俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“多边形的面积和面积变换”，相信能对大家有所帮助。

竞赛讲座32
－多边形的面积和面积变换
本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍.所用知识不多，简列如下：
（1）全等形的面积相等；
（2）多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）；
（3）等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两底和相等）；
（4）等底（等高）的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高（这高对应的底）的比.
以下约定以△ABC同时表示△ABC的面积.
1．多边形的面积
例1（第34届美国中学数学竞赛题）在图23-1的平面图形中，边AF与CD平行，BC与ED平行，各边长为1，且∠FAB=∠BCD=，该图形的面积是（）
（A）（B）1（C）（D）（E）2
分析将这个图形分解为若干个基本图形——三角形，连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为.所以选（D）.
例2（第5届美国数学邀请赛试题）如图23-2五条线段把矩形ABCD分成了面积相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，则AB的长度等于_________.
分析如图,延长PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ与梯形PQYX面积相等,故E、F分别为AD、CB的中点.
而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，设为e.
由SAXPWD=SPQZW得
∴2e=106，
∴AB=2e+87=193.
例3.如图23-3四边形ABCD的两边BA和CD相交于G，E、F各为BD、AC的中点.试证：△EFG的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.
分析注意到E、F各为BD、AC的中点，连结EA、EC和FD.则
如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积，问题即可解决.为此，取AD的中点P，连PE、PF，则PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，问题得解.证明略.
2．利用面积变换解几何题
先看一个例子.
例4.以直角三角形ABC的两直角边AC、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH，连结BE、AH分别交AC、BC于P、Q.求证:CP=CQ.
证明(如图23-4)显然S△GCQ=S△HCQ，
∵HB∥AG，
∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQAG=CPBD.
∵AG=AC+GC
=DC+BC=BD，
∴CP=CQ.
此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量关系和位置关系的方法即所谓面积变换.
例5(第37届美国中学数学竞赛题)图23-5中,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延长线上所引的垂线.设O是正五边形的中心,若OP=1,则AO+AQ+AR等于().
（A）3（B）1+
（C）4（D）2+(E)5
分析因题设中AP、AQ、AR分别与CD、CB、DE垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到
即
由CD=BC=DE，
则AP+AQ+AR=5OP
故AO+AQ+AR=4.应选（C）.
