数量积

2020-11-19 小学语文微课教案小学立定跳远教案

老师在新授课程时，一般会准备教案课件，大家应该开始写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，可以更好完成工作任务！你们会写适合教案课件的范文吗？下面是小编为大家整理的“数量积”，仅供您在工作和学习中参考。

课时11数量积综合练习
一、填空题：
1．已知，则=。
2．在中，，则=。
3．若，⊥，且2＋3与k－4互相垂直，则k的值为
4.若向量满足=，且，则与的夹角为
5.已知向量=，且单位向量与的夹角为，则的坐标为
6．若向量满足：，,，则与的数量积为．
7．若,，且与的夹角为，则。
8．下列命题中正确的是______
（1）（2）（3）（4）
9．如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则()的最小值是。
10．已知,，当时，=，
当时，=，当与的夹角为300时，=，
11．ABC中，且==，则形状是_________
12．设向量，，满足++=0，且（—），.若||=1，|=_________
13．在ABC中，，则O为ABC的__________心。
14．若向量=与=的夹角为钝角，则的取值范围是___________
二、解答题：
15．若向量满足，且，求。

16．已知,
(1)求的值；（2）求的夹角；（3）求.

17．已知向量，，且.
（Ⅰ）若,求函数关于的解析式；（Ⅱ）求（1）中的单调递减区间；（Ⅲ）求函数的最大值。

18．已知，与的夹角是45°；⑴求；⑵若与同向，且与垂直，求。

19．已知向量，其中为互相垂直的两个单位向量。
（1）求；（2）为何值时，向量垂直？
（3）为何值时，向量平行？

20．已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（），其中（1）若，求角的值；（2）若的值；

21.在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量与共线，当，且取最大值4，求

22.已知长方形ABCD，且E为BC的中点，P为AB上的一点，试用向量的知识解答：（1）判定P在什么位置时，PED=450？
（2）若PED=450，求证PDPE.

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平面向量的数量积

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”，仅供您在工作和学习中参考。

课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。

【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。

例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角

例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。

6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？

8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。

课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示；
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。

【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。

例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角

例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=

2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角

6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？

平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)，(5，2)
练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．
＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)(－)＝－7．
(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．
经检验，＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．
(2)＋x与－垂直，
(＋x)(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即x1x2＋yy1＝0．
又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．
＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴⊥，CP是AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．71，2，3，4，5．

高二数学向量的数量积013

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编为大家精心整理的“高二数学向量的数量积013”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

８．2（2）向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．
(3)“投影”的概念：
定义：叫做向量在方向上的投影．
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
(4)向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？
学生通过讨论，回答：一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？
分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量垂直的充要条件是．
２.例题分析
例1：化简:．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)
解：因为垂直，所以
化简得
即
由已知，可得
解得．
所以，当时，垂直．
例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
解：由①
②
两式相减：
代入①或②得：
设、的夹角为，则
∴=60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设,则;,则
则
，即∠ACB是直角．

三．巩固练习
1已知,(1)若∥,求；
(2)若与的夹角为60°，求；?
(3)若与垂直，求与的夹角．
2已知,向量与的位置关系为（）
A．平行B．垂直?C．夹角为D．不平行也不垂直
3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）
?A．2B．2?C．6D．12
4已知与是非零向量，则是与垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件?
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4
思考题
1已知向量与的夹角为，,则|+||-|=．
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．
3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．???
4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．
5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．