高二数学教案:《不等式的解法举例》教学设计
教学目标
(1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式;
(2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;
(3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解;
(4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想;
(5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣.
教学建议
一、知识结构
本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为:
教学设计示例
分式不等式的解法
教学目标
1.掌握分式不等式向整式不等式的转化;
2.进一步熟悉并掌握数轴标根法;
3.掌握分式不等式基本解法.
教学重点难点
重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化
教学方法
启发式和引导式
教具准备
三角板、幻灯片
教学过程
1.复习回顾:
前面,我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法,还了解了数轴标根法的解题思路,本节课,我们将继续研究分式不等式的解法.
2.讲授新课:
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。关于好的高中教案要怎么样去写呢?下面是小编精心为您整理的“不等式的解法”,希望能对您有所帮助,请收藏。
6.5不等式的解法(二)
●知识梳理
1.|x|>ax>a或x<-a(a>0);
|x|<a-a<x<a(a>0).
2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.
3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.
4.绝对值不等式的性质:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考讨论
1.在|x|>ax>a或x<-a(a>0)、|x|<a-a<x<a(a>0)中的a>0改为a∈R还成立吗?
2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?
●点击双基
1.设a、b是满足ab<0的实数,那么
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.
答案:B
2.不等式|2x2-1|≤1的解集为
A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2}D.{x|-2≤x≤0}
解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.
∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.
答案:A
3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)
解析:∵x>0,x与log3x异号,
∴log3x<0.∴0<x<1.
答案:A
4.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.
解析:要使a≤对x取一切负数恒成立,
令t=|x|>0,则a≤.
而≥=2,
∴a≤2.
答案:a≤2
5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(-,),则t=____________.
解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,
2t-1<2x<1,t-<x<.
∴t=0.
答案:0
●典例剖析
【例1】解不等式|2x+1|+|x-2|>4.
剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=-,x2=2.
解:当x≤-时,原不等式可化为
-2x-1+2-x>4,
∴x<-1.
当-<x≤2时,原不等式可化为
2x+1+2-x>4,
∴x>1.又-<x≤2,
∴1<x≤2.
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2>4,∴x>.
又x>2,∴x>2.
综上,得原不等式的解集为{x|x<-1或1<x}.
深化拓展
若此题再多一个含绝对值式子.如:
|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4,你又如何去解?
分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,
得x1=-,x2=1,x3=2.
解:当x≤-时,原不等式化为
-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<-.
当-<x≤1时,原不等式可化为
2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).
当1<x≤2时,原不等式可化为
2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.
又1<x≤2,
∴1<x≤2.
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2+x-1>4,∴x>.
又x>2,∴x>2.
综上所述,原不等式的解集为{x|x<-或x>1}.
【例2】解不等式|x2-9|≤x+3.
剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用|x|≤a-a≤x≤a去绝对值.
解法一:原不等式(1)或(2)
不等式(1)x=-3或3≤x≤4;
不等式(2)2≤x<3.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
解法二:原不等式等价于
或x≥2x=-3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
【例3】(理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2.
解:(1)当a=0时,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
当a≠0时,f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.
故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).
∴f(x)是非奇非偶函数.
(2)由题设知x|x-a|≥2a2,
∴原不等式等价于①
或②
由①得x∈.
由②得
当a=0时,x≥0.
当a>0时,
∴x≥2a.
当a<0时,
即x≥-a.
综上
a≥0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};
a<0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.
(文)设函数f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式≤1的解集.
解:|ax+2|<6,
∴(ax+2)2<36,
即a2x2+4ax-32<0.
由题设可得
解得a=-4.
∴f(x)=-4x+2.
由≤1,即≤1可得≥0.
解得x>或x≤.
∴原不等式的解集为{x|x>或x≤}.
●闯关训练
夯实基础
1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使AB成立的实数a的取值范围是
A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}
C.{a|3<a<4}D.
解析:由题意知得3≤a≤4.
答案:B
2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.