例6（第37届美国中学数学竞赛题）不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（）.
（A）4（B）5（C）6（D）7
（E）不同于（A）-（D）的答案
解设△ABC第三边上的高为h，面积为S，则该三角形的三边可表示为
显见＞.据“三角形两边之和大于第三边”有+＞，+＞.
解得3＜h＜6.所以选（B）.
例7图23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜边，在射线AC、BC上各取一点、，使P、Q是△ABC内两点，如果P，Q到△ABC各边的距离之和相等，则PQ∥；反之亦然.
证明设P、Q到△ABC各边的距离之和分别为S（P），S（Q）.连PA、PB、P、P，不难发现△APB+△AP+△PB-△P=△ABC-△C（定值）.
于是
=
同理，
显然，当S（P）=S（Q）时，，
∴PQ∥
反之，当PQ∥时，
∴S（P）=S（Q）.
3．一个定理的应用定理
已知△ABC、△DBC共边BC，AD交BC或其延长线于E，则
分析当B或C点与E重合时，结论显然成立.当B、C都不与E重合时，有两种情况：若E在BC之间，由△ABE=易知结论成立；若E在BC之外类似可证.证明略.
这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题.
例8(1987年全国初中数学联赛试题)如图23-8已知四边形ABCD内有一点E,连接AE、BE、CE、DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题（）.
甲.ABCD是凸四边形;此处无图
乙.E是对角线AC的中点或对角线BD的中点;
丙.ABCD是平行四边形中.
(A)只有甲正确(B)只有乙正确(C)甲、乙、丙都正确（D）甲、乙、丙都不正确
分析如果ABCD是以AC为对称轴的凹四边形，易见AC的中点具有题中E点所要求的性质，所以甲、丙都不正确.
设AE、BE、CE、DE将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，BD、AC交于F，由△ABE=△ADE及本讲定理知F是BD的中点，即E在AF上.
如果F与E重合，则E是BD的中点，乙成立.如果F与E不重合，同理由△BEC=△DEC是E在直线CF上，也就是说A、C都在直线EF上.再由△ABE=△BEC，得AE=EC，所以E是AC的中点，乙成立.所以选（B）.
如果将三点A、B、C在一条直线上看成是△ABC的蜕化情况，那么A、B、C三点共线等价于△ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点A、B、C共线，只要证明△ABC=0.为了计算△ABC的面积，常在A、B、C之外适当选一点P，如果△PAB、△PBC、△PAC三者之中一个等于另两个之和，则自然有△ABC=0，这方面传统的例子是梅内劳斯定理的证明.
例9在图33-9△ABC的两边AB、AC上分别取E、F两点，在BC的延长线上取点D，使
则D、E、F三点共线.此处无图
证明设则
于是①
②
③
由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF，
∴D、E、F三点共线.
说明：A、B、C共线即点B在直线AC上.由此即知欲证l1、l2、l3共点，只要证l1、l2的交点B在直线l3上，若在l3上别取点A、C，则只要证明△ABC=0即可.看来三线共点的问题可转化为三点共线来解决，这方面典型的例子是塞瓦定理的证明（见练习题）.
最后，我们来看一个漂亮的作图问题.
例10设A、B是直线l1上的两点，而C、D是直线l2上的两点，l1与l2交于O，作出平面上一切满足条件△PAB=△PCD的点P.
分析如图23-10，在l1上取E、F，使O为EF中点且EO=AB；在l2上取G、H，使O为GH中点且GO=CD.不妨设E、G、F、H之顺序使EGFH成为以O为中心的平行四边形.设EG、GF、FH、HE之中点顺次为M、S、N、R，则P点为直线MN和RS上的一切点.
