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九年级数学下册第5章二次函数教案学案(共21套苏科版)

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二次函数
学生姓名:______班级:
学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义;
2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。
学习重点和难点:
体会二次函数意义,确定二次函数关系式中各项的系数
问题导学:
(一)情景
1.一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是____________。
2.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?
设长方形的长为x米,则宽为____________米,如果将面积记为y平方米,那么变量y与x之间的函数关系式为________________________.
3.要给边长为x米的正方形房间铺设地板,已知某种地板的价格为每平方米240元,踢脚线的价格为每米30元,如果其他费用为1000元,门宽0.8米,那么总费用y为多少元?
在这个问题中,地板的费用与____________有关,为____________元,踢脚线的费用与有关,为____________元;其他费用固定不变为____________元,所以总费用y(元)与x(m)之间的函数关系式是________________________。
(二)新知探索
上述函数函数关系有哪些共同之处?它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同?
________________________________________________________________________。
一般地,我们称________________________表示的函数为二次函数。其中___________是自变量,____________函数。
一般地,二次函数中自变量x的取值范围是____________,你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗?
(三)典例分析
例1、判断:下列函数是否为二次函数,如果是,指出其中常数a.b.c的值.
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)

例2.当k为何值时,函数为二次函数?

例3.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
⑴正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;
⑵圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
⑶某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
⑷菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.

当堂检测:
(1)如图,学校准备将一块长为20m、宽为14m的矩形陆地扩建。如果长、宽都增加xm,则扩建面积S(m2)与x(m)之间的函数关系式为_____________。

(2)如图,把一张长为30cm、宽为20cm的矩形纸片的一角渐趋一个正方形,则剩余扩建面积S(cm2)与所剪正方形边长x(cm)之间的函数关系式为_____________。
(3)圆柱的高14cm,则圆柱的体积V(cm3)与底面半径r之间的函数关系式为.
(4)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,如果11、12月的月平均增长率为x,则12月份化肥的产量y(t)与x之间的函数关系式为_____________。

课后作业(1):
1.已知函数是二次函数,则m=_________.
2.已知二次函数,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y=_________.
3.一个长方形的长是宽的1.6倍,这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式为_________。
4.如图,用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园,则花园的面积y(m2)与边长x(m)之间的函数关系式为__________,x的取值范围是___________。
5.如图,在长200m,宽80m的矩形广场内修建等宽的十字形道路,则陆地面积y(m2)与路宽边长x(m)之间的函数关系式为_____________。
6.一个圆柱的高与底面直径相等,它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式为.
7.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r的取值范围.

8.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,矩形的一边长2.5m.
⑴求隧道截面的面积S(m2)关于上部半圆半径r(m)的函数关系式;
⑵求当上部半圆半径为2m时的截面面积.(π取3.14,结果精确到0.1m2)

课后作业(2):
1.下列函数:(1)y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,属于二次函数的是(填序号).
2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为.
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是()
A.圆的周长与圆的半径之间的关系B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x,第一季度营业额y(万元)与x的函数关系式为.
5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图,若圆孔的半径为,三角尺的厚度为16,求这块三角尺的体积V与n的函数关系式为.

6.某地区原有20个养殖场,平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因,决定减少养殖场的数量,当养殖场每减少1个时,平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个,求该地区奶牛总数y(头)与x(个)之间的函数关系式.

7.圆的半径为2cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加到y(cm2).
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当圆的半径分别增加1cm、时,圆的面积分别增加多少?
(3)当圆的面积为5πcm2时,其半径增加了多少?

8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)证明y是x的二次函数;
(2)当k=-2时,写出y与x的函数关系式.

扩展阅读

九年级数学上册第22章二次函数教案(共14套新人教版)


22.1.1二次函数
01教学目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

02预习反馈
阅读教材P28~29,理解二次函数的意义及有关概念,完成下列内容.
1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.
(1)下列函数中,不是二次函数的是(D)
A.y=1-2x2B.y=(x-1)2-1
C.y=12(x+1)(x-1)D.y=(x-2)2-x2
(2)二次函数y=x2+4x中,二次项系数是1,一次项系数是4,常数项是0.
【点拨】判断二次函数要紧扣定义.
2.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,它们的表达式分别是y=ax+b(a,b是常数,a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).
如:一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解:S表=4πr2.

03新课讲授
例1(教材P28问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.
【解答】每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数是m=12n(n-1)=12n2-12n.

【跟踪训练1】(22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数关系式y=12x2-12x,它是(填“是”或“不是”)二次函数.

例2(教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
【解答】这种产品的原产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2.

【跟踪训练2】(22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为(C)
A.y=36(1-x)B.y=36(1+x)
C.y=18(1-x)2D.y=18(1+x2)

例3(教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小矩形,剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式,并指出y是x的什么函数?
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是多少?
【解答】(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144.
∴y是x的二次函数.
(2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104.
【点拨】几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.
【跟踪训练3】用总长为60m的篱笆围成矩形场地,写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式.
解:S=a(60-2a)2=-a2+30a.

