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二次根式的乘除

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§3.2.2二次根式的乘除⑵(九年级下数学304)——研究课

主备:李维明班级________姓名____________

一.学习目标:

1.经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则;

2.能运用法则ab=ab(a≥0,b>0)进行二次根式的除法运算;

3.理解商的算术平方根的性质ab=ab(a≥0,b>0),并能运用于二次根式的化简和计算.

二.学习重点:二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究.

学习难点:二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用.

三.教学过程

知识准备

1.二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质是什么?

2.计算:

⑴615⑵1224⑶a3ab(a≥0,b≥0)⑷a5+2a3b2+ab4

★规律探究

计算:

⑴425=,425=;⑵916=,916=;

⑶49100,49100=;⑷2252=,2252=.

观察:上面的式子,你能得到什么样的的结论呢?用字母把规律表示出来:

概括:二次根式相除,.

尝试练习:

⑴123⑵567⑶27÷3⑷123÷13

⑸726⑹243⑺54÷6⑻213÷79

思考:你还有其它的方法来解决上面的问题吗?

由ab=ab(a≥0,b>0)反过来可得:.

利用这个等式可以化简一些二次根式.

尝试练习:

⑴1625⑵179⑶316⑷4b29a2(a>0,b≥0)

⑸49⑹2-29⑺25y436x2(x>0)⑻3a2-2a+1(a<1)

例题解析

1.若xx-2=xx-2成立,则x的取值范围是.

2.计算:

⑴5×21105⑵3a36b32ab(a>0,b>0)⑶45÷(-5145)⑷ab÷ab1ab(a、b>0)

★3.把x-1x中根号外的因式移入根号内,则转化后的结果是.

①已知xy>0,化简二次根式x-yx2的正确结果是

②把(a-1)11-a根号外的因式移入根号内,其结果是

归纳小结:

课内反馈:

1.计算:

⑴6015⑵728⑶18÷6⑷223÷113

2.化简:

⑴4925⑵359⑶34⑷9a2b216c2(a≥0,b≥0,c>0)

课外延伸

1.下列计算中正确的是()

A.59=53B.4125=215C.223÷13=2D.18÷2=3

2.下列各式中,成立的是()

A.(-2)2×3=-23B.x2+y2=x+y

C.ab=abD.当x≤2x且x≠-1时,2-xx+1有意义

3.如果一个三角形的面积为12,一边长为3,那么这边上的高为.

4.如果1-xx-2=1-xx-2成立,则x的取值范围是.

5.计算:2×63-1=.

6.计算:313÷(25213)×(4125)

7.计算或化简(题中字母均表示正数):

⑴6024⑵2412÷214⑶210÷35

⑷3a÷(-3a)⑸b3c5a4⑹1a2-1b2(b>a>0)

8.先化简x+2x-2÷xx3-2x2,然后再选择一个你喜欢的x值,代入求值.

错题整理:

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二次根式的乘除(1)(2)导学案


每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,到写教案课件的时候了。教案课件工作计划写好了之后,才能使接下来的工作更加有序!你们到底知道多少优秀的教案课件呢?下面是小编帮大家编辑的《二次根式的乘除(1)(2)导学案》,希望能对您有所帮助,请收藏。

一.学习目标:
1.经历二次根式乘法法则的探究过程,进一步理解乘法法则;
2.能运用二次根式的乘法法则:ab=ab(a≥0,b≥0)进行乘法运算理解;
3.理解积的算术平方根的意义,会用公式ab=ab化简二次根式.
二.学习重点:二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.
学习难点:二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用.
三.教学过程
知识准备
1.什么是二次根式?已学过二次根式的哪些性质?

2.(1)4×25与4×25;(2)16×9与16×9;(3)(23)2×(35)2与(23)2×(35)2
★规律探究
1.观察:以上式子及其运算结果,看看其中有什么规律?,并用表达式表示你发现的规律.
.
2.概括:二次根式相乘,.
尝试练习:
⑴2×32⑵12×8⑶2a×8a(a≥0)⑷24×6

⑸18×12⑹12×6×2⑺3m×m2×6m2

3.由二次根式乘法公式逆向运用可得:.
文字语言叙述:.
比如:12=×=×=;32=×=×=;
20=×=×=;28=×=×=.
尝试练习:
⑴8⑵50⑶76⑷52⑸96⑹125⑺150

例题解析
⑴1681⑵7252⑶a3⑷4a2b3(a≥0)

⑸12a2b4(a≥0)⑹32x3y(x≥0)⑺8x3+4x2y(x≤0,2x+y≥0)

注意:一般地,二次根式运算的结果中,.
归纳小结:

课内反馈:
1.计算:
⑴20×5⑵32×28⑶8×18⑷6a3×3a2(a≥0)

2.化简:
(1)16×25(2)54(3)45a(4)9a2b3(a≥0,b≥0)(5)262-102

3.已知等腰三角形的腰为26cm,底边为42cm,求这个腰三角形的的面积.

课外延伸
1.(10柳州)计算:2×3=.
2.计算:⑴24×54=;⑵18×98=.
3.化简:⑴27a3b2=;⑵24a18a3(a≥0)=.
4.(11枣庄)对于任意不相等的两个实数a、b,
定义运算※如下:a※b=a+ba-b,如3※2=3+23-2=5.那么8※12=
5.如果x×x-2=x(x-2),那么x的取值范围是.
6.下列运算中,正确的是()
A.52×32=52×32=5×3=15B.52-32=52-32=5-3=2
C.-8x2y3(x≥0)=2xy-2yD.(-5)×(-3)=-5×-3=(-5)×(-3)=15
7.(10襄阳)计算32×12+2×5的结果估计在()
A.6至7之间B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间
8.(10自贡)已知n是一个正整数,135n是整数,则n的最小值是()
A.3B.5C.15D.25
9.计算
⑴27×3⑵15×53⑶7×63⑷23×312

⑸25×40⑹ab×ab3(a≥0,b≥0)⑺18a×2a(a≥0)

⑻25a×10a(a≥0)⑼627xyxy(x≥0,y>0)⑽5ab(-4a3b)(a≥0,b≥0)

⑾xyx3yxy2⑿182427⒀18mn2m2n4(m≥0,n≥0)

⒁43xy7×(-1228x2y)⒂-192-172

10.已知(2-x)(x-7)=(2-x)(x-7),求x的取值范围.