设P为RS上或MN上任一点，由作图知△PAB=△PFO，△PCD=△PGO.由本讲定理知△PFO=△PGO，所以△PAB=△PCD.当P点不在直线MN上且不在RS上时，可以用反证法证明△PAB≠△PCD.
练习二十三
1．选择题
（1）等腰△ABC中，一腰上的高线长为，这个高线与底边的夹角是，△ABC的面积是（）.
（A）（B）2（C）2（D）（E）以上答案都不对
（2）如图，ABCD是面积为1的正方形，△PBC为正三角形，则△BPD的面积为（）.
（A）（B）（C）（D）（E）
（3）已知等腰△ABC一腰上的中线为15，底边上的高为18，则△ABC的面积是（）.
（A）124（B）144（C）150（D）以上答案都不对
2.填空题
(1)已知一张矩形纸片ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点A与C重合,如果纸片不重合部分面积为,则K=__________.
(2)已知等腰梯形ABCD的两对角线AC、BD互相垂直相交，且梯形的面积为100cm2，则梯形的高h=_________.
(3)(第3届美国数学邀请赛试题)如图所示,将△ABC的三个顶点与同一个内点连接起来,所得三条联线把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明.△ABC的面积是_________.
(4)(1984年西安初中数学竞赛题)设△ABC的面积为1,则△DEF的面积是___________.
3.如图,B在AC上,Q在PR上,PB∥QC，AQ∥BR.求证：AP∥CR.
4．（1974年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设AD为△ABC一中线，引任一直线CF交AD于E，交AB于F.
证明AEFB=2AFED.
5．（塞瓦定理）设X、Y、Z分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，若
则AX、BY、CZ三线共点.
6．（1983年中学生联合数学竞赛题）如图，在四边形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三点共线，求证：M与N分别是AC与CD的中点.
此处无图
7．P为△ABC内部一点，P到边AB、AC的距离为PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求证：ax≥cq+br.（a，b，c为相应顶点对应的边长）
8．三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高.
9．设△ABC的面积S=1.试分别在边BC、CA、AB上依次我一内点E、F、G，使得△EFG的面积适合＜＜
练习二十三
１．ＡＤＢ
２．（１）４－．（２）１０（３）３１５．
（４）
３．连ＰＣ、ＢＱ．△ＰＱＣ＝△ＢＱＣ，△ＡＢＲ＝△ＢＱＲ
∴△ＰＲＣ＝ＳＱＲＣＢ＝△ＡＲＣ，∴ＡＰ∥ＣＲ．
４．连ＢＥ后，引入三个面积参数，即Ｓ１＝△ＡＥＦ，Ｓ２＝△ＢＥＦ，Ｓ３＝△ＢＥＤ＝△ＤＥＣ则△ＡＥＣ＝△ＡＢＥ＝Ｓ１＋Ｓ２．
５．设ＡＸ与ＢＹ交于点Ｏ，连ＺＯ、ＯＣ．设易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ
＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ
∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共线．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共点．
６．设及△ＡＢＣ＝１．
这时，△ＡＢＤ＝３，△ＢＣＤ＝４，△ＡＣＤ＝３＋４－１＝６．△ＡＢＭ＝ｒ，△ＢＣＭ＝１－ｒ，△ＢＣＮ＝４ｒ，△ＡＣＮ＝６ｒ，△ＣＮＭ＝△ＢＣＮ－△ＢＣＭ＝４ｒ－（１－ｒ）＝５ｒ－１，△ＡＭＮ＝△ＡＣＮ－△ＣＮＭ＝６ｒ－（５ｒ－１）＝ｒ＋１
．因此，所以解得即Ｍ与Ｎ分别是ＡＣ与ＣＤ的中点．