04巩固训练
1.下列方程是一元二次方程的是(A)
A.(5-a)2=2B.3x2+x-y2=0
C.y2=5-(2y-y3)D.x-1x2+1=0
2.若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b≠1.
3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数关系式为y=x2+2x+1.
4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为xm,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y=-12x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).
5.已知函数y=(m+1)xm2-3m-2+(m-1)x(m是常数).m为何值时,它是二次函数?
解:m=4.
【点拨】不要忽视m+1≠0.

05课堂小结
1.二次函数的定义.
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中,a≠0,a,b,c为常数.
3.如何表示简单变量之间的二次函数关系?

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
01教学目标
1.能够用描点法画函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质.
2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数与形的结合与转化.

02预习反馈
阅读教材P30~32,自学“例1”“思考”“探究”“归纳”,掌握用描点法画函数y=ax2图象的方法,理解其性质,完成下列内容.
1.一般地,当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.
2.一般地,当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
3.从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.
4.(1)抛物线y=2x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点;
(2)抛物线y=-3x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点;
(3)在抛物线y=2x2对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
(4)在抛物线y=-3x2对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

03新课导入
回顾:一次函数的图象是一条直线.
思考:二次函数的图象是什么形状呢?还记得如何用描点法画一个函数的图象吗?
画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.
导入:你能画出二次函数y=x2的图象吗?
第一步:列表:

x…-3-2-10123…
y=x2…9410149…
第二步:描点,在平面直角坐标系中描出表中各点,如图1.
图1
图2

第三步:连线,用平滑的曲线顺次连接各点,就得到二次函数y=x2的图象,如图2.
思考:观察函数y=x2的图象,它有什么特点?
总结:(1)二次函数的图象是一条曲线,它的开口向上,这条曲线叫做抛物线;
(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴,抛物线与它的对称轴的交点是(0,0),它是图象的最低点,叫做抛物线的顶点;
(3)在对称轴的左侧,抛物线y=x2从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线y=x2从左到右上升.也就是说,当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大.

04新课讲授
例1(教材P30例1)在同一直角坐标系中,画出函数y=12x2,y=2x2的图象.
【解答】分别列表,画出它们的图象,如图.

x…-4-3-2-101234…
y=12x2
…84.520.500.524.58…

x…-2-1.5-1-0.500.511.52…
y=2x2…84.520.500.524.58…
思考:函数y=12x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
总结:共同点是开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点;不同点是开口大小不同,x2的系数越大,抛物线的开口越小.

例2(教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中,画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点?
【解答】画出图象如图.
思考:当a<0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?
【点拨】可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律.

【跟踪训练1】(1)函数y=-2x2的图象是抛物线,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口方向是向下;
(2)函数y=x2,y=12x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.
解:根据抛物线y=ax2中a的值来判断,上面最外面的抛物线为y=12x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【点拨】抛物线y=ax2,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下,|a|越大,开口越小.

例3(补充例题)已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)当m为何值时,抛物线有最低点?求这个最低点;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?当x为何值时,y随x的增大而减小?
【解答】(1)由题意,得
m2+m-4=2,m+2≠0.解得m=2或m=-3,m≠-2.
∴当m=2或m=-3时,函数为二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,
∴m+20,即m-2.∴m=2.
这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),
(3)当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小.
【点拨】也可结合图象来分析完成此题.

【跟踪训练2】已知函数y=(m-1)xm2-2m+2+(m-2)x是二次函数,且开口向上.求m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化规律.
解:由题意有m-10,m2-2m+2=2.
解得m=0(舍去),m=2.
所以二次函数的解析式为y=x2.
所以当x0时,y随x的增大而减小,
当x0时,y随x的增大而增大.

05巩固训练
1.抛物线y=-13x2的开口向下,顶点坐标是(0,0),顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点.

2.在同一直角坐标系中,抛物线y=13x2与抛物线y=-13x2的形状相同,开口方向相反,两条抛物线关于x轴对称.
3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)xm2+m开口向下,对称轴为y轴,当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小.
4.二次函数y=-6x2,当x1x20时,y1与y2的大小关系是y1y2.
5.一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是y轴,且经过点(-1,14).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)画出这个二次函数的图象;
(3)根据图象指出,当x>0时,若x增大,y怎样变化?当x<0时,若x增大,y怎样变化?
解:(1)由题意,设二次函数解析式为y=ax2,
将(-1,14)代入,得y=14x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图.
(3)当x>0时,y随x增大而增大;当x<0时,y随x增大而减小.

06课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时,应注意些什么?
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的?

