一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的消化课堂内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。教案的内容具体要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“超导极其应用”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

从导电性的角度，我们把材料分为导体、绝缘体，还有半导体。那么，还有没有导电性更为奇特的材料呢？

§14~3超导极其应用

【教学目的】
1、知道什么是超导现象，了解相关名词
2、了解超导的历史，知道一些重要的物理事件
3、知道超导的应用，激发勇于探索前沿科技的精神
【教学重点】
超导现象和应用
【教学难点】
转变温度TC和材料的必然联系
【教具】
投影仪
【教学过程】
○、复习＆引入
金属导体的电阻率一般都会随着温度的升高而升高，随着温度的降低而降低，当温度降到足够低的时候，情形会怎样呢？
前面我们从理论的角度解释电阻定律时曾经说过，促使电子定向移动的因素是什么？——☆学生：电场力。制约电子定向移动的微观因素是什么？——☆学生：电子的热运动。
那么我们是不是可以这样认为，当温度足够低，热运动很微弱的时候，电子受到的阻碍作用会非常非常小呢？
下面大家从事实的角度、历史的角度、材料的角度，还有应用的角度阅读一下教材P156~157的内容，阅读完毕后，请同学们作相关的总结——
☆学生阅读…
★学生总结——
一、超导现象
超导现象：大多数金属在温度降到某一数值时，都会出现电阻突然降为零的现象
转变温度：导体由常态转变成超导状态的温度，用TC表示。
*两种类型的超导体：a、常规金属超导体；b、合金超导体，有两各转变温度，而且在两个转变温度之间，磁效应和电效应会出现“不一致”的情形。
二、超导的历史
年份科学家材料转变温度TC
1911（荷）昂尼斯汞4.2K
至1986上半年23K
1986年7月镧钡铜氧化物35K
1987年2月美、中钇钡铜氧化物90K
1992年初125K
*三、超导的相关研究
1、迈斯纳效应
把温度TTc的超导体放入磁感应强度为B0BC的外磁场中，超导体内部的磁应强度等于0；如果是在TTc时，加B0BC的外磁场，再降温到TC以下时，超导体内的磁感应强度B也变为0，即磁场被“排挤”出超导体外．这表明超导体是“完全抗磁体”，超导体的完全抗磁效应是迈斯纳和奥森费尔德在1933年发现的，现在称为迈斯纳效应。
2、约瑟夫森效应（超导隧道效应）
1962年，英国剑桥大学的研究生约瑟夫森从理论上预言：当两块超导体（S）之间用很薄（10~30）的氧化物绝缘层（I）隔开，形成S－I－S结构，将出现量子隧道效应．这种结构称为隧道结，即使在结的两端电压为0时，也可以存在超导电流．这种超导隧道效应现在称为约瑟夫森效应．约瑟夫森从结论上证明超导隧道结的一些奇特性质．例如，当两端电压V不等于0时，会出现一个高频振荡的超导电流，它的频率f满足关系式
f=V
其中e为基本电荷，h为普朗克恒量．这时隧道结好像一根能辐射电磁波的天线；反之，当频为f1的外界电磁波辐射到结上时，它的能量会被结吸收，从而在直流I-V曲线上引起一系列电流台阶，如右图所示，其中第n个台阶处的电压满足关系式．
Vn=f1
约瑟夫森的预言不久就被实验证实，这为一门新学科超导电子学奠定了基础，他因此而获得1973年诺贝尔物理学奖．
3、同位素效应
1950年，麦克斯韦和雷诺等人用实验证明，临界温度TC与样品的同位素质量M有关，M越大，TC越低，其关系可以用近似公式TC=常数来表示，这说明超导现象的形成与原子核的质量有关。
4、超导体比热在临界温度的不连续性
实验表明，超导体在临界温度TC时，比热发生不连续的变化，超导态的比热大于正常态的比热，但从正常相变为超导相时，没有吸收或放出潜热，这称为第二类相变。
四、超导的应用
1、优越的超导电机
普通发电机组中的材料载流量十分有限，由于电路中有电阻，总要发热，因此既不经济又不安全。用超导体制造电机，完全不发热，可以提高载流量，据专家计算，用超导体制作电机，功率可以提高几十倍。
2、省电的超导电路
普通的电路由于输电线的耗能严重，必须经过升压、降压的程序，而且也不可能作到完全不损耗。超导体导线则能完全解决这个问题。
3、精密的超导仪器
一些精密的仪器，如核磁共振仪、电子显微镜等对磁场有非常严格的要求（强度要高、稳定性要高、磁感线分布要理想，有时还要求很大的尺寸），普通的材料很难达到要求，超导则能解决这个问题。
4、神速的超导计算机
把超导体应用于计算机将会迎来科学史上的一次重大革命。理论研究表明：应用约瑟夫森效应制成超导器件，其开关速度可以比当前使用的半导体集成电路快十几~二十几倍，而且它消耗的电能只有现在普通计算机的1%。
5、超导磁悬浮列车
在超导磁悬浮列车的研究中走在最前列十日本。1962年，日本着手设计磁悬浮列车，但当时是利用正常导体产生的磁场时速达到307.8km/h，1997年，日本又试制了超导磁悬浮列车，关键部分是由两组超导电磁铁构成的，它们能提供极强的磁场，使列车的速度达到500km/h。
四、小结
本节讲了超导的概念、名词，相关的物理学史，展望了超导的应用前景。值得注意的是，超导是一门前沿科学，还不是很成熟。大家通过学习也看到了，超导要真正走上产业化，道路还比较漫长，所以还有待我们积蓄实力、挑战未来。希望同学们树立远大志向，争取能够在不久的将来改写历史。
五、作业布置
阅读教材；
上网查询有关超导的内容；
《学海导航——物理（下）》P7~8“巩固提升”A组，做在书上
【板书设计】
见带框字符，即是板书计划。
【教后感】

