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§3.2.2二次根式的乘除⑵（九年级下数学304）——研究课

主备：李维明班级________姓名____________

一.学习目标：

1．经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则；

2．能运用法则ab＝ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算；

3．理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简和计算．

二．学习重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．

学习难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用．

三．教学过程

知识准备

1．二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质是什么?

2．计算：

⑴615⑵1224⑶a3ab(a≥0，b≥0)⑷a5＋2a3b2＋ab4

★规律探究

计算：

⑴425＝，425＝；⑵916＝，916＝；

⑶49100，49100＝；⑷2252＝，2252＝.

观察：上面的式子，你能得到什么样的的结论呢？用字母把规律表示出来：

概括：二次根式相除，.

尝试练习：

⑴123⑵567⑶27÷3⑷123÷13

⑸726⑹243⑺54÷6⑻213÷79

思考：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？

由ab＝ab(a≥0，b＞0)反过来可得：.

利用这个等式可以化简一些二次根式.

尝试练习：

⑴1625⑵179⑶316⑷4b29a2(a＞0，b≥0)

⑸49⑹2－29⑺25y436x2(x＞0)⑻3a2－2a＋1(a＜1)

例题解析

1.若xx－2＝xx－2成立，则x的取值范围是.

2.计算：

⑴5×21105⑵3a36b32ab(a＞0，b＞0)⑶45÷(－5145)⑷ab÷ab1ab(a、b＞0)

★3.把x－1x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是.

①已知xy＞0，化简二次根式x－yx2的正确结果是

②把(a－1)11－a根号外的因式移入根号内，其结果是

归纳小结：

课内反馈：

1.计算：

⑴6015⑵728⑶18÷6⑷223÷113

2.化简：

⑴4925⑵359⑶34⑷9a2b216c2(a≥0，b≥0，c＞0)

课外延伸

1.下列计算中正确的是（）

A．59＝53B．4125＝215C．223÷13＝2D．18÷2＝3

2.下列各式中，成立的是（）

A．(－2)2×3＝－23B．x2＋y2＝x＋y

C．ab＝abD．当x≤2x且x≠－1时，2－xx＋1有意义

3.如果一个三角形的面积为12，一边长为3，那么这边上的高为.

4.如果1－xx－2＝1－xx－2成立，则x的取值范围是.

5.计算：2×63－1＝.

6.计算：313÷(25213)×(4125)

7.计算或化简（题中字母均表示正数）：

⑴6024⑵2412÷214⑶210÷35

⑷3a÷(－3a)⑸b3c5a4⑹1a2－1b2(b＞a＞0)

8.先化简x＋2x－2÷xx3－2x2，然后再选择一个你喜欢的x值，代入求值.

错题整理：

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一.学习目标：
1．经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；
2．能运用二次根式的乘法法则：ab＝ab（a≥0，b≥0）进行乘法运算理解；
3．理解积的算术平方根的意义，会用公式ab＝ab化简二次根式．
二．学习重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
学习难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用．
三．教学过程
知识准备
1．什么是二次根式?已学过二次根式的哪些性质?

2．（1）4×25与4×25；（2）16×9与16×9；（3）(23)2×(35)2与(23)2×(35)2
★规律探究
1.观察：以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？，并用表达式表示你发现的规律.
.
2.概括：二次根式相乘，.
尝试练习：
⑴2×32⑵12×8⑶2a×8a（a≥0）⑷24×6

⑸18×12⑹12×6×2⑺3m×m2×6m2

3.由二次根式乘法公式逆向运用可得：.
文字语言叙述：.
比如：12＝×＝×＝；32＝×＝×＝；
20＝×＝×＝；28＝×＝×＝.
尝试练习：
⑴8⑵50⑶76⑷52⑸96⑹125⑺150

例题解析
⑴1681⑵7252⑶a3⑷4a2b3（a≥0）

⑸12a2b4（a≥0）⑹32x3y（x≥0）⑺8x3＋4x2y（x≤0，2x＋y≥0）

注意：一般地,二次根式运算的结果中,.
归纳小结：

课内反馈：
1.计算：
⑴20×5⑵32×28⑶8×18⑷6a3×3a2（a≥0）

2.化简：
（1）16×25（2）54（3）45a（4）9a2b3(a≥0，b≥0)（5）262－102

3.已知等腰三角形的腰为26cm，底边为42cm，求这个腰三角形的的面积.

