第十讲全等三角形
全等三角形是平面几何内容的基础,这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具,是解决与线段、角相关问题的一个出发点,运用全等三角形,可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.
利用全等三角形证明问题,关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形,这对基础的三角形从实质上来说,是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来,也可能是由几对三角形组成,其间的关系互相传递,应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形:
例题求解
【例1】如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AC=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正确的结论是(把你认为所有正确结论的序号填上).(广州市中考题)
思路点拨对一个复杂的图形,先找出比较明显的一对全等三角形,并发现有用的条件,进而判断推出其他三角形全等.
注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系,“对应’两字,有“相当”、“相应”的含意,对应关系是按一定标准的一对一的关系,“互相重合”是判断其对应部分的标准.
实际遇到的图形,两个全等三角形并不重合在一起,但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到,这种改变位置,不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换.
【例2】在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是()
A.1AB9B.3AB13C.5AB13D.9AB13
(连云港市中考题)
思路点拨线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边,通过中线倍长将分散的条件加以集中.
【例3】如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB
求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.
(江苏省竞赛题)
思路点拨(1)证明对应的两个三角形全等;(2)在(1)的基础上,证明∠PAQ=90°
【例4】若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系,并说明理由.
(“五羊杯”竞赛题改编题)
思路点拨运用全等三角形的判定和性质,探讨两角之间的关系,解题的关键是由高的特殊性,分三角形的形状讨论.
注有时图中并没有直接的全等三角形,,需要通过作辅助线构造全等三角形,完成恰当添辅助线的任务,我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程.
边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素,从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题,其中有真有假,课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素.
【例5】如图,已知四边形纸片ABCD中,AD∥BC,将∠ABC、∠DAB分别对折,如果两条折痕恰好相交于DC上一点E,你能获得哪些结论?
思路点拨折痕前后重合的部分是全等的,从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索,以获得更多的结论.
注例5融操作、观察、猜想、推理于一体,需要一定的综合能力.推理论证既是说明道理,也是探索、发现的逄径.
善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键,需要注的是,通常面临以下情况时,我们才考虑构造全等三角形:
(1)给出的图形中没有全等三角形,而证明结论需要全等三角形;
(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等,证明需要另行构造全等三角形.
学力训练
1.如图,AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高,且AB=A′B′,AD=A′D,若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件(只需要填写一个你
认为适当的条件).(黑龙江省中考题)
2.如图,在△ABD和△ACE中,有下列4个论断:①AB=AC;②AD=AC;③∠B=∠C;④BD=CE,请以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出).(海南省中考题)
3.如图,把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如图1.请在下图中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
4.如图,DA⊥AB,EA⊥AC,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,则∠DOE的度数是.
5.如图,已知OA=OB,OC=OD,下列结论中:①∠A=∠B;(②DE=CE;③连OE,则OE平分∠O,正确的是()
A.①②B.②③C.①③D.①②③
6.如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于()
A.DCB.BCC.ABD.AE+AC(2003年武汉市选拔赛试题)
7.如图,AE∥CD,AC∥DB,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有()对
A.5B.6C.7D.8
8.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C′,A′B′交AC于点D,已知∠A′DC=90°,求∠A的度数.(贵州省中考题)
9.如图,在△ABE和△ACD中,给出以下4个论断:①AB=AC;②AD=AE;③AM=AN;④AD⊥DC,AE⊥BE.以其中3个论断为题设,填人下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填人下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程.
已知:
求证:
(荆州市中考题)
10.如图,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,
求证:∠M=(∠ACB-∠B).(天津市竞赛题)
11.在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=.
12.如图,已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED.
(河南省竞赛题)
13.如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点F,给出3个论断:①DE=FE;②AE=CE;③FC∥AB,以其中一个论断为结论,其余两个论断为条件,可作出3个命题,其中正确命题的个数是.
(武汉市选拔赛试题)
14.如图,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,AD=4,BC=2,那么AB=.
15.如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则(m+n)与(b+c)大小关系是()
A.m+nb+cB.m+nb+cC.m+n=b+cD.不能确定
16.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,ABAD,下列结论中正确的是()A.AB-ADCB-CDB.AB-AD=CB—CD
C.AB—ADCB—CDD.AB-AD与CB—CD的大小关系不确定.
(江苏省竞赛题)
17.考查下列命题()
(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等;
(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;
(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;
(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等.
其中正确命题的个数有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
18.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=(AB+AD),求∠ABC+∠ADC的度数.(上海市竞赛题)
19.如图,△ABC中,D是BC的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
20.如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDC的面积.
(江苏省竞赛题)
21.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AF+CD.