【阅读】
◎磁场对超导体的影响◎
磁场对超导体的影响与超导体的材料有关．
（1）外加磁场强度超过一定值时，可以破坏超导电性．破坏超导体所需的最小磁场叫临界磁场．其磁感应强度用BC表示，用BC0表示绝对零度时的临界磁场，则大多数金属超导体的临界磁场BC与温度T的近似关系是：
（3）磁致超导性．1962年，物理理论家VJacarino和MPetar预言，可能在某些物质中会发生与外磁场破坏超导性相反的情形，用磁场可诱发超导状态．二十年后，日内瓦大学的Fischer和他的同事们用铕化合物制造出一系列磁致超导体，他们所得到的材料的性质，与理论预言精确地符合。

相关阅读

导数及其应用

第三章导数及其应用

知识体系总览
3.1导数的概念
知识梳理
1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。
2.瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限趋近于0时，平均速度的极限称为在时刻的瞬时速度，记作v==。求瞬时速度的步骤为：
(1)设物体的运动方程为；
(2)先求时间改变量和位置改变量
(3)再求平均速度
(4)后求瞬时速度：瞬时速度v==.
3.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数＝．
4.上点（）处的切线方程为;
3.1.1问题探索求自由落体的瞬时速度
典例剖析
题型一平均速度
例1．已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度（）。
分析：先求出，再求出，即为各段时间内的平均速度。
解：设指时间改变量；=指路程改变量。
则=；
所以t从3秒到3.1秒平均速度；
t从3秒到3.001秒平均速度；
t从3秒到3.0001秒平均速度；
评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度随变化而变化。
题型二瞬时速度
例2.以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为求物体在时刻t=m处的瞬时速度。
分析：先求出平均速度,求瞬时速度。
解：
所以物体在时刻m处的瞬时速度。
评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.
备选题
例3：设函数，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
解：（1）
（2）
（3）
评析：本题也可以由直接求解。

点击双基
1.在求平均变化率中，自变量的增量（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
解：故选D
2.一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度为：（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
解：平均速度===，故选D
3、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（）
A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－
解:==Δx+2，故选C
4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3,则物体的初速度是
解：平均速度==2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.
5.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是
解：

课外作业：
一．选择题
1、若质点M按规律运动，则秒时的瞬时速度为（）
A．B．C．D．
解：，故选C
2、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（）
A0B3C－2D
解：，故选B
3、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
ABCD
解：=，故选D
4、物体的运动方程是，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()
A．1B．2C．3D．4
解：，故选B
5、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（）
A．3米/秒B．2米/秒C．1米/秒D．4米/秒
解：，故选C
6、在曲线的图象上取一点（1,）及附近一点，则为（）
ABCD
解：=，故选C