课外延伸
1.(10柳州)计算：2×3＝.
2.计算：⑴24×54＝；⑵18×98＝.
3.化简：⑴27a3b2＝；⑵24a18a3（a≥0）＝.
4.(11枣庄)对于任意不相等的两个实数a、b，
定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5．那么8※12＝
5.如果x×x－2＝x(x－2)，那么x的取值范围是．
6.下列运算中，正确的是（）
A.52×32＝52×32＝5×3＝15B.52－32＝52－32＝5－3＝2
C.－8x2y3(x≥0)＝2xy－2yD.(－5)×(－3)＝－5×－3＝(－5)×(－3)＝15
7.(10襄阳)计算32×12＋2×5的结果估计在（）
A.6至7之间B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间
8.(10自贡)已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是（）
A．3B．5C．15D．25
9.计算
⑴27×3⑵15×53⑶7×63⑷23×312

⑸25×40⑹ab×ab3(a≥0，b≥0)⑺18a×2a(a≥0)

⑻25a×10a(a≥0)⑼627xyxy(x≥0，y＞0)⑽5ab(－4a3b)(a≥0，b≥0)

⑾xyx3yxy2⑿182427⒀18mn2m2n4(m≥0，n≥0)

⒁43xy7×(－1228x2y)⒂－192－172

10.已知(2－x)(x－7)＝(2－x)(x－7)，求x的取值范围.

11.已知矩形的长是宽的3倍，它的面积为72cm2，求这个矩形的长和宽.

12.(11泰州)解方程组3x＋6y＝106x＋3y＝8，并求xy的值．

二次根式

第十八章二次根式
一、填空题(每题2分，共28分)
1.4的平方根是_____________.
2.的平方根是_____________.
7．在实数范围内分解因式：a4-4=____________.

二、选择题(每题4分，共20分)
15．下列说法正确的是().
(A)x≥1(B)x＞1且x≠-2
(C)x≠-2(D)x≥1且x≠-2
(A)2x-4(B)-2(C)4-2x(D)2
三、计算题(各小题6分，共30分)
四、化简求值(各小题5分，共10分)
五、解答题(各小题8分，共24分)
29.有一块面积为(2a+b)2π的图形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a-b)2π，问所挖去的圆的半径多少？

30.已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底圆的半径是多少(保留3个有效数字)？
参考答案
1．±2
2.±2
3.–ab
4.–2
5.0或4
6.m≥1
12.-x-y
13.x≤4
14.
15.B16.A17.D18.A19.A20.D
23.24
30.0.900

二次根式的运算

第七讲二次根式的运算
式子(≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．
(1)(≥0)；
(2)()；
(3)()；
(4)(0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．
例题求解
【例1】已知，则=．
(重庆市竞赛题)
思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注：二次根式有如下重要性质：
(1)，说明了与、一样都是非负数；
(2)(0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；
(3)，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
【例2】化简，所得的结果为（）
A．B．C．D．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．

【例3】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
．
思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．
【例4】(1)化简；(北京市竞赛题)
(2)计算(“希望杯”邀请赛试题)
(3)计算．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨（1）把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2与4—2是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】已知，求的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练
1．如果，那么=．
(四川省竞赛题)
2．已知，那么的值为．(成都市中考题)
3．计算=．(天津市选拔赛试题)
4．若ab≠0，则等式飞成立的条件是．(淄博市中考题)
5．如果式子化简的结果为，则x的取值范围是()
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x0(徐州市中考题)
6．如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）
A．B．C．D．
7．已知，则的值为()
A．B．C．D．
8．已知，那么的值等于（）
A．B．C．D．3
9．计算：
(1)；
（2）；(北京市数学竞赛题)
（3）；
（4）
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)设，，n为自然数，如果成立，求n．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据：，)(贵阳市中考题)

12．已知，，那么=．(T1杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足，则=．
(北京市竞赛题)
14．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=．
15．正数m、n满足，则=．
(北京市竞赛题)
16．化简等于()
A．5—4B．4一1C．5D．－1(全国初中数学联赛题)
17．若，则等于()
AB．C．1D．－1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18．若都是有理数，那么和面()
A．都是有理数B．一个是有理数，另一个是无理数
C．都是无理数D．有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则是无理数．
其中正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3(全国初中数学联赛试题)
20．计算：
（1）；（“希望杯”竞赛题）
（2）；（山东省竞赛题）
（3）；（四川省选拔赛题）
(4)；
(5)．(新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证；
(2)计算．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
22．(1)定义，求的值；
(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值．
(上海市竞赛题)
23．试将实数改写成三个正整数的算术根之和．
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24．求比大的最小整数．(西安交通大学少年班入学试题)

文章来源：http://m.jab88.com/j/75495.html

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