11.已知矩形的长是宽的3倍,它的面积为72cm2,求这个矩形的长和宽.

12.(11泰州)解方程组3x+6y=106x+3y=8,并求xy的值.

二次根式


第十八章二次根式
一、填空题(每题2分,共28分)
1.4的平方根是_____________.
2.的平方根是_____________.
7.在实数范围内分解因式:a4-4=____________.

二、选择题(每题4分,共20分)
15.下列说法正确的是().
(A)x≥1(B)x>1且x≠-2
(C)x≠-2(D)x≥1且x≠-2
(A)2x-4(B)-2(C)4-2x(D)2
三、计算题(各小题6分,共30分)
四、化简求值(各小题5分,共10分)
五、解答题(各小题8分,共24分)
29.有一块面积为(2a+b)2π的图形木板,挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a-b)2π,问所挖去的圆的半径多少?

30.已知正方形纸片的面积是32cm2,如果将这个正方形做成一个圆柱,请问这个圆柱底圆的半径是多少(保留3个有效数字)?
参考答案
1.±2
2.±2
3.–ab
4.–2
5.0或4
6.m≥1
12.-x-y
13.x≤4
14.
15.B16.A17.D18.A19.A20.D
23.24
30.0.900

二次根式的运算


第七讲二次根式的运算
式子(≥0)叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础.
(1)(≥0);
(2)();
(3)();
(4)(0).
同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.
例题求解
【例1】已知,则=.
(重庆市竞赛题)
思路点拨因一个等式中含两个未知量,初看似乎条件不足,不妨从二次根式的定义入手.
注:二次根式有如下重要性质:
(1),说明了与、一样都是非负数;
(2)(0),解二次根式问题的途径——通过平方,去掉根号有理化;
(3),揭示了与绝对值的内在一致性.
著名数学教育家玻利亚曾说,“回到定义中去”,当我们面对条件较少的问题时,记住玻利亚的忠告,充分运用概念解题.
【例2】化简,所得的结果为()
A.B.C.D.
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔待选项不再含根号,从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式.
注特殊与一般是能相互转化的,而一般化是数学创造的基本形式,数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律.

【例3】计算:
(1);
(2);
(3);

思路点拨若一开始就把分母有理化,则使计算复杂化,观察每题中分子与分母的数字特点,通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系,以此为解题的突破口.
【例4】(1)化简;(北京市竞赛题)
(2)计算(“希望杯”邀请赛试题)
(3)计算.(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨(1)把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简,此外,由于4+2与4—2是互为有理化因式,因此原式平方后是一个正整数,我们还可以运用这一特点求解;(3)通过配方,可以简化一重根号,解题的关键是就a的取值情况讨论,解决含根号、绝对值符号的综合问题.
【例5】已知,求的值.
(山东省竞赛题)
思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
学历训练
1.如果,那么=.
(四川省竞赛题)
2.已知,那么的值为.(成都市中考题)
3.计算=.(天津市选拔赛试题)
4.若ab≠0,则等式飞成立的条件是.(淄博市中考题)
5.如果式子化简的结果为,则x的取值范围是()
A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x0(徐州市中考题)
6.如果式子根号外的因式移入根号内,化简的结果为()
A.B.C.D.
7.已知,则的值为()
A.B.C.D.
8.已知,那么的值等于()
A.B.C.D.3
9.计算:
(1);
(2);(北京市数学竞赛题)
(3);
(4)
(“希望杯”邀请赛试题)
10.(1)已知与的小数部分分别是a和b,求ab-3a+4b+8的值;
(2)设,,n为自然数,如果成立,求n.
11.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.
(1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由;
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据:,)(贵阳市中考题)

12.已知,,那么=.(T1杯全国初中数学联赛题)
13.若有理数x、y、z满足,则=.
(北京市竞赛题)
14.设,其中a为正整数,b在0,1之间,则=.
15.正数m、n满足,则=.
(北京市竞赛题)
16.化简等于()
A.5—4B.4一1C.5D.-1(全国初中数学联赛题)
17.若,则等于()
AB.C.1D.-1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18.若都是有理数,那么和面()
A.都是有理数B.一个是有理数,另一个是无理数
C.都是无理数D.有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19.下列三个命题:
①若α,β是互不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数;
②若α,β是互不相等的无理数,则是无理数;
③若α,β是互不相等的无理数,则是无理数.
其中正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3(全国初中数学联赛试题)
20.计算:
(1);(“希望杯”竞赛题)
(2);(山东省竞赛题)
(3);(四川省选拔赛题)
(4);
(5).(新加坡中学生数学竞赛题)
21.(1)求证;
(2)计算.(“祖冲之杯”邀请赛试题)
22.(1)定义,求的值;
(2)设x、y都是正整数,且使,求y的最大值.
(上海市竞赛题)
23.试将实数改写成三个正整数的算术根之和.
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24.求比大的最小整数.(西安交通大学少年班入学试题)

文章来源:http://m.jab88.com/j/75495.html

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