7.．物体的运动规律是，物体在时间内的平均速度是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．当时，
解：由平均变化率知故选B
8.将边长为8的正方形的边长增加a,则面积的增量S为（）
A．16aB.64C.+8D.16a+a
解：S=S（8+a）-S（8）=（8+a-=16a+a故选D
二．填空题：
9、已知一物体的运动方程是，则其在________时刻的速度为7。
解：
10.物体运动方程y=+3x，则物体在时间段上的平均速度为＿＿＿＿＿＿
解：平均速度==9
11、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是＿＿＿＿＿＿
解：==4;所以瞬时变化率是。
三解答题：
12、环城自行车比赛运动员的位移与比赛时间满足（
求。
解

13.设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体在运动第5秒末的速度。
解：
14、求函数y=-+4x+6在x=2时的瞬时变化率
解：平均变化率==-2x+4-
当x趋于0时,瞬时变化率为-2x+4,x=2,瞬时变化率为0.

思悟小结
求瞬时速度的步骤：
1．设物体的运动方程为；
2.先求时间改变量和位置改变量
3.再求平均速度
4.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v，即为瞬时速度。

函数的应用

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“函数的应用”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.3函数的应用（Ⅰ）
一．学习目标：１．进一步巩固函数模型在实际中的应用；２．掌握应用题的解答步骤；
３．掌握数学建模的基本思路；
二．上节回顾：１．函数模型：２．数学建模步骤：
三．典例分析：
例1：（见课本第67页例4）
变式训练：南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）
需求量吨
403837.13632.830
价值千元/吨22.42.62.83.44

价值千元/吨22.53.24.4655.3
供应量吨
293236.340.944.647

（1）试写出描述芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式；
（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡）（近似到吨）.

例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房公基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，假设办法如下表：
每月工资公积金
100元以下不交纳
100元至200元交纳超过100元部分的5％
200元至300元100元至200元部分交纳5％，
超过200元部分交纳10％
300元以上100元至200元部分交纳5％，
200元至300元部分交纳10％，
300元以上部分交纳15％
设职工每月工资为元，交纳公积金后实得工资为元，求与之间的关系式．

变式练习：《国务院关于修改＜中华人民共和国个人所得税法实施条例＞的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税率表示如下：
级数全月应纳税所得额税率
1不超过500元的部分5%
2超过500元至2000元的部分10%
3超过2000至5000元的部分15%
………
9超过10000元的部分45%
注：本表所称全月应纳税所得额每月改入额减去2000元的余额.
若个人月收入额为元，应缴税费为元，当时，写出与之间的函数关系式.
例3．向高为的水瓶注水，注满为止，如果注水量与水深的函数亲系的图象如
图所示，那么水瓶的形状是（）

变式练习：如右图高为的圆形被高度为的水平线截
得阴影面积为，则的图象大致是（）

限时训练：
1．甲、乙两学生在操场上煅炼身体，操场一圈300米，甲学生以速度跑第一圈，然后以速度走完第二圈，而乙学生以速度走完第一圈，然后以速度跑第二圈，则能反映出两人时间与路程的函数图象是（粗线是甲的图象）（）
2．某工厂八年来某种产品总产量与时间（年）的函数关系如右图，下列四种说法：
○1前三年中产量增长速度越来越快；
○2前三年中产量增长速度越来越慢；
○3第三年后，这种产品停止生产；
○4第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是＿＿＿＿＿＿．
3．如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止.
（１）若水量V与水深ｈ的函数图象是下图的（ａ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（２）若水深ｈ与注水时间ｔ的函数图象是下图的（ｂ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（３）若注水时间ｔ与水深ｈ的函数图象是下图的（ｃ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（４）若水量V与注水时间ｔ的函数的图象是下图中的（ｄ），则水瓶的形状是＿＿．

4．某市一种出租车标价为1.2元/ｋｍ，但事实上的收费标准如下：最开始4ｋｍ内不管车行驶路程多少，均收费10元（即起步费），4ｋｍ后到15ｋｍ之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元。试写出收费金额与打车路程之间的函数关系（其他因素产生的费用不计）

5.机车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油（升）与它工作的时间（小时）之间的函数关系的图象是（）

6．下图中的折线为甲地向乙地打长途电话所需付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系图象.当时，该图象的解析式为_______________;从图象可知，通话2分钟需付电话费__________元；通话7分钟需付电话费__________元.

7．如图所示，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D点再回到A点，设x表示P点的行程，y表示线段PA的长，求出y关于x的函数关系式.

