圆的回顾与思考

2021-04-06 小学圆的教案小学圆教案

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在细心筹备教案课件中。我们制定教案课件工作计划，才能在以后有序的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编为大家整理的“圆的回顾与思考”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

回顾与思考(2)
教学目标
(一)教学知识点
1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．
2．了解切线的概念，切线的性质及判定．
3．会过圆上一点画圆的切线．
(二)能力训练要求
1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．
3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．
4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
教学难点
探索各种位置关系及切线的性质．
教学方法
学生自己交流总结法．
教具准备
投影片五张：
第一张：(记作A)
第二张：(记作B)
第三张：(记作C)
第四张：(记作D)
第五张：(记作E)
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ．具体内容巩固
一、确定圆的条件
[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．
[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．
经过两点也可以作无数个圆．
设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．
[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？
[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．
例题讲解(投影片A)
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
[师]请大家互相交流．
[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．
∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
二、三种位置关系
[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．
1．点和圆的位置关系
[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．
[师]总结得不错，下面看具体的例子．
(投影片B)
1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？
2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．
[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，
∵OD＝3，PD＝4，
∴OP＝＝5＝r．
所以点P在圆上．
同理可知OR＝＜5，OQ＝＞5．
所以点R在圆内，点Q在圆外．
2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．
2．直线和圆的位置关系
[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．
[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．
当d＜r时，直线和圆相交；
当d＝r时，直线和圆相切；
当d＞r时，直线和圆相离．
[师]很好，下面我们做一个练习．
(投影片C)
如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？
分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．
[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，
∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．
又因为⊙A的半径为4，
∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．
∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．
由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．
[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．
[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
[师]下面我们看它们的应用．
(投影片D)
1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．
2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？
分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．
2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为
⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．
[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．
[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴由勾股定理得AB＝15．
∵⊙O切AC于点E，连接OE，
∴OE⊥AC．
∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．
∴，即．
∴．∴OE＝
∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．
2．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．
∴∠CAE＝∠B，
∴∠CAB＋∠CAE＝90°，
即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，
∴AE与⊙O相切．
3．圆和圆的位置关系
[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．
[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．
[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？
[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．
当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．
当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．
两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．
[师]只有这一种判定方法吗？
[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．
[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．
当d＞R＋r时，两圆外离；
当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；
当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．
(投影片E)
设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；
②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；
③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；
④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；
⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；
⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；
⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．
[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；
(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；
(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；
(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；
(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；
(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；
(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．
因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．
和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．
Ⅲ．课堂练习
1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．
2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DEBC)
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．
Ⅴ．课后作业
复习题B组
Ⅵ．活动与探究
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．
分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，从中可求出半径．
解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．
∴S△OAB＝ABOF，S△OBC＝BCOD，S△OCA＝CAOE．
∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，
∴ACBC＝ABOF＋BCOD＋CAOE．
∵OD＝OE＝OF，
∴ACBC＝(AB＋BC＋CA)OD．
在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．
∴12×5＝(12＋13＋5)OD．
∴OD＝2．
∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝×12×5－π22＝30－4π．
板书设计
回顾与思考
一、确定圆的条件
二、三种位置关系；
1．点和圆的位置关系；2．直线和圆的位置关系．
3．圆和圆的位置关系
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
四、课堂练习五、课时小结六、课后作业

相关阅读

九年级数学圆回顾与思考

老师在新授课程时，一般会准备教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。写好教案课件工作计划，才能使接下来的工作更加有序！你们清楚有哪些教案课件范文呢？下面是小编为大家整理的“九年级数学圆回顾与思考”，希望能为您提供更多的参考。

知识梳理

知识点1：圆及有关的线段和角

例1：如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形

顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB

等于（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

例2：如图2，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13图1

米，则拱高为（）

A．5米B．8米C．7米D．5米

练习：1.如图3，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=80°，则弧所对圆周角∠ACB的度数是()

A．40°B．45°C．50°D．80°

2.如图4，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）

A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm

3.如图5，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）．

图2图3图4图5

最新考题1.如图6，在中，=90°，=10，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（）

A．B．5C．D．6

2.如图7，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的

路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）

知识点2：与圆有关的位置关系

例1：如图8，在直角梯形中，，，且，是⊙O的直径，则直线与⊙O的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．无法确定

例2：如图9，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．

Ａ．4Ｂ．8Ｃ．4或6Ｄ．4或8

例3：如图10是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是()