(武汉市选拔赛试题)
22.(1)已知△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,BC=B′C′,∠BAC=∠B′A′C′=100°,求证:△ABC≌△A′B′C′;
(2)上问中,若将条件改为AB=A′B′,BC=B′C′,∠BAC=∠∠B′A′C′=70°,
结论是否成立?为什么?
19.2全等三角形的判定(2)
【教学目标】
1.使学生掌握SAS的内容,会运用SAS来判定两个三角形全等;
2.通过判定全等三角形的判定的学习,使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系,学习分析事物本质的方法;
3.经历如何总结出全等三角形判定方法,体会如何探讨、实践、总结,培养学生的合作能力.
【重点难点】
1.难点:三角形全等的判定:SAS;
2.重点:对全等三角形的判定的理解和运用.
【教学过程】
一、复习
1.什么叫全等图形?什么叫做全等三角形?
(能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形).
2.将全等的△ABC与△DEF重合,再沿BC方向将△DEF推移如图位置,问线段AD与BE数量关系怎样?BC与EF位置关系怎样?为什么?
[,BC∥EF
∵△ABC≌△DEF
∴
∴
∴
又∵△ABC≌△DEF
∴
∴BC∥EF]
3.已知:如图,,,,,求的大小.
[,,
∴△ACB≌△AED
∴
∴
∴
∴]
二、新授
1.引入;上一节课,我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况.情况如何呢?
(三条边对应相等两个三角形;三个角对应相等的两个三角形不一定全等)
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形会全等吗?-------这就是本节课我们要探讨的课题.
2.问题1:如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢?
(应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.)
每一种情况下得到的三角形都全等吗?
3.做一做
(1)如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边分别为和,它们的夹角为,你能画出这个三角形吗?你画的与同伴画的一定全等吗?
换两条线段和一个角试试,你发现了什么?
同学们各抒己见后总结:发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所画的三角形都是全等的.
这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法:
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为(S.A.S.)
你能用相似三角形的判定法来解释这种“SAS”判定三角形全等的方法吗?
(一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似,当相似比为1时,夹这个角的两边对应相等,这两个三角形的形状、大小都相同,即为全等三角形)
(2)如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边分别为和,长度为的边所对的角为,情况会怎样呢?
请画出这个三角形,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,由此你发现了什么?
(两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.)
4.范例
如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,试说明△ABD≌△ACD.
解已知AB=AC,∠BAD=∠CAD,又AD为公共边,由(S.A.S.)全等判定法,可知
△ABD≌△ACD
三、巩固练习
四、小结
学生谈收获、体会、疑惑后,进一步总结本节学习了三角形全等的判定的另一种SAS,而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,注意观察图形的特征,找出是否具备满足两个三角形全等的条件.
五、作业
三角形全等的判定
教学目标:
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.掌握三角形全等的“SAS”条件,能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
能力训练要求:
1.经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.
2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
情感与价值观要求
通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.
教学重点:
三角形全等的条件(SAS).
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
教学方法:探究式教学
教具准备:直尺,三角板,圆规,纸,剪刀
教学过程:
一、创设情境,复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.三角形全等的判定Ⅰ(SSS)的内容是什么?
4.三个角对应相等的2个三角形是否全等?举例说明。
二、导入新课
1.交流探究
已知任意△ABC,画△ABC,使AB=AB,AC=AC,∠A=∠A.
把画好的△ABC,剪下放在△ABC上,观察这两个三角形是否全等?
作法:(1)画∠DAE=∠A
(2)在射线AD上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC
(3)连接BC
用上述方法画出的△ABC与△ABC全等
在纸片上按上述方法作图,做好后让学生剪下,观察这两个三角形是否重合。
2.交流对话,获得新知
从中你得到什么结论?
边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
3.应用新知,体验成功
(1)如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点
求证:△ABE≌△ACF.
证明:∵F、E分别是AB、AC的中点
∴AF=ABAE=AC(中点的定义)
∵AB=AC
∴AF=AE
在△ABE和△ACF中
AF=AE
∠A=∠A(公共角)
AB=AC
∴△ABE≌△ACF.(SAS)
(2)例2如图有一池塘要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
分析:如果能证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE
证明:在△ABC和△DEC中
CD=CA
∠ACB=∠DCE(对顶角相等)
CB=CE
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等)
总结:证明分别属于两个三角形的线段或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决。
(3)再次探究,释解疑惑
我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
教师用直尺和圆规搭建一个简易模型,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
三.巩固练习
课本P10页练习第1,2题
四、课时小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
五.布置作业
课本P15习题11.2第3,4题
文章来源:http://m.jab88.com/j/49671.html
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