8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中ｘ为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）
（A）45.606万元（B）45.6万元（Ｃ）45.56万元（D）45.51万元
９．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中ｘ是仪器的月产量．
（１）将利润表示为月产量的函数；
（２）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收入＝总成本＋利润）

应用举例教案

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？以下是小编为大家收集的“应用举例教案”欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

教学设计
整体设计
教学分析
本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．
本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．
本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．
三维目标
1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．
2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．
重点难点
教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．
教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．
思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？
2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？
3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？
4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？
5解决实际问题的一般程序是什么？
活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．
对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？
图1
图2

教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．
在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．
讨论结果：
(1)～(4)略．
(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．
应用示例
例1(教材问题1)
活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．
点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3m的误差，可让学生分析误差产生的原因．
变式训练
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)
解：如下图，在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，BCsinα－β＝ABsin90°＋β，
所以AB＝BCsin90°＋βsinα－β＝BCcosβsinα－β.
解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsinα－β.将测量数据代入上式，得
BD＝27.3cos50°1′sin54°40′sin54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)，
CD＝BD－BC≈177－27.3≈150(m)．
答：山的高度约为150m.
例2(教材问题2)
活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．
点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？
变式训练
如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()
A．α，a，bB．α，β，a
C．a，b，γD．α，β，b
答案：C
解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.

例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.
活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．
解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，
根据正弦定理，BCsinA＝ABsinC，BC＝ABsinAsinC＝5sin15°sin10°≈7.4524(km)，
CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)．
答：山的高度约为1047m.
点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．
知能训练
1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记C点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河宽为__________m.
答案：20(3＋3)
解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，知
ABsin∠ACB＝ACsin75°，
∴AC＝sin75°sin60°120＝20(32＋6)．
在Rt△ACD中，CD＝ACsin45°＝20(3＋3)，
即河的宽为20(3＋3)m.
2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________.
答案：156米
解析：在△DBC中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，
∴BC＝30sin30°sin135°＝152.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝152×3＝156(米)，
即塔高为156米．
课堂小结
先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？
在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．
作业
课本本节习题1—2A组1、2、3.
设计感想
本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．
本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．
通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．
备课资料
一、拓展资源
1．利用余弦定理证明正弦定理
在△ABC中，已知a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，求证：asinA＝bsinB＝csinC.
证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝b2＋c2－a22bc，
∴sin2A＝1－cos2A＝1－b2＋c2－a222bc2＝2bc2－b2＋c2－a222bc2
＝2bc＋b2＋c2－a22bc－b2－c2＋a24b2c2＝b＋c＋ab＋c－aa＋b－ca－b＋c4b2c2.
∴a2sin2A＝4a2b2c2a＋b＋c－a＋b＋ca＋b－ca－b＋c.
记该式右端为M，同理可得b2sin2B＝M，c2sin2C＝M，
∴a2sin2A＝b2sin2B＝c2sin2C.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
2．如图，P为△ABC内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，求证：1sin2θ＝1sin2A＋1sin2B＋1sin2C.
证明：在△PAC中，由正弦定理，得APsinθ＝bsin∠APC.
∴∠APC＝180°－θ－(A－θ)＝180°－A.
∴APsinθ＝bsinA.
从而S△PAB＝12cAPsinθ＝12cbsinθsinAsinθ＝12bcsinAsin2θsin2A＝S△ABCsin2θsin2A.
同理可得S△PBC＝S△ABCsin2θsin2B，S△PCA＝S△ABCsin2θsin2C.
相加后即得S△ABC＝S△ABC(sin2θsin2A＋sin2θsin2B＋sin2θsin2C)．
∴1sin2θ＝1sin2A＋1sin2B＋1sin2C.
二、备用习题
1．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为()
A．20(1＋33)mB．20(1＋3)m
C．10(6＋2)mD．20(6＋2)m
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()
A．a，c，αB．b，c，α
C．c，α，βD．b，α，β

3．如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于()
A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－α
C.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α

4．如图，有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()
A．5mB．10mC．102mD．103m

5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)

