，即，∴，
又60=10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I=10I′
答：（1）I=1w/m2，相应的分贝值为；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍

对数

§2.3.1对数（一）
——对数的概念及对数的运算性质
【学习目标】:1．理解对数的概念；能进行对数式与指数式的互化。
2．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，掌握对数的运算性质；
3．熟练运用对数的运算性质进行化简求值。
【教学过程】：
一、复习引入：
问题：改革开放以来，我国经济保持了持续高速的增长，假设2005年我国国内生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值是2005年时的2倍？（即实现国内生产总值翻一番的目标）

二、新课讲授：
1．对数的定义：一般地，如果的次幂等于N，即，那么就称是以的对数，记作，读法：
思考1：将下列指数式写成对数式：
（1）54=625（2）2-6=（3）3a=27（4）
思考2：将下列对数式写成指数式：
（1）（2）log2128=7（3）lg0.01=-2（4）ln10=2.303
注意①：指数式与对数式的关系：
注意②：概念的理解：指数式与对数式的关系及相应各数的名称排列如右：
式子名称
abN
指数式
底数指数幂值
对数式
底数对数真数
思考3：求下列对数的值：，，，
注意③：有关性质：；；零和负数没有对数。
2．两种常用的对数：
（1）常用对数：通常将的对数称为常用对数，简记为
（2）自然对数：通常将的对数称为自然对数，简记为
思考4：①②③④⑤
3．对数恒等式：若，则，
指数与对数对比表
式子

名称a---幂的底数
b---幂的指数
N---幂值a---对数的底数
b---以a为底的N的对数
N---真数
运算性质①
②
③①
②
③
4．对数运算性质：

三、典例欣赏：
例1．求下列各式中的x：
（1）（2）；（3）（4）
例2．求下列各式的值：
（1）（2）lg(3)log535-2log5+log57-log51.8（4）

例3．已知，求的值．

【针对训练】班级姓名学号
1．求下列指数与对数式互化不正确的一组是_________________.
(1)100=1与lg1=0(2)与(3)(4)
2．对于a0，且a1，下列说法正确的是
（1）若M=N，则M=N；（2）若M=N，则M=N；
（3）若M2=N2，则M=N；（4）若M=N，则M2=N2
3.把下列各题的指数式写成对数式：
（1）：_____（2）：________（3）：_______
（4）：_____（5）25=32：_______（6）2-1=：
4.把下列各题的对数式写成指数式：
（1）：________(2)：_________
(3)：________（4）：________
（5）log39=2：________(6)log5125=3：________
(7)log2=-2：________(8)log3=-4：________
5.已知，则
6．以6为底，的对数等于
7．求下列各式的值：
（1）log525(2)log2(3)lg100

(4)lg0.01（5）log1515(6)

（7）；（8）．

8.计算：
(1)loga２＋loga12（a＞０，a≠１）=；（２）log318－log3２=；
(3)lg14－lg25=；(4)２log510＋log50.25=；
（5）２log525＋３log264=；(6)log2（log216）=.
9.计算：
（1）log3（27）（2）lg

（3）lg0.00001（4）

10.已知lg2=m,lg3=n,求下列各对数的值（用m、n关系式表示）：
（1）lg6(2)lg4(3)lg12

(4)lg(5)lg(6)lg32

11.已知x的对数，求x：
（1）lgx=lga+lgb(2)

（3）lgx=3lgn+lgm(4)

对数与对数函数

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《对数与对数函数》，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

学案14对数与对数函数
一、课前准备：
【自主梳理】
1．对数：
（1）一般地，如果，那么实数叫做________________，记为________，其中叫做对数的_______，叫做________．
（2）以10为底的对数记为________，以为底的对数记为_______．
（3），．
2．对数的运算性质：
（1）如果，那么，
．
（2）对数的换底公式：．
3．对数函数：
一般地，我们把函数____________叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是______．
4．对数函数的图像与性质：
a10a1
图
象
性
质定义域：___________
值域：_____________
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
x∈（0，1）时_________
x∈（1，＋∞）时________x∈（0，1）时_________
x∈（1，＋∞）时________
在___________上是增函数在__________上是减函数

【自我检测】
1．的定义域为_________．
2．化简：．
3．不等式的解集为________________．
4．利用对数的换底公式计算：．
5．函数的奇偶性是____________．
6．对于任意的，若函数，则与的大小关系是___________________________．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）．
（2）比较与的大小为___________．
（3）如果函数，那么的最大值是_____________．
（4）函数的奇偶性是___________．
【例2】求函数的定义域和值域．

【例3】已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）判断的奇偶性；
（3）解不等式．
课堂小结

三、课后作业
1．．
2．函数的定义域为_______________．
3．函数的值域是_____________．
4．若，则的取值范围是_____________．
5．设则的大小关系是_____________．
6．设函数，若，则的取值范围为_________________．
7．当时，不等式恒成立，则的取值范围为______________．
8．函数在区间上的值域为，则的最小值为____________．
9．已知．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求使的的取值范围．

10．对于函数，回答下列问题：
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围；
（3）若函数在内有意义，求实数的取值范围．

四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析

学案14对数与对数函数
一、课前准备：
【自主梳理】
1．对数
（1）以为底的的对数，，底数，真数．
（2），．
（3）0，1．
2．对数的运算性质
（1），,．
（2）．
3．对数函数
，．
4．对数函数的图像与性质
a10a1
图
象
性
质定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
x∈（0，1）时y＜0
x∈（1，＋∞）时y＞0x∈（0，1）时y＞0
x∈（1，＋∞）时y＜0
在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数
【自我检测】
1．2．3．
4．5．奇函数6．．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）3．
（2）．
（3）0．
（4）奇函数．

【例2】解：由得．所以函数的定义域是（0，1）．
因为，所以，当时，，函数的值域为；当时，，函数的值域为．
【例3】解：（1），所以．
（2）定义域（-3，3）关于原点对称，所以
，所以为奇函数．
（3），所以当时，解得
当时，解得．
三、课后作业
1．2．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
9．解：（1）由得，函数的定义域为（-1，1）；
（2）因为定义域关于原点对称，所以
,所以函数是奇函数．
（3）
当时，解得；当时，解得．

10．解：（1）由题可知的解集是，所以，解得
（2）由题可知取得大于0的一切实数，所以，解得
（3）由题可知在上恒成立，令
解得或解得，综上．

文章来源：http://m.jab88.com/j/21482.html

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