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沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案
一、教材内容分析：

《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。

二、教学目标设置：

1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。

2、经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。

3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。

重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。

难点：三角形相似判定定理的探索和证明。

三、学生学情分析

学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。

四、教学过程：

活动一：创设情境，类比猜想

同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？

我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似三角形的判定。

设问、交流：

（1）探究三角形全等条件是从哪些方面去探究的？

（2）全等三角形的判定方法有几种？

（3）你认为探究三角形相似应该从哪些方面去探究？

（4）三角形全等最多需要几个条件？三角形相似最多需要几个条件？

活动二：活动探究，得出结论

我们首先从角开始探索：

1、探究：一角对应相等的两个三角形是否相似？得出结论：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件，一个角对应相等的三角形不一定相似。

2、探究：两角对应相等的两个三角形是否相似？

请同学们依据下列条件画三角形：

两人一组，一人画ABC，另一人画A1B1C1，使∠A=∠A1＝60°，∠B=∠B1＝45°。

画完后，思考：这两个三角形是否相似？为什么？

从而总结得出结论：

两角对应相等的两个三角形相似。

结合图形你能用符号语言描述吗？

符号表述：

在ABC和A’B’C’中

∠A=∠A’，∠B=∠B’，

∴ABCA’B’C’。

活动三：初步应用，达成目标

题组练习一：

1、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？

2、判断下列说法是否正确？并说明理由。

（1）所有的直角三角形都相似。()

（2）所有的等腰直角三角形都相似。()

（3）所有的等腰三角形都相似。()

（4）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似。()

（5）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似。()

（6）所有的等边三角形都相似。()

活动四：典例示范，应用拓广

例1、如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC。

（1）图中有哪些相等的角？

（2）找出图中的相似三角形，并说明理由。

（3）写出三组成比例的线段。

变式一：如图，当点D、E分别移动到边AB、AC的延长线上时，且DEBC，ADE与ABC相似吗？为什么？

变式二：如图，当点D、E分别移动到边BA、CA的延长线上时，且DEBC，ADE与ABC相似吗？为什么？

我们在刚才做练习时，要说明两个三角形相似的关键是什么？

变式三：如图，当DE不平行于BC时，ADE与ABC还可能相似吗？满足什么条件时可以相似？

题组练习二：

如图：AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯的长度吗？

【设计意图】：这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化。使学生创造性的将数学知识应用于实践，并在实践中获得创造的成功感。更重要的是学生的创造思维在实践中得到了锻炼，培养了学生数学建模的意识。

五：课堂小结，能力提升：

现在请同学们回顾一下，把你本节课的学习收获与小组成员交流一下，把你的疑问让小组成员帮你解决一下。

【设计意图】：这里通过小组交流方式小结本节知识，使学生领悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐步养成学习、总结的好习惯。

本节课我们从角的方面探究得到：两角对应相等的两个三角形是相似的。课后有兴趣的同学从边的方面探究一下，看边要满足什么条件两个三角形也可以相似。

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九年级数学《相似三角形的判定定理》教学反思

九年级数学《相似三角形的判定定理》教学反思

一、教材内容分析：

《相似三角形的判定定理1》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。

二、教学目标设置：

1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。

2、经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。

3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。

重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。

难点：三角形相似判定定理的探索和证明。

三、学生学情分析

学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。

四、教学过程：

活动一：创设情境，类比猜想

同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？

我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似三角形的判定。

设问、交流：

（1）探究三角形全等条件是从哪些方面去探究的？

（2）全等三角形的判定方法有几种？

（3）你认为探究三角形相似应该从哪些方面去探究？

（4）三角形全等最多需要几个条件？三角形相似最多需要几个条件？

活动二：活动探究，得出结论

我们首先从角开始探索：

1、探究：一角对应相等的两个三角形是否相似？得出结论：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件，一个角对应相等的三角形不一定相似。