6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.
参考答案：
1．B解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.
∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，
∴MD＝20，AM＝20，CM＝203.
∴CD＝20(1＋3)(m)．
2．D解析：由α，β，b可利用正弦定理求出BC.
3．B解析：在△ABC中，CD＝a，∠DAC＝β－α，
由正弦定理，得asinβ－α＝ACsinα，
∴AC＝asinαsinβ－α.
在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝asinαsinβsinβ－α.
4．C解析：在△ABC中，由正弦定理，可知xsin45°＝10sin30°，∴x＝102m.
5．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000m，∠ACD＝45°，
由正弦定理，有AD＝CDsin45°sin60°＝63CD.
同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000，∠BCD＝30°.
由正弦定理，有BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.
又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，
根据勾股定理，得
AB＝AD2＋BD2＝632＋222CD＝426CD＝100042m.
答：炮兵阵地到目标的距离为100042m.
6．解：设AB的高为x.∵AB与地面垂直，
∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形．
∴BM＝xcot30°＝3x，BN＝xcot45°＝x，BP＝xcot60°＝33x.
在△MNB中，BM2＝MN2＋BN2－2MNBNcos∠MNB，
在△PNB中，BP2＝NP2＋BN2－2NPBNcos∠PNB，
又∵∠BNM与∠PNB互补，MN＝NP＝500，
∴3x2＝250000＋x2－2×500xcos∠MNB，①
13x2＝250000＋x2－2×500xcos∠PNB.②
①＋②，得103x2＝500000＋2x2，∴x＝2506(m)．
答：塔高AB为2506m.
第2课时
导入新课
思路1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．
思路2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆前面是如何测量距离和高度的？
2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？
3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.
4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？
活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．
三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．
讨论结果：
(1)～(4)略．
应用示例
例1(教材问题3)
活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．
点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．

变式训练
有两根柱子相距20m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m，求此时绳子所受的张力．
解：如图所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记为CE→、CF→，重力记为CG→.
由C为绳子的中点，知|CE→|＝|CF→|.
由CE→＋CF→＝CG→，知四边形CFGE为菱形．
又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，
∴|CE→|＝|CF→|＝12|CG→|cos∠FCG＝8.90.02＝445，
即绳子所受的张力为445N.

例2如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)
活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．
解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°
≈113.15.
根据正弦定理，BCsin∠CAB＝ACsin∠ABC，
sin∠CAB＝BCsin∠ABCAC＝54.0sin137°113.15≈0.3255，
所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.
点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．
变式训练
如图，港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31nmile，该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到D处，测得CD为21nmile，问此时轮船离港口A还有多远？
解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，

在△BCD中，由余弦定理，得
cosβ＝CD2＋BD2－BC22CDBD＝－17.
∴sinβ＝1－cos2β＝437.
∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.
在△ABC中，由正弦定理，得CDsin∠CAD＝ADsinα，
∴AD＝CDsinαsin∠CAD＝15nmile.
答：此时轮船离港口还有15nmile.

例3(教材问题4)
活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．
点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ方向过点Q′时，则台风终止侵袭A城．侵袭A城的时间为台风经过Q到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A城的时间．
(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
知能训练
1．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则∠B＝__________.
2．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
答案：
1.π6解析：由题意，得3cosA－sinA＝0，即tanA＝3.
又∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，即sinC＝sin2C.
∵sinC≠0，∴sinC＝1.
又∵0＜C＜π，∴C＝π2.
∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.
2．解：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，
∴∠A＝15°.
由正弦定理，知AC＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，
∴A到BC所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)．
∵40.98海里＞38海里，
∴船继续向南航行，没有触礁的危险．
课堂小结
先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．
通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．
作业
课本本节习题1—2A组4；习题1—2B组3.
设计感想