７作ＡＨ⊥ＢＣ，设ＡＨ＝ｈ．又作ＰＤ⊥ＢＣ，设ＰＤ＝ｐ．显然ａｈ＝ａｐ＋ｃｑ＋ｒｂ，∴ｃｑ＋ｂｒ＝ａ（ｈ－ｐ）≤ａｘ．
８．如图，设ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ｃ＞ｂ．ＢＤ＝ｈｂ，ＣＥ＝ｈｃ．易知ｂ－ｈｃ≥０，ｃ－ｈｂ≥０，ｃｈｃ＝ｂｈｂ．∴ｂｃ－ｃｈｃ＝ｂｃ－ｂｈｂ＝ｂ（ｃ－ｈｂ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），即ｃ（ｂ－ｈｃ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），∴ｂ－ｈｃ＜ｃ－ｈｂ，即ｂ＋ｈｂ＜ｃ＋ｈｃ．
９．作法：如图，作△ＡＢＣ的中位线Ｂ′Ｃ′并延长Ｂ′Ｃ′至Ｍ，使Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ′．作Ｂ′Ｅ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ（当∠Ａ为△ＡＢＣ的最大内角时，Ｅ必为ＢＣ的内点），作MＤ∥Ｂ′Ｅ，交ＡＢ于Ｄ．选ＤＣ′的任一内点Ｇ，连结ＧＢ′、ＣＥ，并将点Ｂ′改名为Ｆ，则△ＥＦＧ即为所求．
练习二十三
１．ＡＤＢ
２．（１）４－．（２）１０（３）３１５．
（４）
３．连ＰＣ、ＢＱ．△ＰＱＣ＝△ＢＱＣ，△ＡＢＲ＝△ＢＱＲ
∴△ＰＲＣ＝ＳＱＲＣＢ＝△ＡＲＣ，∴ＡＰ∥ＣＲ．
４．连ＢＥ后，引入三个面积参数，即Ｓ１＝△ＡＥＦ，Ｓ２＝△ＢＥＦ，Ｓ３＝△ＢＥＤ＝△ＤＥＣ则△ＡＥＣ＝△ＡＢＥ＝Ｓ１＋Ｓ２．
５．设ＡＸ与ＢＹ交于点Ｏ，连ＺＯ、ＯＣ．设易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ
＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ
∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ
∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共线．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共点．
７．设及△ＡＢＣ＝１．
这时，△ＡＢＤ＝３，△ＢＣＤ＝４，△ＡＣＤ＝３＋４－１＝６．△ＡＢＭ＝ｒ，△ＢＣＭ＝１－ｒ，△ＢＣＮ＝４ｒ，△ＡＣＮ＝６ｒ，△ＣＮＭ＝△ＢＣＮ－△ＢＣＭ＝４ｒ－（１－ｒ）＝５ｒ－１，△ＡＭＮ＝△ＡＣＮ－△ＣＮＭ＝６ｒ－（５ｒ－１）＝ｒ＋１
．因此，所以解得即Ｍ与Ｎ分别是ＡＣ与ＣＤ的中点．
７作ＡＨ⊥ＢＣ，设ＡＨ＝ｈ．又作ＰＤ⊥ＢＣ，设ＰＤ＝ｐ．显然ａｈ＝ａｐ＋ｃｑ＋ｒｂ，∴ｃｑ＋ｂｒ＝ａ（ｈ－ｐ）≤ａｘ．
此处无图
８．如图，设ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ｃ＞ｂ．ＢＤ＝ｈｂ，ＣＥ＝ｈｃ．易知ｂ－ｈｃ≥０，ｃ－ｈｂ≥０，ｃｈｃ＝ｂｈｂ．∴ｂｃ－ｃｈｃ＝ｂｃ－ｂｈｂ＝ｂ（ｃ－ｈｂ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），即ｃ（ｂ－ｈｃ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），∴ｂ－ｈｃ＜ｃ－ｈｂ，即ｂ＋ｈｂ＜ｃ＋ｈｃ．
９．作法：如图，作△ＡＢＣ的中位线Ｂ′Ｃ′并延长Ｂ′Ｃ′至Ｍ，使Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ′．作Ｂ′Ｅ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ（当∠Ａ为△ＡＢＣ的最大内角时，Ｅ必为ＢＣ的内点），作MＤ∥Ｂ′Ｅ，交ＡＢ于Ｄ．选ＤＣ′的任一内点Ｇ，连结ＧＢ′、ＣＥ，并将点Ｂ′改名为Ｆ，则△ＥＦＧ即为所求．
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球的表面积与体积

