§2从位移的合成到向量的加法
2.1向量的加法
一、教学目标
知识目标:理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和;
掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算.
能力目标:经历向量加法概念、法则的建构过程,感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
情感目标:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体验探索的乐趣,激发学生的学习热情.培养学生勇于探索、创新的个性品质.
二.重点难点
重点:向量加法运算的意义和法则.
难点:向量加法法则的理解.
三.教学方法
采用“启发探究”式教学方法,结合多媒体辅助教学.
四.教学过程
Ⅰ.创设情境直观感知
以杭州湾大桥为整体背景,设计两个问题情境如下:
问题1:建桥之前如何从嘉兴到达宁波?建桥之后可以从嘉兴直达宁波,此时的位移与前面两次位移的结果有何关系?两次位移的结果可称为两次位移的和,如何用等式来刻画这三个位移的关系?
问题2:这是大桥南端的A型独塔斜拉桥,其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、,则它们对塔柱的共同作用效果如何?合力可称为力与的和,如何用等式来刻画这三个力的关系?
力与位移都是物理中的矢量,既有大小又有方向,若去掉它们的物理属性,就是数学中的向量.它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法(引出课题)
Ⅱ.抽象概括形成定义
(一)建立数学模型
若记则向量叫做向量与的和,记为.
问题3:如图所示的三个向量,你们能给出它们所满足的等式吗?——,即向量为向量与的和
(二)抽象数学概念
问题4:由此,你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗?
学生活动:在平面内任取一点O,平移使其起点为点O,平移使其起点与向量的终点重合,再连接向量的起点与向量的终点.
(1)平移的目的是什么?——平移后使得两个向量能在同一个三角形中;
(2)平移后两个向量的终点与起点有何关系?——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合;
(3)和向量又是什么?——连接向量的起点与向量的终点,并指向的终点,得到的向量即为向量与的和;
(4)借助于几何直观,用自然简洁的语言给出两个向量和的定义.
和的定义:已知向量,在平面内任取一点O,作,则向量叫做向量的和.记作:.即.
向量的加法的定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法.
向量加法的法则:和的定义给出了求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
问题5:用三角形法则求向量和的过程中要注意什么?——平移两个向量使它们首尾顺次相连.
问题6:还可以用什么方法求两个向量的和呢?——向量加法的平行四边形法则.
问题7:平行四边形法则有何特点?——平移两个向量至共起点.
两种方法求和的结果是一样的,可见,向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的.在具体求和时,应根据情况灵活地选择.
(三)尝试运用法则
试一试:如图,已知、,作出
向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的,反映了三角形法则具有广泛的适用性.
Ⅲ.类比猜想探究性质
问题8:加法其实我们并不陌生,从小就开始学习数、字母、式的加法,实数的加法有哪些运算性质?向量的加法是否也满足类似的性质?如果满足,具体形式是什么?
实数的加法向量的加法
性
质
交换律的验证让学生通过画图自己验证,结合律的验证师生借助于多媒体共同完成.
研究结果表明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的.有了交换律与结合律,向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行,从而丰富了向量加法的内涵.
Ⅳ.数学运用深化认识
例1.如图,O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,作出下列向量:
(1)(2)(3)
(4)(5)
推广1:
推广2:
并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型.
最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题:
例2.已知桥是南北方向,受落潮影响,海水以12.5km/h的速度向东流,现有一艘工作艇,在海面上航行检查桥墩的状况,已知艇的速度是25km/h,若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,则艇的航向如何确定?
分析:首先将实际问题数学化,把三个速度分别用向量来表示:如图,设表示水流速度,表示游艇的速度,那谁是游艇的实际速度?,三个向量应满足什么关系?.
解:如图,设表示水流速度,表示游艇的速度,表示游艇的实际速度,因为,所以四边形为平行四边形.
在中,
,,
所以
答若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,其航向应为北偏西.
Ⅴ.回顾反思拓展延伸
一、课时小结:
1、同学们想一想:本节课你有些什么收获呢?
知识内容:向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律.
留给你印象最深的是什么?作为课堂的延伸,你课后还想作些什么探究?
本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此基础上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去.再一次告诉我们,数学源于生活,又服务于生活.