本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．
本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．
备课资料
一、备用习题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系是()
A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．
(1)起初，两人的距离是多少？
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
(3)什么时候两人的距离最短？
4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)
5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？
6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？
7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
参考答案：
1．B
2．B解析：由题意可画出平面示意图，如图，
则∠ACB＝80°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝50°.
因此灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A、B，则AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，
∴起初两人的距离是7千米．
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP＝4t，BQ＝4t，
当0≤t≤34时，PQ2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t2－24t＋7；
当t＞34时，PQ2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)cos120°＝48t2－24t＋7，
∴PQ＝48t2－24t＋7.
(3)PQ2＝48t2－24t＋7＝48(t－14)2＋4，
∴当t＝14时，即在第15分钟末，PQ最短．
答：在第15分钟末，两人的距离最短．
4．解：连结BC，由余弦定理，得
BC2＝202＋102－2×20×10×cos120°＝700，
于是BC＝107.
由sin∠ACB20＝sin120°107，
∴sin∠ACB＝37.
∵∠ACB＜90°，∴∠ACB≈41°.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．
5．解：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC＝(100－50x)海里，BD＝30x海里(0≤x≤2)，∠CBD＝60°，由余弦定理，得
CD2＝(100－50x)2＋(30x)2－2(100－50x)30xcos60°
＝4900x2－13000x＋10000.
∴当x＝130002×4900＝6549＝11649(小时)时，CD2最小，从而得CD最小．
∴航行11649小时，两船之间距离最近．
6．解：如图，以AB为边，B为顶点作∠ABP＝45°(点P在B点的东北方向上)，射线BP即台风中心B的移动方向，以A点为圆心，300千米为半径画弧交射线BP于C、D两点，显然当台风中心从B点到达C点时，A点开始进入台风圈，台风中心在CD上移动的时间即为A处在台风圈中的时间．
设台风中心由B到C要t小时，在△ABC中，AB＝400(千米)，AC＝300(千米)，BC＝40t(千米),∠ABC＝45°，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC，
即3002＝4002＋(40t)2－2×400×40tcos45°.
∴4t2－402t＋175＝0.∴t＝402±208＝102±52.
∴t1＝102－52＝5(2－12)＝4.6(小时)，t2－t1＝102＋52－102－52＝5(小时)．
答：经过4.6小时A进入台风圈，A处在台风圈中的时间为5小时．
7．解：(1)∵AB＝402，AC＝1013，∠BAC＝θ，sinθ＝2626.
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ＝1－26262＝52626.
由余弦定理，得BC＝AB2＋AC2－2ABACcosθ＝105.
所以船的行驶速度为10523＝155(海里/时)．
(2)解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.
由题设有x1＝y1＝22AB＝40，
x2＝ACcos∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，
y2＝ACsin∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.
所以过点B、C的直线l的斜率k＝2010＝2，直线l的方程为y＝2x－40.
又点E(0，－55)到直线l的距离d＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，
所以船会进入警戒水域．
解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，
由余弦定理，得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22ABBC
＝402×2＋102×5－102×132×402×105
＝31010.
从而sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝1－910＝1010.
在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝ABsin∠ABCsin45°－∠ABC＝402×101022×1010＝40.
由于AE＝55＞40＝AQ，
所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE＝QEsin∠PQE＝QEsin∠AQC＝QEsin(45°－∠ABC)＝15×55＝35＜7.
所以船会进入警戒水域．
二、测量问题中的有关名词和术语
(1)坡度(坡比)与坡角：
如下图，把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即i＝hl.坡度一般写成h∶l的形式．坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：i＝hl＝tanα.
(2)仰角与俯角：
如下图，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做仰角；视线在水平线下方所成的角叫做俯角．
(3)方向角与方位角：
方向角：如下图，把指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×多少度”来表示，这里第一个“×”号是“北”或“南”字，第二个“×”是“东”或“西”字．如图中OA，OB，OC，OD的方向角分别为北偏东60°，北偏西45°(或西北方向)，南偏西30°，南偏东40°.
方位角：某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫做方位角．
(4)水平距离、垂直距离、坡面距离：
如下图，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．

数列的综合应用

课时29数列综合问题(2)
【教学目标】
1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法；
2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【教学难点】
难点是解决数列中的一些综合问题。
【教学过程】
例1．等差数列的公差和等比数列的公比都是d(d≠1)，且，，，
⑴求和d的值；⑵是不是中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

例2．设等比数列的公比为,前项和为，若成等差数列，求的值．

例3．已知数列的前n项和为且满足．
(1)判断是否是等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项；

例4．设是正数组成的数列，其前n项和为，且对于所有正整数n,与2的等差中项等于与2的等比中项。⑴写出的前3项；⑵求的通项公式（写出推理过程）;
⑶令，,求的值。

例5、已知数列，设，数列。（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；
（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

例6．已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求；（3）令对一切成立，求最小正整数m.

【课后作业】
1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是。
2.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则_________。
3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4.已知等比数列的前项和为且。（1）求的值及数列的通项公式。（2）设求数列的前项和。

5.设数列的前项和为，已知（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围

6．设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．

7.已知数列是首项，公比q0的等比数列，设且,。⑴求数列的通项公式,⑵设数列的前项和为，求证数列是等差数列；⑶设数列的前n项和为,当取最大值时,求n的值.

问题统计与分析

文章来源：http://m.jab88.com/j/39214.html

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