一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。在写好了教案课件计划后，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写多少教案课件范文呢？小编特地为您收集整理“图形分割类问题中考复习导学案”，希望对您的工作和生活有所帮助。

第34课时图形分割类
【课标要求】
近几年中考试题中出现一些别具特色的几何作图题一图形的分割与拼合，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有很复杂的计算，但却需要较强的分析问题、探索问题的能力，对提高学生的思维能力是不无裨益的．
【知识要点】
1、利用平行的等底同高的性质进行等积变形。
2、利用全等形等积变形。
3、利用对称性进行图形变形。
【典型例题】
【例1】（荆门2005）在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，
⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
⑵在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置
⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.

【例2】（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

【课堂检测】
1、能够把面积分为相等的直线为好线我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA、OC。显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE‖AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。
（1）试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)

2．（本小题满分12分）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．

【课后作业】
1.探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.

解决问题：如图2－6－5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．
（1）写出设计方案．并画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．

2.如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S△ABD=S△ADC.
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为；

（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=？

3．在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

4．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题(1)．
(1)已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；
(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．
说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．

延伸阅读

中考数学开放探索问题复习导学案

教案课件是老师需要精心准备的，到写教案课件的时候了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！有没有好的范文是适合教案课件？以下是小编收集整理的“中考数学开放探索问题复习导学案”，希望能为您提供更多的参考。

第5课开放探索问题

第一部分讲解部分

一、专题诠释

开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．

二、解题策略与解法精讲

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．

4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．

三、考点精讲

（一）开放型问题

考点一：条件开放型：

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)

分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．

解：若四边形ABCD的对角线相等，

则由AB=DC，AD=BC可得．

△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，

所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，

所以四边形ABCD是矩形，

故答案为：对角线相等．

评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．

考点二：结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．

分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．

解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵一次函数的图象经过点（0，1），

∴b=1，

∵y随x的增大而增大，

∴k＞0，

故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．

评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．

考点三：条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．

例3：（2010玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．

分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．

解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，

∴在△ABE与△CDF中，

AB=CD，

∠EAB=∠FCD，

又∵DE∥BF，DF∥BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴DE=BF，

又AD=BC，

∴AD﹣DE=BC﹣BF，

即AE=CF，

∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）

评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．

考点四：编制开放型：

此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．

例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．

分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．

解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？

设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得

1800x90%=1800x+4

解得x=36经检验x=36是原方程的根

∴x+4=40

答：1班人均捐36元，2班人均捐40元

解法二：求两个班人数各多少人？

设1班有x人，则根据题意得

1800x+4=180090x%

解得x=50，经检验x=50是原方程的根

∴90x%=45

答：1班有50人，2班有45人．

评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．

（二）探究型问题

考点五：动态探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．

例5：（2011临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．

分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，

∴Rt△FED≌Rt△GEB，

∴EF=EG；

（2）成立．

证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

则EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD．

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，

∴，即，

∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

∴∠GEM=∠FEN，

∵∠GME=∠FNE=90°，

∴△GME∽△FNE，

∴，

∴．

评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

考点六：结论探究型：

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．

例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；

（2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比==2，再利用锐角三角函数的定义求值；

（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

AP=1，CD=AB=2，则PB=，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴即，

∴PC=2；

（2）tan∠PEF的值不变．

理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，

则四边形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴==2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，

∴tan∠PEF的值不变；

（3）线段EF的中点经过的路线长为．

评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．

考点七：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

例7：（2011四川成都）设,,,…,

设，则S＝_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

分析：由

，求，得出一般规律．

解：

故答案为：

评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

考点八：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．

例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q点坐标，Q到MB的距离应该等于P到MB的距离，所以Q点应该在经过P点且平行于BM的直线上，或者在这条直线关于BM对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q点；（3）设出R点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM与△RMB的面积，利用相等列出方程即可求出R点坐标．

解：（1）

（2）∵∴P（1，4）

BC：，M（1，2）P（1，4）；PB：，

当PQ∥BC时：

设PQ1：

∵P（1，4）在直线PQ上；

∴PQ1：

解得，

∴：（2，3）；

将PQ向下平移4个单位得到

解得，

∴：（，）；：（，）

（3）存在，设R的坐标为（，）

∵P（1，4），M（1，2）

∴

∵解得，（舍）

∴当时，

∴R（，2）

评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．

四、真题演练

1．（2011山东潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________(写出一个即可)

2．（2011山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：___________

_______________________，可使它成为矩形．

3．（2011泰州）“一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0≤x≤5）．”

王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：（只需写出1个）．

3．（

4．（2011广西百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．

（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．

（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．

第二部分练习部分

1．（2011贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．

分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．

解答：解：

2．（2011湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．

分析：

解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．

∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，

∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，

∵BC：EF=2：1．

∴△ABC∽△DEF．

故答案为：．

3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)