第三课时球的表面积与体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为，
，
所以，.
（2）因为，
，
所以，S球=S圆柱侧.
例2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）
A．6:13B．5:14
C．3:4D．7:15
【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2.
∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2=OE2=AEBE=r1r2.
由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4
(r1+r2)2=
V球∶V圆台=
=故选A.
例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA=PB=PC=a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.
∴.
∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）

教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.

教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.

通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．
【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．
设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM–O1M=–x
又O1A=O1C
∴．解得
则O1A=O1B=O1C=．
在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得．解得．
故．
例2．如图所示棱锥P–ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
，
，
S□ABCD=a2．
VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，
，
，
所以，，
即球的最大半径为．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，
在Rt△PBC中，FP=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，
又
即球心O在PB中点F上．
【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．

柱体、锥体、台体的表面积

第一课时柱体、锥体、台体的表面积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点：展开图与空间几何体的转化.
（三）教学方法
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？

学生先思考讨论，然后回答.
学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图
则即所求.
师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.情境生动，激发热情教师顺势带出主题.
探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.
（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.
（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2)，求它的表面积.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC=a，
∴.
∴四面体S–ABC的表面积
.
师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？
生：相等.
师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.
生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.
师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？
……
生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.
师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.
师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.
师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.
生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.
学生分析，教师板书解答过程.
让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.
推而广之，培养探索意识会
探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导
S圆柱=2r(r+1)
S圆锥=r(r+1)
S圆台=(r12+r2+r1l+rl)
（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
（3）例题分析
例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？
分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积
≈1000(cm2)=0.1(m2).
涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？
生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？
师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）
生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：
生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：
师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=
所以它的表面积为
现在请大家研究这三个表面积公式的关系.
学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.
师：下面我们共同解决一个实际问题.
（师放投影片，并读题）
师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.
生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.
用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.
随堂练习1．练习圆锥的表面积为acm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）
答案：1．m；
2．1.74千克.学生独立完成
归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.
2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善
作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备用例题
例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD=c，AC=d，则
由（1）得，由（2）得，代入（3）得，
∴，∴.
∴S侧=.
例2一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.
【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.
设底面边长为a，则，∴a=4.
∴正三棱柱的表面积为
S=S侧+2S底=3×4×2+2×
(mm2).
例3有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）
【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.
由题意知，BC=10cm，AB=2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC=(cm).
所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题.探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少？
【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，
EE1=
=
∵边数n=4，两底边长a=440，a′=80，斜高h′=269.
∴S正棱台侧==（mm2）
答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.

简单几何体的侧面积学案（精品）

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师掌握上课时的教学节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢？小编收集并整理了“简单几何体的侧面积学案（精品）”，相信能对大家有所帮助。

内容：简单几何体的侧面积班级______姓名______
预习目标：
1、了解简单几何体的侧面积和表面积的概念.
2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台的侧面积的计算公式.
预习重点：柱体、棱体、台体的侧面积、表面积的计算.
预习难点：柱体、棱体、台体的侧面积公式的推导.
预习方法：
过程：
预习内容：
1．两个概念
空间几何体的侧面积：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积.
空间几何体的全面积：侧面积与底面积的和.
2．侧面展开图
直棱柱的侧面展开图是一个________．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）直棱柱侧面展开图.exe
圆柱的侧面展开图是一个________，它的一条边长等于_______，另一条边长等于圆柱的____________．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）p50圆柱体.swf
正棱锥的侧面展开图是由___________所组成的图形．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）正棱锥1.exe
圆锥的侧面展开图是一个________，扇形弧长等于圆锥底面圆的________，它的半径等于圆锥的__________．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）p50圆锥.swf
正棱台的侧面展开图是由________________________________所组成的图形．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）正棱台侧面展开图.exe
圆台的侧面展开图是一个________，其内圆弧长等于圆台______________，它的外圆弧长等于圆台______________．C:DocumentsandSettingsLenovo桌面简单几何体的侧面积（石油中学李维华）p51圆台.swf
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝_____，S圆锥侧＝πrl.(其中r为底面半径，l为侧面母线长)
S圆台侧＝___________.（请同学们写出证明过程，并准备展示）
(其中r1，r2分别为上、下底半径，l为母线长)
4．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝______(c为底面周长，h为高)
S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)
S正棱台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)
提出质疑：

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究
学习目标：
1、了解简单几何体的侧面积和表面积的概念.
2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台的侧面积的计算公式.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.
3、会分析柱体、锥体、台体及其简单组合体的结构特征.会利用面积公式解决一些简单的实际问题．
4、通过了解简单几何体的面积计算公式，进一发展学生将空间问题平面化的基本思想.
重点：柱体、棱体、台体的面积及公式的应用.
难点：不同空间几何体侧面积公式之间的联系与区别.
合作探究：
基于学生已有的对空间几何体侧面展开的知识基础，通过提供直观形象的侧面展开图，给出柱、锥、台的侧面积公式，体现了空间问题平面化的思想.
将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系
将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系.
将柱体、锥体、台体的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系.