抛物线y=ax2(a0)y=ax2(a0)
顶点坐标(0,0)(0,0)
对称轴y轴y轴
位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)
开口方向向上向下
增减性在对称轴的左侧,y随x的增大而减小
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小
开口大小a越大,开口越小
a越大,开口越小

九年级数学上册第21章一元二次方程教案(共19套新人教版)


第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式.
2.理解二次根式的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
【过程与方法】
1.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.
3.经历观察,归纳一元二次方程的概念,一元二次方程的根的概念.
【情感态度】
通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
【教学重点】
一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念.
【教学难点】
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
※教学过程※
一、情境导入
(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,即下部高度的平方等于上部与全部的积,如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为(2-x)m,由此可得到的等量关系如何?它是关于x的方程吗?如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?
二、探索新知
由上述问题,我们可以得到,即.显然这个方程只含有一个未知数,且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究问题1如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四角突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

教师设置如下问题学生讨论:
如果设四角折起的正方形的边长为xcm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的?
讨论结果:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,
宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得.化简得.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.
探究问题2要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
教师提出以下问题,引导学生思考方程的建模过程:
(1)这次比赛共安排多少场?
(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其他几个队各赛一场?这样共应有多少场比赛?
(3)由此可列出的方程是什么?化简后的方程是什么?
讨论结果:全部比赛的场数为.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共场.列方程.整理,得.化简,得,即.
观察思考,口答下面的问题:
(1)上面的方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?
老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号,是方程.
归纳总结
像这样,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
想一想
二次项系数a为什么不能为0?在指出二次项系数、一次项系数和常数项时,a、b、c一定是正数吗?
探究问题3探究问题2中可以看出,由于参赛球队的支数x只能是正整数,由此可列下表:
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得,当x=8时,,所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
学生思考
方程有一个根为x=8,它还有其他的根吗?
当x=-7时,,故x=-7也是方程的一个根.
归纳总结
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根,则必然有两个实数根,通常记为,.
三、掌握新知
例1求证:关于x的方程,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明即可.
证明:
∵,
∴,即.
∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
例2将方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
分析:一元二次方程的一般形式是.因此,方程必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
解:去括号,得.
移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
四、巩固练习
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①,②,③,④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知方程的一个根是,则m的值为________.
3.关于x的方程是一元二次方程,则a的取值范围是_________.
4.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.
答案:1.A2.-133.a≠14.(1),其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-25;(2),其中二次项系数为1,一次项系数为12,常数项为-100.
五、归纳小结
1.本节课要掌握:(1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用.
2.通过这节课的学习,你还有那些收获?
※布置作业※
从教材习题21.1中选取.
※教学反思※
1.注重知识的前后练习,在温故而知新的过程中孕育新知,按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.
2.教师创设情境,给出实例,学生积极主动探索,教师引导与启发、点拨与设疑相结合,师生互动,体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度,让学生产生困惑,避免今后犯类似错误,增加课堂练习,巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程,要让学生大胆猜测,经过思考、讨论、分析的过程,让学生在交流中体会成功.

21.1一元二次方程
01教学目标
1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项.
2.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性.

02预习反馈
1.等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.如:下列方程:①1-x2=0;②2(x2-1)=3y;③2x2-3x-1=0;④1x2-2x=0中,是一元二次方程的是①③.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
3.使方程左右两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.求方程的解的过程,叫做解方程.
如:下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?-2,3.
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

03新课讲授
类型1一元二次方程的一般形式
例1(教材P3例)将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解答】去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
【方法归纳】1.把一元二次方程化为一般形式,就是把一元二次方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.其中,二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号.
2.将一元二次方程化为一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.

【跟踪训练1】方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是(A)
A.x2-5x+5=0B.x2+5x+5=0
C.x2+5x-5=0D.x2+5=0

【跟踪训练2】(21.1习题)一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是2x2+3x-5=0.

类型2一元二次方程的解的意义
例2(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a-1=0的一个根为0,则a=1.
【思路点拨】将x=0代入一元二次方程,得到关于a的方程,解方程即可.注意二次项系数a+1≠0.
【跟踪训练3】已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0),则a-b的值为(A)
A.-1B.0C.1D.2

04巩固训练

1.若(p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程,则(D)
A.p=2B.p≠0C.p>2D.p≠2
2.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)
A.5、-4、6B.1、-5、0C.5、-2、1D.5、-4、-3
3.若x=3是关于x的方程2x2+ax-6=0的一个根,则a的值是-4.
4.根据题意,列出方程(不必解答):
(1)两个连续整数的积是210,求这两个数;
(2)在一块长250m、宽150m的草地四周修一条路,路修好后草地的面积减少1191m2,求这条路的宽度.
解:(1)设其中一个整数为x,则另一个整数为(x+1),依题意,得x(x+1)=210.
(2)设这条路的宽为xm,则(250-2x)(150-2x)=250×150-1191.