4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1_______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是_______（只需写出一个）

5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．

（1）添加的条件是；

（2）证明：

6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：

命题1．点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点;

命题2．点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点;

命题3．点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点;

……．

（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);

（2）证明你猜想的命题n是正确的．

7．（2011德州）●观察计算

当a=5，b=3时，与的大小关系是＞．

当a=4，b=4时，与的大小关系是=．

●探究证明

如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．

（1）分别用a，b表示线段OC，CD；

（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．

●归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：≥．

●实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

★“真题演练”参考答案★

1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．

【答案】符合题意的函数解析式可以是y=，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）

故答案为：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．

2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．

【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）

3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0≤x≤5）可以得到：

当x=1时，弹簧总长为10.5cm，

当x=2时，弹簧总长为11cm，…

∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm，

故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm．

4．解：（1）选择①DM=CN；

（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN

∴△AND≌△BCN，

∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，

∴

∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB

∴四边形ABNM是等腰梯形．

★“练习部分”参考答案★

1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），

∵此正比例函数的图象经过二、四象限，

∴k＜0，

∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x（答案不唯一）．

【答案】故答案为：y=﹣x（答案不唯一）．

2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．

【答案】BC：EF=2：1

3．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝≥0，即m2≥12．

【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等

4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF，则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可，答案不唯一．

【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角

故填：不是．

添加AC=FD或∠BAC=∠FED后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△DEF，

故答案为：AC=FD，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB=AD，答案不唯一；

（2）证明：在△ABC和△ADE中，

∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，

∴△ABC≌△ADE．

6．(1)命题n；点(n,n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点(是正整数)．

(2)把代入y=nx，左边=n2，右边=nn=n2，

∵左边=右边，∴点(n，n2)在直线上．

同理可证：点(n，n2)在双曲线上，

∴点(n，n2)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确．

7．解：●观察计算：＞，=．

●探究证明：

（1）∵AB=AD+BD=2OC，

∴OC=.

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°．

∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD．

∴△ACD∽△CBD．（4分）

∴．

即CD2=ADBD=ab，

∴CD=．（5分）

（2）当a=b时，OC=CD，=；

a≠b时，OC＞CD，＞．

●结论归纳：≥．

●实践应用

设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则=4.