2、马克思说过:一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步.我们今天所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具,随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用.
二、拓展延伸:
(1)作业:P79习题2.2的1,2,3
(2)拓展探究:请同学们课后完成下面的拓展探究题:向量和的模与模的和之间有什么关系?(是任意两个向量,则与之间有什么关系?并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究.
8.4(1)向量的应用(1)
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。
本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题,以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.
本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题,突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.
二、教学目标设计
运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题;提高分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
教学重点:利用平面向量知识证明平行、垂直等问题;
教学难点:数形结合方法的渗透,思维能力的提高.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
思考并回答下列问题
1.判断:(平行向量的理解)
(1)若A、B、C、D四点共线,则向量;()
(2)若向量,则A、B、C、D四点共线;()
(3)若,则向量;()
(4)只要向量满足,就有;()
2.提问:(1)两个非零向量平行的充要条件是什么?
(2)两个非零向量垂直的充要条件是什么?
[说明]教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.
二、学习新课
高考¥资%源~网例题分析
例1、证明:菱形对角线互相垂直。(补充)
证:设==,==
∵ABCD为菱形
∴||=||
∴=(+)()=22=||2||2=0∴
证法二:设B(b,0),D(d1,d2),
则=(b,0),=(d1,d2)
于是=+=(b,0)+(d1,d2)=(b+d1,d2)
==(d1b,d2)
∵=(b+d1)(d1b)+d2d2=(d12+d22)b2
=||2b2=||2b2=b2b2=0
∴
[说明]二种方法进行比较,开拓学生的解题思维,提高能力.
例2、已知,,,求证是直角三角形.(补充)
例3、
(课本P72例2)
[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系.
例4、证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)
三、课堂练习
例5、用向量方法证明:对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4A组1)
四、课堂小结
1.用向量知识证明平行、垂直问题.
2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.
四、作业布置
1、书面作业:课本P73,练习8.41,2,3
2、习题册P39,习题8.4A组/1;习题册P40,习题8.4B组/1
3、思考题:
如图,在中,D,E分别是边AB、AC的中点,F,G分别是DB、EC的中点,
求证:向量与共线.
3、思考题:
如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,
求证:AD、BE、CF相交于一点.
七、教学设计说明
1.注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻.
2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口.
3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.
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8.4(2)向量的应用(2)
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.
本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题,以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.
二、教学目标设计
1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题,感悟向量作为一种工具有着广泛的应用,体会从不同角度去看待一些数学问题,使一些数学知识有机联系,拓宽解决问题的思路.
2、了解构造法在解题中的运用.
三、教学重点及难点
重点:平面向量知识在各个领域中应用.
难点:向量的构造.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
1、提问:下列哪些量是向量?
(1)力(2)功(3)位移(4)力矩
2、上述四个量中,(1)(3)(4)是向量,而(2)不是,那它是什么?
[说明]复习数量积的有关知识.
二、学习新课
例1(书中例5)
向量作为一种工具,不仅在物理学科中有广泛的应用,同时它在数学学科中也有许多妙用!请看
例2(书中例3)
证法(一)原不等式等价于,由基本不等式知(1)式成立,故原不等式成立.
高考¥资%源~网证法(二)向量法
[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点,构造向量,并发现(等号成立的充要条件是)
例3(书中例4)
[说明]本例的关键在于构造单位圆,利用向量数量积的两个公式得到证明.
二、巩固练习
1、如图,某人在静水中游泳,速度为km/h.
(1)如果他径直游向河对岸,水的流速为4km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?
答案:沿北偏东方向前进,实际速度大小是8km/h.
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?
答案:朝北偏西方向前进,实际速度大小为km/h.
三、课堂小结
1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.
2、要学会从不同的角度去看一个数学问题,是数学知识有机联系.
四、作业布置
1、书面作业:课本P73,练习8.44
2、(补充)
(1)已知作用于同一物体的两个力、,||=5N,||=3N,、所成的角为,则|+|=7;+与的夹角为.
[说明]力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一.
(2)上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法.
[说明]①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式,教学时应加以渗透数学史的教学,并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性.
②以小组形式,时间为一星期为宜.
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2.1.3相等向量与共线向量文章来源:http://m.jab88.com/j/38492.html
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