05课堂小结

九年级数学上期终复习要点三(苏科版第五章二次函数)


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2015—2016学年第一学期初三数学期终复习要点三
第5章二次函数
知识点:二次函数,二次函数图像与性质,用待定系数法确定解析式,二次函数与一元二次方程,用二次函数解决问题。
典型例题:
例1.在下列各点中,一定在二次函数y=(x1)2+2图象上的是()
A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2)D.(1,0)
例2.已知二次函数y=x24x+3,当x0时,函数值y的取值范围是()
A.y>3B.y<3C.y≥1D.1≤y<3
例3.已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为(1,4),则c的值为.
例4.如图,在抛物线y=x2的内部依次画正方形,使对角线在y轴上,另两个顶点落在抛物线上.按此规律堆垒,第2015个正方形的边长是.
例5.已知点M(2,1)在二次函数y=ax22bx+1的图象上.
(1)b=;(用含的代数式表示);
(2)该二次函数的图象与x轴的两个交点为A、B,若AB=1,求该二次函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,若A(m,y1),B(m+2,y2)两点都在该函数图象上,试探究y1与y2的大小.

例6.如图,抛物线y=x2+bx4与x轴交于点B(2,0)和C,点M在y轴上.
(1)求抛物线的解析式;(2)连结BM并延长,交抛物线于点D,过点D作DE⊥BC于点E.当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时,求点M的坐标;
(3)连结BM,当∠OMB+∠OAB=∠ACO时,求AM的长.

当堂练习:
1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)2间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是()
A.2mB.8mC.10mD.12m
2.已知抛物线y=a(x+1)(x-)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的a的值有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
3.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表,则当x=-1时,y的值为.
4.已知二次函数y=(a-1)x2-2x+l的图像与x轴有两个交点,则a的取值范围是.
5.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,4).
(1)求该抛物线的函数关系式;(2)判断点B(-,-3)是否在此抛物线上;
(3)若图像上有两点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中l,则y1y2(在横线上填“”“=”或“”).

6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于两个不同的点A、B,其中点A在x轴上.
(1)则A点坐标为▲;
(2)若点B为该抛物线的顶点,求m、n的值;
(3)在(2)条件下,设该抛物线与x轴的另一个交点为C,请你探索在平面内是否存在点D,使得△DAC与△DCO相似?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.

课后作业:
1.已知函数y=,则自变量x的取值范围是()
A.x-1B.x-1C.x≤-1D.x≥-1
2.已知二次函数y=ax2+bx+a(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是()
A.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4;
B.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根;
C.当x1时,y随x的增大而增大;
D.当x≤-1或x≥3时,不等式ax2+bx+c≥0成立.
(第2题)(第3题)
3.如图,已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).若要在y轴上找一点P,使得PM+PN最小,则点P的坐标为()
A.(0,2)B.(0,)C.(0,)D.(0,)
4.如图,已知二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点为A,且与y轴交于点C.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)若将此函数的图象沿z轴向右平移1个单位,再沿y轴向下平移3个单位,请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C的对应点的坐标;
(3)若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在此函数的图象上,试比较y1与y2的大小.

5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x-1交z轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
(1)填空:点A坐标为▲,抛物线的解析式为▲;
(2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.连接PQ,是否存在实数t,使得PQ所在的直线经过点D,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
参考答案:
典型例题:
1、B;2、C;3、3;4、;5、(1)b=a.2
(2)抛物线的对称轴为:直线x=1.3
∵AB=1,∴点(,0)在抛物线上.4
代入表达式:y=ax22ax+1得:a=.即表达式为:y=x2x+1.5
(3)①当m=0时,y1=y2;6
②当m0时,y1y2;7
③当m0时,y1y2.8
6.解:(1)由题意得:0=22b4,解之得:b=1.1
∴该函数解析式为:y=x2x4.2
(2)易证:△BOM∽△BED.
∴为使△BDE与△AOC相似,只需△BOM与△AOC相似.
易得:OC=4,OB=2,OA=4,∴△AOC为等腰直角三角形.4
∴△BOM也为等腰直角三角形.∴M(0,2)或M(0,2).6
(3)如图,点M1满足条件∠OM1B+∠OAB=∠ACO.
∵∠ACO=45°,∴∠DBM1=45°.
过点M1作M1D⊥AB于点D.
∴DB=DM1.
在Rt△AOB中,易得:AB=,
tan∠BAO=.
设DM1=x,则在Rt△AOB中,
易得:.
解之得:x=.
∴AM1=DM1=10.8
根据对称性,在y轴负半轴上,OM2=OM1.
∴AM2=OM2OA=1044=2.10
当堂练习:
1、C;2、C;3、-3;4、且;5、
6.
课后作业:
1、D;2、C;3、A;4、

文章来源:http://m.jab88.com/j/68318.html

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