当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小．

此时四边形为正方形时，周长最小为4米．

8．解：（1）故答案为：=．

（2）故答案为：=．

证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）答：CD的长是1或3．

中考数学新情境应用问题复习导学案

第二轮复习五新情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲：
以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
解：(1)100；（2）；
⑶作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）
∴城市O不会受到侵袭。
点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．
【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置)
⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
解：设需要t小时才能追上，则AB=24t，OB=26t．
（l）在Rt△AOB中，OB2=OA2+AB2，
即（26t）2=102+（24t）2
解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l，
即需要1小时才能追上．
（2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB=ABOB=24t26t=1213≈0.9231，所以∠AOB≈67．4°，
即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．
点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．
【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得，
解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。
【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
解：根据题意，可有三种购买方案；
方案一：只买大包装，则需买包数为：；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)
方案二：只买小包装．则需买包数为：
所以需买16包，所付费用为16×20＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装包．小包装包．所需费用为W元。
则
∵，且为正整数，
∴9时，290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。
答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。
【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα=35,tanβ=23,位于点O正上方2米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。
⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？
解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为即
∵点D在抛物线上，所以2=
∴抛物线解析式为：
⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则
解得：
则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y=
所以能点燃目标C．
点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决．
Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）
1.选择题（每题3分，共30分）
1．某研究结果显示，由父母的身高预测子女身高的公式为：若父亲的身高为a米，母亲的身高为b米，则儿子成年后的身高约为a+b2×1．08米，女儿成年后身高约为0.923a+b2米，初一女学生赵楠的父亲身高为1．75米，母亲身高为1．62米，请同学们根据公式预测一下赵楠成年后的身高约为（）
A．1．65米B．1．62米C．1．75米D．l．60米
2．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地，现共有。米长的篱笆材料，他设计了两种方案，一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么选用哪一种方案围成场地的面积较大（）
A、围成正方形B．围成圆形C、两者一样大D．不能确定
3、将一张矩形白纸对折，再沿着与折痕方向平行的方向反复对折，问经过n（1≤n≤7）次后，将纸展开共可得到的折痕条数为（）
A、2n－1B．2nC、2n-1D．2n
4、在昆明“世博会”期间，为方便游客参观，铁道部门临时加开了南宁至昆明的直达列车．已知南宁至昆明的路程为828km，普快列车与直快列车由昆明到南宁时，直快列车平均速度是普快的1.5倍，若直快列车比普快列车晚出发2h而先到4h，求两列车的平均速度分别是多少？设普快列车的速度为x
Km/h，则直快列车的速度为1．5xkm／h．依题意，所列方程正确的是（）
；
；
5、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数数关系，其图象如图2-2-5所示，由图给出息可知，营销人员没有销售时的收入是（）
A．310元B．300元C．290元D．280元
6．小美开了一家服装店，有一次去批发市场进货，发现一款牛仔裤，预想能畅销，就用4000元购买了一个批发商的所有这种裤子，还想买二倍数量的这种牛仔裤，又到另一个批发商处用8800元购进，只是单价比前面购进的贵5元．回来后小美按每件89元销售，销路很好，最后剩下10件，按七五折销售，很快售完，则小美这笔生意盈利（）
A．8335元；B．8337．5元；C．8340元；D．8342．5元
7．某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前无产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件．未装箱的产品数量y是时间t的函数，那么这个函数的大致图象（如图2－2－6所示）只能是（）
8．60名初三学生在毕业典礼晚会上，男女生各自相互握手道别已知男生比女生多2人，班长是一名女生，她与所有男生握过手．那么在这次晚会上，全班学生共握手的次数为（）
A．1770B．902C．899D．886
9．随着通讯市场竞争日异激烈，某通讯公司的手机市话收费标拍每分钟降低了a元后，再次下调了25％，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（）
A．；B．；C．；D．
10某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上，位置如2－2－7所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）
A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间
二、填空题（每题3分，共15分）
11经测算，某林场现有生长着的木材存量为a立方米,已知木材生长的年增长率为25％，为满足生产、生活的需要，该林场每年需采伐加工x立方米木材．
⑴用含a与x的代数式表示一年后该林场的木材存量为_______立方米；
⑵用含a与x的代数式表示二年后该林场的木材存量为_______立方米；
⑶若条件中的a=122万，要保证三年后该林场的木材存量至少达到1.5a立方米，则该林场每年采伐加工的木材最多是__________立方米．
12有一群猴子，在小树林中玩耍，总数的8的平方只猴子在欢乐地蹦跳，还有12只猴子愉快地啼叫，则小树林中的猴子总数为_______只．
131平方千米的土地，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量．已知，我国西部的广大地区约有6．4×106平方千米的广阔面积，那么，我国西部地区一年内从太阳得到的能量相当于燃烧__________吨煤所产生的能量．
14某小区规划在一个长40米，宽26米的矩形场地上修建三条同样宽的两路，使其中两条与短边平行，另一条与长边平行，其余部分种草．若使每块草坪的面积都是144平方米，则两路宽_________米．
15某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4％，若第x年小明家交房款y元，则y与x的函数解析式为__________．
三、解答题（16～20题各9分，21题10分，共55分）
16.某公司欲招聘甲、乙、丙三个工种的工人，这三个工种每人的月工资分别为800元、1000元、1500元．已知甲、乙两工种合计需聘30人，乙、丙两种工种合计需聘20人，且甲工种的人数不少于乙工种人数的2倍，丙工种人数不少于12人．问甲、乙、两三个工种各招聘多少人，可使每月所付的工资总额最少？

17.如图2－2－8所示，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短．抽水站应建在哪里？

18.某商场有一座自下向上运动着的电动扶梯，李明到商场买东西，他从电动扶梯底部走到顶，共走了75级，而当他买完东西向下走时，他的行走速度（以单位时间走多少级计算）是上行时速度的3倍．结果他走了150级到达底部，那么这个电动扶梯露在外面能够看到的有多少级？
19.如图2－2－9所示：这是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标的仰角分别为α和β，OA=1千米，tanα=928,tanβ=38,于O点正上方53km的D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3km时，相应的水平距离为4km(即图中E点).
⑴若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
⑵说明问）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．

21.某园林门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年八年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元几类年票每张440元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
⑴如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进人该园林的次数最多的购票方式；
⑵求一年中进人该园林至少超过多少次时，购买A类票比较合算．

21.阅读下列材料：
十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：
n=
各类家庭的恩格尔系数如下表所示：
根据以上材料，解答下列问题：
小明对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查，从1998年至2003年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元；其中食品消费支出总额平均每年增加200元．1998年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
⑴1998年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？
⑵设从1998年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数nm(m为正整数)，请用m的代数式表示该乡平均每户当年恩格尔系数nm，则并利用这个公式计算2004年该乡平均每户以恩格尔系数（百分号前保留整数）
⑶按这样的发展，该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进人小康社会的目标？

中考数学归纳猜想型问题复习导学案

2012年中考复习二轮材料

归纳猜想型问题

一．专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二．解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三．考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…则排在第六个位置的整式为．