2、探究：两角对应相等的两个三角形是否相似？

请同学们依据下列条件画三角形：

两人一组，一人画ABC，另一人画A1B1C1，使∠A=∠A1＝60°，∠B=∠B1＝45°。

画完后，思考：这两个三角形是否相似？为什么？

从而总结得出结论：

两角对应相等的两个三角形相似。

结合图形你能用符号语言描述吗？

符号表述：

在ABC和A’B’C’中

∠A=∠A’，∠B=∠B’，

∴ABCA’B’C’。

活动三：初步应用，达成目标

题组练习一：

1、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？

2、判断下列说法是否正确？并说明理由。

（1）所有的直角三角形都相似。()

（2）所有的等腰直角三角形都相似。()

（3）所有的等腰三角形都相似。()

（4）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似。()

（5）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似。()

（6）所有的等边三角形都相似。()

活动四：典例示范，应用拓广

例1、如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC。

（1）图中有哪些相等的角？

（2）找出图中的相似三角形，并说明理由。

（3）写出三组成比例的线段。

变式一：如图，当点D、E分别移动到边AB、AC的延长线上时，且DEBC，ADE与ABC相似吗？为什么？

变式二：如图，当点D、E分别移动到边BA、CA的延长线上时，且DEBC，ADE与ABC相似吗？为什么？

我们在刚才做练习时，要说明两个三角形相似的关键是什么？

变式三：如图，当DE不平行于BC时，ADE与ABC还可能相似吗？满足什么条件时可以相似？

题组练习二：

如图：AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯的长度吗？

【设计意图】：这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化。使学生创造性的将数学知识应用于实践，并在实践中获得创造的成功感。更重要的是学生的创造思维在实践中得到了锻炼，培养了学生数学建模的意识。

五：课堂小结，能力提升：

现在请同学们回顾一下，把你本节课的学习收获与小组成员交流一下，把你的疑问让小组成员帮你解决一下。

【设计意图】：这里通过小组交流方式小结本节知识，使学生领悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐步养成学习、总结的好习惯。

本节课我们从角的方面探究得到：两角对应相等的两个三角形是相似的。课后有兴趣的同学从边的方面探究一下，看边要满足什么条件两个三角形也可以相似。

相似三角形的判定1

相似三角形的判定（一）
教学目标：1．使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中，初步掌握相似三角形的判定定理，理解定理的证明方法，初步会运用定理来解决有关问题.
2．培养学生运用类比联想，猜想命题，再加以证明的研究问题的方法以及化归的思想.
3．通过观察、猜想、归纳、探究等数学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.
教学重点和难点：
重点：相似三角形的判定定理的理解和初步应用；
难点：相似三角形的判定定理的证明.
教学方法：自主探究与小组合作相结合

