俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编为大家整理的“三角函数模型的简单应用案例探究”，希望对您的工作和生活有所帮助。

三角函数模型的简单应用
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●难点磁场
(★★★★★)已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.
●案例探究
［例1］在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.
知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.
错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.
技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACBcos30°－cosACBsin30°.
在△ACD中，据正弦定理得，
∴
答：此时船距岛A为千米.

［例2］已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域.
命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.
错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.
技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意||的范围.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.
(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
=，若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.
参考答案
难点磁场
解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.
设α=，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依题设条件有
整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)
(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，
∴2cosα－=0.从而得cos.
解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°
①，把①式化为cosA+cosC=－2cosAcosC②，
利用和差化积及积化和差公式，②式可化为
③，
将cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：
④
将cos(A－C)=2cos2()－1代入④：4cos2()+2cos－3=0，(*)，

扩展阅读

高二数学三角函数模型的简单应用

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“高二数学三角函数模型的简单应用”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.6三角函数模型的简单应用
教学目的
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题
3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
4、略（学生看书）
二、应用举例：
例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(wx＋j)＋b
(1)求这一天6~14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.

本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.
本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
练习：教材P65面1题
例3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为q，d为此时太阳直射纬度，j为该地的纬度值，那
么这三个量之间的关系是q＝90－|j－d|.当地夏半年d取正值，冬半年d取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午
的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通
常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节
每天的时间与水深的关系表：
时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米
0:005.09:002.518:005.0
3:007.512:005.021:002.5
6:005.015:007.524:005.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值
(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船
底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3
米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的“思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
练习：教材P65面3题
三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
四、作业《习案》作业十四及十五。
补充例题：
一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2)P点第一次达到最高点约要多长时间?

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

教学目标：

1、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

2、巩固三角函数的有关知识，会初步利用图象解三角不等式，巩固二分法求相应方程近似解。

3、培养学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

教学重点：

用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题

教学难点：

对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。

教学媒体：几何画板

教学流程：

给出出港口水深数据，提出问题

根据散点图形特征，选择适当的函数拟合

求解函数模型

利用函数模型解决实际问题

反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想

教学过程：

1．情景展示，新课导入

2．问题提出，探究解决

【师】若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？

【生】水深情况。

【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。

请同学们看下面这个问题。

问题探究1：如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表：

时间

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？

小组合作发现，代表发言。可能结果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）

安全水深，即：

，

讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）

通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程

数形结合，二分法求近似解：

由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间

实际水深

安全水深

是否安全

6．0

5米

4．3米

安全

6．5

4．2米

4．1米

较安全

7．0

3．8米

4．0米

危险货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）

从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（学生讨论）

可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。

问题探究4：若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？---探究3的变式（学生课后探究）

3．课时小结，认识深化

（师生一起归纳）

3-1回顾整个探究过程，经历了第一阶段：收集数据-----画散点图

第二阶段：根据图象特征---选模、求模、验模

第三阶段：函数模型应用

3-2在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：

（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；

（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；

（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；

（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。

4．教师演示激发学生思考并进一步探究：生活中哪些现象与三角函数模型有关？-----周期性

5．作业布置，延时探究

4-1电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。

4-2请调查我们杭州某个地区的每天的用电情况，制定一项“消蜂平谷”的电价方案。

4-3一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。

高二数学三角函数模型的简单应用32

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高二数学三角函数模型的简单应用32”，仅供参考，大家一起来看看吧。

4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的“思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题
例题：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
【情态与价值】
一、选择题
1.初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（）
A.B.C.D.
2.当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（）
A．B.C.D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（）
A．B.C.D.
二、填空题
4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.
三、解答题
6.三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，，求
7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少?

高中数学必修四1.6三角函数模型的简单应用导学案

1.6三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
【新知自学】
知识回顾：
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．

新知梳理：
1、创设情境、激活课堂
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。

2、结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．
(1)y＝|sinx|的周期是________；
(2)y＝|cosx|的周期是________；
(3)y＝|tanx|的周期是________；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是__________；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是__________．

对点练习：
1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin100πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()
A.150sB.1100s
C．50sD．100s

2．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6等于()
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3

3.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()

【合作探究】
典例精析：
题型一、由图象探求三角函数模型的解析式
例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式

变式练习：
某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数来刻画，试求该函数表达式。

题型二、由解析式作出图象并研究性质
例2．画出函数的图象并观察其周期．

变式练习：
的周期是．
的周期是．
的周期是．

规律总结：
利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：
∴的周期是．（体现数形结合思想！）

题型三、应用数学知识解决实际问题
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

变式练习：
交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．

【当堂达标】
1、据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()
A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
2、如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
3、如图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象．
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？

【课时作业】
1、函数y＝2sinm3x＋π3的最小正周期在23，34内，则正整数m的值是________．

2．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．

3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于________．

4、如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.

5.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

【延伸探究】
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

文章来源：http://m.jab88.com/j/37752.html

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