知识点一：多面体的侧面积与表面积的计算
例1、正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)

点评求棱柱、棱锥、棱台的表面积，就是在侧面积的基础上加上底面面积，因此在求表面积时需要注意先按照求侧面积的方法把棱柱、棱锥、棱台的侧面积求出来，然后再把它们的底面面积计算出来，将二者相加即可，而求侧面积时要设法把斜高求出来，而这可通过解直角三角形求得．
变式训练1已知正四棱台上底面边长为4cm，侧棱和下底面边长都是8cm，求它的侧面积．

知识点二：旋转体的侧面积计算
例2、设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．

点评旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．
变式训练2一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的高及两底半径．

知识点三：组合体的表面积
例3、圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．

点评解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题，应用平面几何知识解决．
变式训练3一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．

课堂小结：1．在解决正棱锥、正棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个_____中求解，为此在解此类问题时，要注意_______的应用．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其_____，就是说将已知条件尽量归结到_____中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

课后练习与提高
一、选择题
1．正三棱锥的底面边长为a，高为66a，则三棱锥的侧面积等于()
A．34a2B．32a2C．334a2D．332a2
2．正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为()
A．24B．20C．12D．6
3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，这个圆柱的全面积为()
A．1＋1πB．1＋2π
C．1＋12πD．1＋14π
4．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为()
A．2B．3C．62D．33
5．长方体的高等于h，底面面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于()
A．2b2＋ah2B．22b2＋ah2
C．2b2＋2ah2D．b2＋2ah2
二、填空题
6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为
______________．
7．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为________．
8．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为________．

三、解答题
9．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为8cm2，6cm2，求此直平行六面体的侧面积．

10．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

几何体的表面积与体积

学案1集合的概念与运算
一、课前准备：
【自主梳理】
1．侧面积公式：，，，，，．
2．体积公式：=，，，．
3．球：，．
4．简单的组合体：
⑴正方体和球正方体的边长为，则其外接球的半径为．
正方体的边长为，则其内切球的半径为．
⑵正四面体和球正四面的边长为，则其外接球的半径为．
【自我检测】
1．若一个球的体积为，则它的表面积为_______．
2．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是．
3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为，则圆锥的体积为．
4．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_____________________．
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是．
6．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm和25πcm，则(1)圆台的高
为(2)截得此圆台的圆锥的母线长为．
（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.
（3）三棱柱的一个侧面面积为，此侧面所对的棱与此面的距离为，则此棱柱的体积为．
（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是．
【例2】如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．

课堂小结
（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；
（2）了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；
（3）几何体表面的最短距离问题------侧面展开.

三、课后作业
1．一个球的外切正方体的全面积等于，则此球的体积为.
2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为．
3．三个平面两两垂直，三条交线相交于，到三个平面的距离分别为1、2、3，
则=.
4．圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的体积为.
5．如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是．
6．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，M、N分别在棱AC和AD上，则BM＋MN＋NB的最小值为．
7．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，∥，=2，则该多面体的体积为．
8．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，则高为．
9．如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积．

10．如图，矩形中，⊥平面，，为上的一点，且⊥平面，，求三棱锥的体积．

四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析

一、课前准备：
【自主梳理】
1．
2．
3．4
4．
【自我检测】
1．122．23．4．5．6π6．13
二、课堂活动：
【例1】填空题
1．（1）20（2）3（3）（4）
【例2】（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则
（Ⅱ）
（Ⅲ），，且，
，.
，
∴，即.=
=.
【例3】解：（1）由知四边形ABCD为边长是2的正方形，
,又PA平面ABCD，=.
（2）设点C到平面PBD的距离为，
PA平面ABCD，=.
由条件，.
由.得.
点C到平面PBD的距离为.
三、课后作业
1．2．3：23．4．
5．6．7．8．
9．（1）证明：，且平面，∴平面.
（2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形.
∴.又，∴.在Rt△中，，
∴，.∴.
则，∴.
又，∴.
，∴平面.
（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半.
.
10．解：连结．可证三棱锥中，与底面垂直，所以所求
体积为．

文章来源：http://m.jab88.com/j/28219.html

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