教学过程设计
一、创设情境，提出问题
请学生出示课前按要求剪好的三角形，教师利
用已知三角形模板验证两个三角形是否全等的同时
请学生回答他裁剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.
1．SAS；2．ASA；3．AAS；4．SSS。
在此基础上教师要求学生动手剪一个三角形与已知三角形相似.
学生可能马上利用平行线截一个三角形，教师要求学生说出这种裁剪方法的依据——预备定理.在肯定答案的同时提出，那么如何判断三角形相似呢？目前你掌握的方法有哪些？1．相似三角形的预备定理；2．定义教师提出：判定两三角形相似时，定义的条件过多，预备定理的使用要求具有局限性，那么是否还有其它的判定方法呢？本节课我们继续研究：相似三角形的判定（二）.你认为我们可以从哪儿入手研究呢？引导学生类比全等三角形的判定方法进行猜想.
学生类比联想，自主探究猜想相似三角形的判定方法：
1．利用投影展示一般三角形全等的判定定理
（1）ASA：
若∠A=∠A’,∠B=∠B’,，
则有△ABC≌△A’B’C’
（2）AAS：
若∠A=∠A’,∠B=∠B’,,则有△ABC≌△A’B’C’
3）SAS：
若,∠A=∠A’,则有△ABC≌△A’B’C’
4）SSS：
若，则有△ABC≌△A’B’C’
2．猜想相似三角形的判定方法
引导学生利用相似三角形与全等三角形的区别与联系，把上述全等三角形判定定理中比值为1改成比值为正数“k”，就可得到相似三角形的判定方法，得到猜想.
猜想一（类比角边角公理和角角边定理）
△ABC与△A’B’C’中，若∠A=∠A’,∠B=∠B’，则△ABC∽△A’B’C’.
猜想二（类比边角边公理）
△ABC与△A’B’C’中，若,∠A=∠A’,则有△ABC∽△A’B’C’.
猜想三（类比边边边公理）换元
△ABC与△A’B’C’中，若，则有△ABC∽△A’B’C’.
二、小组合作，探究新知
得到猜想后学生分组动手实践，进一步探究猜想的正确性。合作探究后，以猜想1为例分析证明思路.
猜想1．两角对应相等，两三角形相似。
已知：△ABC与△A’B’C’中，
∠A＝∠A’，∠B＝∠B’。
求证：△ABC∽△A’B’C’。
启发学生结合刚才的动手实践思考，若平移△A’B’C’得到△ADE，则可转化为预备定理的形式.如何实现平移是关键，在此可让学生集思广益阐述观点.
方法之一：由∠A=∠A’,∠B=∠B’，能实现上述平移.
证明法一：在AB上截取AD＝A’B’，且过点D作DE∥BC交AC于E.
∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠B’
∴∠B’＝∠ADE
又∵∠A＝∠A’，AD＝A’B’
∴△ADE≌△A’B’C’（ASA）
又∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，∴△ABC∽△A’B’C’
法二：截取AD＝A’B’且作∠ADE＝∠B’交AC于E.
证法：略
师生共同总结实现上述化归的思路：
（1）利用添加辅助线的方法将问题化归为相似三角形的预备定理（图中，DE∥BC则△ADE∽△ABC）.
（2）利用平移变换将证明三角形相似转化为证明三角形全等（图中△ADE≌△A’B’C’）.
利用上述思路，证明猜想，得到判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简记：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2，3的证明过程由学生仿照定理1的证明完成.请二人上黑板板演.
猜想证明完毕，让学生观察、对比三个定理的证明方法，在证明过程中是否有共性？证法的本质是什么？让学生深入思考，感受三个判定定理的证法本质是一样的，即：将相似三角形的判定利用平移的方法，化归为预备定理的形式，最终转化为判断两个三角形全等，区别就在于全等的证明方法不同.
请学生分别说出三个定理的推理形式且提出：如果不是“夹角”，结论是否仍然成立，请学生分析并举出反例.
在△ABC与△A’B’C’中，
已知∠B＝∠B’，
但△ABC不相似于△A’B’C’

三、实战演练，巩固新知
例在△ABC和△DEF中，
∠A=40,∠B=80,∠E=80,∠F=60.
求证：△ABC∽△DEF.
思考题：
如图，已知，在△ADC和△ACB中,
∠A=∠A,请你添加一个条件,
使△ADC∽△ACB。

四、复习小结，归纳新知
师生共同回忆并总结：
今天你有什么收获？
新知的获得采用了什么方法？——类比、转化
你还有困难与困惑吗？
教师根据学生的回答总结类比学习方法及转化思想的重要意义.

五、作业
整理课上定理证明.

六、板书设计：

九年级数学相似三角形

相似三角形专题复习

【课前热身】

1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．

2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．

3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（）

A．B．

C．D．

4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A．1B．2C．3D．4

【考点链接】

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

二、相似三角形的判定方法

1.若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2.射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．

3.两个角对应相等的两个三角形__________．

4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

5.三边对应成比例的两个三角形___________．

三、相似三角形的性质

1.相似三角形的对应边_________，对应角________．

2.相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．

【典例精析】

例1如图在△ABC中，AB=ACAD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP=PEPF

例2如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

例3如图,△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB＝0，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动。若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与△CBA相似？

例4如图，直线y=分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9

①求点P的坐标；

②设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。

【中考演练】

1.2010，宁德）图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

（2010，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为______米.

2.（2010，黔东南）如图，若为斜边上的高，的面积与的面积比的值是（）

A.B.C.D.

3.（2010，宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是_________________．（只填序号）

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

4．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．

5.（2010，肇庆）如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．

文章来源：//m.jab88.com/j/68310.html

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