解析:-3<x2+2x<3,即
∴-3<x<1.
答案:-3<x<1
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一:|x+2|≥|x|(x+2)2≥x24x+4≥0x≥-1.
解法二:在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.
解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.
答案:{x|x≥-1}
评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.
4.当0<a<1时,解关于x的不等式a<ax-2.
解:由0<a<1,原不等式可化为>x-2.
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.①
或②
解不等式组①得解集为{x|≤x<2},
解不等式组②得解集为{x|2≤x<5},
所以原不等式的解集为{x|≤x<5}.
5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若|x1|+|x2|=2,求m的值.
解:x1、x2为方程两实根,
∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.
∴m≥或m≤.
又∵x1x2=>0,∴x1、x2同号.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.
于是有2|m-1|=2,∴m=0或2.
∴m=0.
培养能力
6.解不等式≤.
解:(1)当x2-2<0且x≠0,即当-<x<且x≠0时,原不等式显然成立.
(2)当x2-2>0时,原不等式与不等式组等价.
x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.
∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,
即x≤-2或x≥2.
∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(-,0)∪(0,)∪[2,+∞).
7.已知函数f(x)=的定义域恰为不等式log2(x+3)+logx≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.
解:由log2(x+3)+logx≤3得
x≥,
即f(x)的定义域为[,+∞).
∵f(x)在定义域[,+∞)内单调递减,
∴当x2>x1≥时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1-+2)-(ax2-+2)>0a(x1-x2)-(-)>0
(x1-x2)(a+)>0恒成立.
∵x1<x2,∴(x1-x2)(a+)>0
a+<0.
∵x1x2>->-,
要使a<-恒成立,
则a的取值范围是a≤-.
8.有点难度哟!
已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:
(1)f(0)=f(1);
(2)|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;
(3)|f(x1)-f(x2)|<;
(4)|f(x1)-f(x2)|≤.
证明:(1)f(0)=c,f(1)=c,
∴f(0)=f(1).
(2)|f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.
∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2).
∴-1<x1+x2-1<1.
∴|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.
(3)不妨设x2>x1,由(2)知
|f(x2)-f(x1)|<x2-x1.①
而由f(0)=f(1),从而
|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤|f(x2)-f(1)|+|f(0)-
f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1.②
①+②得2|f(x2)-f(x1)|<1,
即|f(x2)-f(x1)|<.
(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f()=.
探究创新
9.(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:||>1;
(2)求实数λ的取值范围,使不等式||>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若||<1,求b的取值范围.
(1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).
∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
=>1.
(2)解:∵||>1|1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a2λ2-1<0成立;
当a≠0时,要使λ2<对于任意满足|a|<1的a恒成立,而>1,
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)||<1()2<1(a+b)2<(1+ab)2a2+b2-1-a2b2<0(a2-1)(b2-1)<0.
∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1<b<1.
●思悟小结
1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.
2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.
●教师下载中心
教学点睛
1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.
2.无理不等式在新课程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.
3.指数、对数不等式能利用单调性求解.
拓展题例
【例1】设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.
证明:(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.
(2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).
由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.
又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,
因此抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0.
∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,
即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,帮助教师营造一个良好的教学氛围。那么,你知道教案要怎么写呢?下面是小编为大家整理的“课题:不等式解法举例(第四课时)”,相信您能找到对自己有用的内容。
课题:不等式解法举例(第四课时)授课教师:石家庄市第一中学张海江
教学目的
1.掌握指数与对数不等式的解法;2.掌握简单的无理不等式的解法。(例5以后可不讲)
教学难点
指数与对数不等式中单调性的使用
知识重点
指数与对数不等式的解法
教学过程
教学方法和手段
引入
复习前面学过的不等式的解法概念分析及例题讲解
一.指数和对数不等式指数不等式和对数不等式一般情况下是利用函数的单调性或其他相关变换思想将指数不等式和对数不等式的求解问题转化为代数不等式问题来解。解指数不等式和对数不等式除了应用不等式的基本解法外,还要应用指数、对数函数的性质。【例1】解下列不等式:(1)(2)答案:(1)(2)【例2】解下列不等式:(1)(2)答案:(1)当时,不等式的解集为(2)当时,不等式的解集为小结:例1,例2是利用指数和对数函数的单调性解题。【例3】解下列不等式:(1)(2)答案:(1)(2)当a1时,解集为当0a1时,解集为小结:例3是利用代换法解题的。二.简单的无理不等式
1.形如不等式解法:【例4】解不等式解:>等价于即∴原不等式的解集是{x|x≥3}.小结:
小结与作业
课堂小结
1.解指数或对数不等式的方法:(1)利用单调性(2)利用代换2.简单无理不等式的解法。
本课作业
1.解不等式2.解不等式3.解不等式4.解不等式
课后反思
古人云,工欲善其事,必先利其器。高中教师要准备好教案,这是高中教师的任务之一。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?下面是由小编为大家整理的“课题:不等式的解法举(2)”,相信能对大家有所帮助。
课题:不等式的解法举(2)教学目的:
1.对含有参数的一元一次和一元二次不等式,能正确地对参数分区间讨论;
2.进一步熟悉并掌握数轴标根法;
3.掌握分式不等式和高次不等式基本解法4.要求学生能正确地解答无理不等式
教学重点:分式不等式和高次不等式解法
教学难点:正确地对参数分区间讨论
授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:一、复习引入:
一元一次与一元二次不等式
1.解不等式:
2.解不等式组:()
3.解不等式:
4.解不等式:
5.解不等式:
二、讲解新课:
1.含有参数的不等式
2.分式不等式与高次不等式
3.无理不等式:
4.指数不等式与对数不等式
三、讲解范例:
例1解关于x的不等式
解:将原不等式展开,整理得:
讨论:当时,
当时,若≥0时;若0时
当时,
例2关于x的不等式对于恒成立,求a的取值范围.
解:当a0时不合,a=0也不合
∴必有:
例3解不等式
解:原不等式等价于
即
∴
例4k为何值时,式恒成立
解:原不等式可化为:
而
∴原不等式等价于
由得1k3
例5⑴解不等式
解:∵根式有意义∴必须有:
又有∵原不等式可化为
两边平方得:解之:
∴
⑵解不等式
解:原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:
Ⅰ:Ⅱ:
解Ⅰ:解Ⅱ:
∴原不等式的解集为
⑶解不等式
解:原不等式等价于
特别提醒注意:取等号的情况
例6解不等式
解:原不等式可化为:
即
解之或
∴x2或∴不等式的解集为{x|x2或}
例7解不等式
解:原不等式等价于或
解之得4x≤5
∴原不等式的解集为{x|4x≤5}
四、课堂练习:解下列不等式
1.
2.
3.()s
4.
5.
6.解关于x的不等式:
解:原不等式可化为
当a1时有
(其实中间一个不等式可省)
当0a1时有
∴当a1时不等式的解集为;
当0a1时不等式的解集为
7.解关于x的不等式
解:原不等式等价于
Ⅰ:或Ⅱ:
解Ⅰ:解Ⅱ:∴
当a1时有0xa当0a1时有xa
∴原不等式的解集为{x|0xa,a1}或{x|xa,0a1}
8.解不等式
解:两边取以a为底的对数:
当0a1时原不等式化为:
∴∴
当a1时原不等式化为:
∴
∴∴
∴原不等式的解集为
或
五、小结:
六、课后作业:1.k为何值时,不等式对任意实数x恒成立
2.求不等式的解集
3.解不等式
4.求适合不等式的x的整数解(x=2)
5.若不等式的解为,求的值6.
(当a1时当0a1时)
7.(-2x1或4x7)
8.(-1x3)
9.
10.当,求不等式:(ax1)
11.,求证:
12.(-1x0)
13.时解关于x的不等式
(;;)
七、板书设计(略)八、课后记:
文章来源:http://m.jab88.com/j/49639.html
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