经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够井然有序的进行教学。教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“变化的快慢与变化率(1)导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人：张平安修改人：审核人：
班级：姓名：组名：
课题第二课时变化的快慢与变化率——瞬时变化率
学习

目标1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
学习
重点知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢
学习
难点对于平均速度与瞬时速度的关系的理解
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：函数平均变化率的概念
1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
二师生互动
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。

例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
。
估计该合金棒在x=2m处的线密度。

三、自我检测
课本练习2：1、2.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
课本习题2-1：A3、4、5

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变化率与导数导学案及练习题

3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数
【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.
1.函数的变化率
定义实例
平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：ΔyΔx
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即
＝limΔx→0ΔyΔx
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.
引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
探究点一平均变化率的概念
问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？
问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.
问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？
例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
跟踪1(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为
①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

探究点二函数在某点处的导数
问题1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
问题2如何描述物体在某一时刻的运动状态？
问题3导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.

跟踪2求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.

例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

跟踪3高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝6598s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.

【达标检测】
1.在导数的定义中，自变量的增量Δx满足()
A.Δx0B.Δx0C.Δx＝0D.Δx≠0
2.函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()
A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关
3.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()
A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)2

变化率与倒数导学案及练习题

一、基础过关
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()
A．0.41B．3
C．4D．4.1
2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()
A．0B．1
C．2D．Δx
3．设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx等于()
A．f′(1)B．3f′(1)
C.f′(1)D．f′(3)
4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为()
A．4B．6
C．24D．48
5．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()
A．12B．6
C．3D．2
6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()
A．甲B．乙
C．相同D．不确定
7．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．

二、能力提升
8．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.
9．函数f(x)＝1x2＋2在x＝1处的导数f′(1)＝__________.

10．求函数y＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．

11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．

平均变化率

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“平均变化率”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

课题：平均变化率
教学目标：
1.通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地导数的几何意义。
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。
教学重难点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义
教学过程：
一、问题情境
1、情境：
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

时间4月18日4月19日4月20日
日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃

该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:
问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？
问题2：分别计算AB、BC段温差
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度
问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？
曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=

二、建构数学
一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：

说明：
(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？

(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：
（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？
（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？
图1图2

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内V的平均变化率。

解:在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为

注：负号表示容器甲中水在减少

变式1：
一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知V=nt，在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:

由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均变化率保持不变。

例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；
（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001

例3引申：已知函数
问题(1)求函数在[1,a](a1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a](a1)上的平均变化率为a+1

问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率有何趋势？
(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率趋近于2

求函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：

小结：
问题1：本节课你学到了什么？
①函数的平均变化率的概念；
②利用平均变化率来分析解决实际问题
问题2、解决平均变化率问题需要注意什么？
①分清所求平均变化率类型
(即什么对象的平均变化率)
②两种处理手段：
(1)看图(2)计算
问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？
①数形结合的思想方法
②从特殊到一般、从具体到抽象的推理
方法

变化率问题

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“变化率问题”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：
情景导入：
展示目标:知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

例2已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2.已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1.在内的平均变化率为（）
A．3B．2C．1D．0
2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
A．B．
C．D．
3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）
A．B．
C．D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5.在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
【板书设计】：略
【作业布置】：略

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