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4.2确定圆的条件
教学过程
一、类比联想，提出问题
1．提问：确定一条直线的条件是什么？
学生回答：两点确定一条直线．
2．我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？
提出问题，让学生思考，并进一步讨论：
(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？
学生讨论回答后，请一名学生上黑板作图(如图)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．
(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？
同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生上黑板作图，并得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)
(以上两点由于有前边两节课的知识作铺垫，学生比较容易作出．)
二、动手实践，发现新知
下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？
仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．
1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．
例1已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)
求作：⊙O，使它经过点A，B，C.
分析：作圆的关键是确定圆心和半径．
由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．
因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．
教师在黑板上作圆，学生口述，教师写作法，学生随教师一起作图．
证明：因为⊙O的半径为OA，
所以点A在⊙O上，即⊙O经过点A，
又因为点O在AB的垂直平分线DE上，
所以OB＝OA则⊙O经过点B．
同理可证⊙O经过点C．
所以⊙O是所求的圆．
结合以上作法和证明，请同学回答：
师：经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？
生：存在．
师：是否还有其他符合条件的圆呢？
生：没有．
师：根据是什么？
生：线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点.
这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：
定理过不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．
教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．
实际上，假定过A，B，C三点可以作圆，不妨设这个圆心为O．
由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，并且在线段BC的垂直平分线l″上，即点O为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(如图所示)．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
接下来介绍有关概念：
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．
三、应用举例，巩固新知
练习1判断题(投影打出)
(1)经过三个点一定可以作圆．()
(2)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．()
(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．()
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．()
(经过练习，巩固前边所学的知识)
练习2工人师傅要铸造一个和残轮片(图5)同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能用本课所学知识，帮助工人师傅解决这一问题吗？写出具体作法．
分析：要想知道圆轮的半径，只要作出圆轮残片所在圆的圆心，而从本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆心和半径．
(此题实际上是一个作图题，可由学生口述，教师板演)
四、师生共同小结
1．先由教师提出问题：
(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容？
(2)用什么方法解决过已知点作圆的问题？
(3)学习本节知识需要注意哪些问题？
2．在学生回答的基础上，教师加以小结：
(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题．
(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．
(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．
关于“内接”与“外接”这两个术语，学生常常混淆不清，应指出，“内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是在它的里面或外面，这样内外关系即可自明．
五、作业
课本中相关习题
思考题：经过4点(或4个以上的点)是不是一定能作圆？

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九年级数学确定圆的条件

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4.4确定圆的条件

班级姓名学号

学习目标

1．经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程

2．了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念

3．会过不在同一直线上的三点作圆.

学习重点：确定圆的条件.

学习难点：不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程.

教学过程

一、情境创设

1、确定一个圆需要哪两个要素？

2、经过一点可以作多少条直线？经过两点可以作多少条直线？经过三点可以作多少条直线？那么几点可以确定一条直线？类似地，几点可以确定一个圆呢？

二、探究学习

1.尝试

（1）分别讨论过一点、两点、三点分别可以作几个圆？

（2）经过一点可以作多少个圆？

如何确定圆心、半径？

（3）经过两点可以作多少个圆？

如何确定圆心、半径？

（4）经过三点可以作多少个圆？

如何确定圆心、半径？

2.总结：不在同一直线上的三点确定一个圆

三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念

3．画一画

作锐角三角形ABC的外心

4．总结

三角形外心的位置

（1）由“3”，锐角三角形ABC的外心在△ABC的部；

（2）三角形按角分类，可以分为哪几类？

（3）分别画直角三角形、钝角三角形的外心，你有什么发现？

5.典型例题

例1.已知锐角三角形ABC，用直尺和圆规作三角形ABC的外接圆。

例2.填空：（1）是⊙O的_________三角形；

（2）⊙O是的_________圆，

6.巩固练习

（1）判断：（1）经过三点一定可以作圆；（）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）

（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）

（2）选择：钝角三角形的外心在三角形（）

（A）内部（B）一边上

（C）外部（D）可能在内部也可能在外部

三、归纳总结

1．探索过一点、两点的圆、不在同一直线上的三点确定一个圆；

2．了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念；

3．学会过不在同一直线上的三点作圆.

【课后作业】

班级姓名学号

1．经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以作个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作

个圆，并且只能作个圆。

2.一个三角形能画个外接圆，一个圆中有个内接三角形。

3.三角形的外心是三角形的的圆心，它是三角形的的交点，它到的距离相等。

4.Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。

5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）

A0个B1个C2个D无数个

6.等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为.

7.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。在图中画出水井P的位置。

.A

.B

C．

8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。

初二数学知识点归纳：确定圆的条件

初二数学知识点归纳：确定圆的条件

学习重点:
1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．
2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
学习难点:
分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．
学习方法:
教师指导学生自主探索交流法.
学习过程:
一、举例：
【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．
（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是cm，这两个圆的圆心距是cm．
【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．
二、随堂练习
一、填空题
1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．
2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．
3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．
二、选择题
4．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形
5．下列命题中的假命题是（）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
6．下列图形一定有外接圆的是（）
A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形
三、课后练习
1．下列说法正确的是（）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
2．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）
A．a=15，b=12，c=1B．a=5，b=12，c=12
C．a=5，b=12，c=13D．a=5，b=12，c=14
3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（）
A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．
A．B．C．D．
6．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）
A．2B．6C．12D．7
7．三角形的外心具有的性质是（）
A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外D．外心在三角形内
8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．下列说法错误的是（）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）
A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形
11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．
12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．
13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB=．
14．△ABC的三边3，2，，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH=．
15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．
16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．
17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．
18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．
19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．
20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．
21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）
22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．
23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？

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知识点

通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略.

重点：

1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”.

2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.

难点：

分析作圆的方法，实质是设法找圆心.过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨.

课后练习

【例1】下面四个命题中真命题的个数是()

①经过三点一定可以做圆;

②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆;

③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形;

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

A.4个B.3个C.2个D.1个

试题分析：(1)若两平面有三个公共点，则这两个平面重合，此命题错误，若两平面相交，两个平面也有三个公共点。

(2)两条直线可以确定一个平面，此命题错误，两条平行或相交直线确定一个平面，但两条异面直线不能确定一个平面。

(3)若命题正确，若两平面有一个公共点，则两平面有一条过该点的公共直线。

(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。此命题错误，比如空间直角坐标系中在x轴、y轴、z轴。

点评：本题主要考查对公理的理解即把握，熟练掌握平面的基本性质与公理是做本题的关键。

【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径.

文章来源：http://m.jab88.com/j/71791.html

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