【分析】符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n．

【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x6=﹣32x6．

故答案为：﹣32x6．

【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想＝；

（2）证明你猜想的结论；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根据的定义规则，可知，，，．则有．

（2）观察数表可知，第1问中的恰是的具体形式，若将赋值于不同的行与列，我们不难发现．

【解答】（1）

（2）证明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律．从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题．

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例1．（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．

【解答】∵图②平行四边形有5个=1+2+2，

图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，

图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故选C．

【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．

例2．（2011浙江舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．

【解答】由题意设被截去部分为5n+2+1=5n+3，从其选项中看，故选D．

【评注】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．

考点三：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

图甲

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

图乙

【分析】（1）显而易见，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

【评注】这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。

例2．（2011浙江衢州）是一张等腰直角三角形纸板，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【分析】解决问题的关键看内接正方形的一边与三角形重合的边落在三角形的哪条边上，通过对例题的分析，直角三角形的内接正方形有两种，比较两者的大小，可知，直角边上的内接正方形的边长比斜边上的内接正方形的边长大。

【解答】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得

又

甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，

解法2：如图甲，由题意得

如图乙，设

甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索规律可知：‘

剩余三角形的面积和为：

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为

第二次剪取后剩余三角形面积和为

第三次剪取后剩余三角形面积和为

……

第十次剪取后剩余三角形面积和为

【评注】类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法，它可以使一些数学问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。数学思维呈现形式是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求在教学过程中，有目的地进行思维训练，通过思维类比，不断在解决问题中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。

考点四：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例1．（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如右图所示。

前三次变换过程为下图所示：

可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换了一次，所以状态为上图所示，骰子朝上一面的点数是5。

【解答】B。

【评注】历年以“骰子”形式出现的中考题不在少数。本题以考查学生空间想象能力为出发点，将空间转化融入到正方体的旋转中。正方体表面展开图识别对面本不难，但这样一来难度陡然上升。三次变换循环的规律也要煞费周折。有点动手操作题的味道。题目呈现方式灵活，考查形式新颖，使日常熟悉的东西平中见奇。要求考生有很强的空间感，给平时靠死记硬背得分的同学一个下马威，也给教学中不重视动手探究的老师敲响了警钟。

例2.（2011湖南邵阳）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。

（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）

（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

【分析】证明线段相等，三角形全等是一种重要的方法。根据题目条件，结合图形，对应边角还是不难找的。关键是到正方形、正多边形，哪些条件变了，哪些没变。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）结论成立；

（3）。

【评注】三角形全等的判定是初中数学中的重点知识，第一问明显考查“角边角”方法的条件寻找。而从三角形到正方形的变化，抓住不变的东西，透视问题的本质，也不难得到正确答案。再到正多边形，是一个质的飞跃。在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，难度不算大，具有一定的区分度．

四．真题演练

1.（2011四川成都）设,,,…,

设，则S=_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

2.（2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.（用含n的代数式表示）

3．（2011河北）如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.

如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.

若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是____________.

4.（2010四川内江）阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（x1＋x22，y1＋y22）.

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为；

（2）另取两点B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为，;

拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆项法即可求和．

2.或

3.根据“移位”的特点，然后根据例子寻找规律，从而得出结论．

∵小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3，

同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，即连续循环两次，故仍回到顶点3．

故答案为：3．

4.设A、P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且为正整数).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵点P3与P2关于点B成中心对称，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵点P4与P3关于点C成中心对称，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012(2，3);

在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分练习部分

1.（2011湖南常德）先找规律，再填数：

2.（2011四川内江）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：

(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)归纳结论：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是．

3.（2011广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．

4.（2011广东东莞）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面积为.

5．（2011广东汕头）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；

（3）求第n行各数之和．

6.（2011四川凉山）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出的展开式。

（2）利用上面的规律计算：

7.（2011江苏南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y＝33x相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)计算:如图10①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C，求OA的长（用含的代数式表示）.

（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.

（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.设直线y＝33x与三个半圆分别切于A，

B，C，作AEX轴于E，则在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。则。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.

根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得

解得

∵为正整数∴=35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x为偶数时，结果为；当x为奇数时，结果为，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3．所以选择B。

3.图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，第2个图案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3个图案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此规律可得第6个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面积，第二个正三角形的面积是前一个正三角形面积的四分之一，第8个正△A8B8C8的面积是第一个正方形面积的，所以，第8个正△A8B8C8的面积是，选择C。

5.当OAn与轴正半轴重合时，度数为360m＋90是10的倍数，从2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必须是8的倍数或是8的倍数多4，当m为1，2，3时，无解，当m为4时，360m＋90＝1530，符合题意。故答案选B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.

根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得

解得

∵为正整数∴=35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江绍兴中考题）(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的长.

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如图2,过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。

文章来源：http://m.jab88.com/j/68871.html

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