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高二数学相等向量与共线向量

古人云,工欲善其事,必先利其器。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,使教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的教案呢?下面的内容是小编为大家整理的高二数学相等向量与共线向量,仅供您在工作和学习中参考。

2.1.3相等向量与共线向量
教学目标:
1.掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念,
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路:
一、情景设置:
(一)、复习
1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(二)、新课学习
1、有一组向量,它们的方向相同、大小相同,这组向量有什么关系?
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗?这组向量有什么关系?
三、探究学习
1、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固:
例1.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
变式三:与向量共线的向量有哪些?()
例2判断:
(1)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)
(2)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)
(3)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同)
(4)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)
例3下列命题正确的是()?
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点?
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.?
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;?
②单位向量都相等;?
③任一向量与它的相反向量不相等;?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;?
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
2.书本77页练习4题
三、小结:
1、描述向量的两个指标:模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业:
《习案》作业十八。

延伸阅读

高二数学平面向量共线的坐标表示24


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第6课时
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的:
(1)理解平面向量的坐标的概念;
(2)掌握平面向量的坐标运算;
(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
教学重点:平面向量的坐标运算
教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得
把叫做向量的(直角)坐标,记作
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,特别地,,,.
2.平面向量的坐标运算
若,,
则,,.
若,,则
二、讲解新课:
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1,y1),=(x2,y2)其中.
由=λ得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,x1y2-x2y1=0
探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1,y2有可能为0,∵∴x2,y2中至少有一个不为0
(2)充要条件不能写成∵x1,x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:∥()
三、讲解范例:
例1已知=(4,2),=(6,y),且∥,求y.
例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
例4若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,求x
解:∵=(-1,x)与=(-x,2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?
解:∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×60∴与不平行
∴A,B,C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习:
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=()
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为()?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x、y的值可能分别为()
A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4
4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=.
5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则x=.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
七、板书设计(略)
八、课后记:

高二数学平面向量


第二章平面向量复习课(一)
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。
4.了解向量形式的三角形不等式:|||-||≤|±|≤||+||(试问:取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理:2(||+||)=|-|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义):
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积)
8.数量积(点乘或内积)的概念,=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法;向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直
三、教学过程
(一)重点知识:
1.实数与向量的积的运算律:
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:

4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模:
(二)习题讲解:《习案》P167面2题,P168面6题,P169面1题,P170面5、6题,
P171面1、2、3题,P172面5题,P173面6题。
(三)典型例题
例1.已知O为△ABC内部一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=,=,=,
且||=2,||=1,||=3,用与表示
解:如图建立平面直角坐标系xoy,其中,是单位正交基底向量,则B(0,1),C(-3,0),
设A(x,y),则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即A(1,-),也就是=-,=,=-3所以-3=3+|即=3-3
(四)基础练习:
《习案》P178面6题、P180面3题。
(五)、小结:掌握向量的相关知识。

(六)作业:《习案》作业二十七。

第二章平面向量复习课(二)
一、教学过程
(一)习题讲解:《习案》P173面6题。
(二)典型例题
例1.已知圆C:及点A(1,1),M是圆上任意一点,点N在线段MA的延长线上,且,求点N的轨迹方程。
练习:1.已知O为坐标原点,=(2,1),=(1,7),=(5,1),=x,y=(x,y∈R)求点P(x,y)的轨迹方程;
2.已知常数a0,向量,经过定点A(0,-a)以为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以为方向向量的直线相交于点P,其中.求点P的轨迹C的方程;
例2.设平面内的向量,,,点P是直线OM上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及APB的余弦值.
解设.∵点P在直线OM上,
∴与共线,而,∴x-2y=0即x=2y,
有.∵,,

=5y2-20y+12
=5(y-2)2-8.
从而,当且仅当y=2,x=4时,取得最小值-8,
此时,,.
于是,,,

小结:利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业:〈习案〉作业二十八。

平面向量共线的坐标表示


平面向量共线的坐标表示
教学目的:
(1)理解平面向量的坐标的概念;
(2)掌握平面向量的坐标运算;
(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
教学重点:平面向量的坐标运算
教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得
把叫做向量的(直角)坐标,记作
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,特别地,,,.
2.平面向量的坐标运算
若,,
则,,.
若,,则
二、讲解新课:
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1,y1),=(x2,y2)其中.
由=λ得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,x1y2-x2y1=0
探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1,y2有可能为0,∵∴x2,y2中至少有一个不为0
(2)充要条件不能写成∵x1,x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:∥()
三、讲解范例:
例1已知=(4,2),=(6,y),且∥,求y.
例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
例4若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,求x
解:∵=(-1,x)与=(-x,2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?
解:∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×60∴与不平行
∴A,B,C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习:
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=()
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为()?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x、y的值可能分别为()
A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4
4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=.
5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则x=.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
七、板书设计(略)
八、课后记:

高二数学向量的应用014


8.4(1)向量的应用(1)

一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。
本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题,以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.
本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题,突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.

二、教学目标设计
运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题;提高分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
教学重点:利用平面向量知识证明平行、垂直等问题;
教学难点:数形结合方法的渗透,思维能力的提高.
四、教学流程设计

五、教学过程设计
一、复习与回顾
思考并回答下列问题
1.判断:(平行向量的理解)
(1)若A、B、C、D四点共线,则向量;()
(2)若向量,则A、B、C、D四点共线;()
(3)若,则向量;()
(4)只要向量满足,就有;()
2.提问:(1)两个非零向量平行的充要条件是什么?
(2)两个非零向量垂直的充要条件是什么?
[说明]教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.

二、学习新课
高考¥资%源~网例题分析
例1、证明:菱形对角线互相垂直。(补充)
证:设==,==
∵ABCD为菱形
∴||=||
∴=(+)()=22=||2||2=0∴
证法二:设B(b,0),D(d1,d2),
则=(b,0),=(d1,d2)

于是=+=(b,0)+(d1,d2)=(b+d1,d2)
==(d1b,d2)
∵=(b+d1)(d1b)+d2d2=(d12+d22)b2
=||2b2=||2b2=b2b2=0

[说明]二种方法进行比较,开拓学生的解题思维,提高能力.
例2、已知,,,求证是直角三角形.(补充)
例3、
(课本P72例2)

[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系.
例4、证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)
三、课堂练习
例5、用向量方法证明:对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4A组1)

四、课堂小结
1.用向量知识证明平行、垂直问题.
2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.

四、作业布置
1、书面作业:课本P73,练习8.41,2,3
2、习题册P39,习题8.4A组/1;习题册P40,习题8.4B组/1
3、思考题:
如图,在中,D,E分别是边AB、AC的中点,F,G分别是DB、EC的中点,
求证:向量与共线.

3、思考题:
如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,
求证:AD、BE、CF相交于一点.

七、教学设计说明
1.注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻.
2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口.
3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.

文章来源:http://m.jab88.com/j/49772.html

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