A外离B相交C外切D内切

图8图9图10

练习：1.⊙O的直径为12cm，圆心O到直线的距离为7cm，则直线与⊙O的位置关系是（）

Ａ.相交Ｂ.相切Ｃ.相离Ｄ.不能确定：

2.OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是（）．

A．相离B．相切C．相交D．相交或相切

最新考题1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为（）

A．外离B．外切C．相交D．内切

2.如图11，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD,AB＝2,OD＝3,则BC的长为（）

A．B．C．D．

3.一个钢管放在V形架内，如图12是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60，则OP＝()

A．50cmB．25cmC．cmD．50cm

例2：如图13，扇形的圆心角为，半径为，，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_______．

图11图12图13图14

练习：1.如图14，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（）.

A.800πcm2B.500πcm2C.πcm2D.πcm2

2.两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M,N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）.

A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍

3.半径为的圆内接正三角形的面积是（）

A．B．C．D．

最新考题1.如图15，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

2.如图16，已知的半径，，则所对的弧的长为（）

A．B．C．D．

3.边长为的正六边形的内切圆的半径为（）

A．B．C．D．

知识点4：圆锥的面积

处有一老鼠正在偷吃粮食．小猫从处沿圆锥的表面去偷袭这只老鼠，则小猫所经过的最短路程是______．（结果不取近似数）

图15图16图17图18

练习：1.如图18，扇形的半径为30cm，圆心角为1200，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）.

Ａ．10cmＢ．20cmＣ．10πcmＤ．20πcm

2.如图19，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（）

A．S1=S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．S1，S2有大小关系不确定

最新考题1.圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）．

A．B．C．D．

2.如图20已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个

圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）

A．B．C．D．

图19图20

过关检测

一、选择题

1.下列图案中，不是中心对称图形的是()

2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）

A．1cmB．2cmC．cmD．cm

3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定

4．如图，为的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为（s）．，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（）

5.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）

A．与轴相离、与轴相切B．与轴、轴都相离

C．与轴相切、与轴相离D．与轴、轴都相切

6如图,若⊙的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且⊙O的半径为2,则CD的长为()A.B.C.2D.4

7．如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点,设，则的取值范围是（）

A．O≤≤B．≤≤C．－1≤≤1D．＞

8．如图，△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR,则∠DOR的度数（）

A.60B.65C.72D.75

9.如图，、、、、相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）

A．B．C．D．

10．古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）

A．B．

C．D．

二、填空题

11.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为.

12．如图，在ΔABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长为cm.

14．相切两圆的半径分别为10和4，则两圆的圆心距是

15如图，AB是圆O的直径，弦AC、BD相交于点E，若∠BEC=60°，C是BD⌒的中点，

则tan∠ACD=．

16.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝＿＿＿＿度．

17如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于

C、D两点，AC＝CD＝DB，分别以C、D为圆心，以CD为半径作圆．

若AB＝6cm，则图中阴影部分的面积为cm2．

18.市园林处计划在一个半径为10m的圆形花坛中，设计三块半径相等且互相无重叠部分的圆形地块分别种植三种不同花色的花卉，为使每种花种植面积最大，则这三块圆形地块的半径为m（结果保留精确值）．

三、解答题

19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．

20如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．

(1)试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：

①你选用的已知数是；②写出求解过程（结果用字母表示）．

分解因式回顾与思考

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家在用心的考虑自己的教案课件。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“分解因式回顾与思考”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

第二章分解因式
回顾与思考
总体说明
本节是因式分解的最后一节，占一个课时，它主要让学生回顾在学习因式分解时用到的几种方法：提公因式法与公式法，加深对整式乘法与因式分解之间是互逆关系的印象，通过螺旋式上升的认识，让学生逐步熟悉运用因式分解的基本技能，加强因式分解在生活中的应用，发展学生的应用能力和逆向思维能力，通过本节课的教学使学生对因式分解能有更深的认识和更强的数学能力及数学素养．

一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深．
学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练使用几种因式分解方法的综合运用．
数学能力：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．

情感与态度：
通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：回顾——辨析——做一做——试一试——想一想——开放题——反馈练习．

第一环节回顾
活动内容：1、你学过哪些因式分解的方法？举一个例子说明其中用到了哪些方法？
2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？
活动目的：学生通过回顾与思考，对因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法有一个更深层次的认识，加深对分解因式与整式乘法的互逆关系的认识与理解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：有了前几节课的学习，学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解．

第二环节辨析题
活动内容：下列哪些式子的变形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：这类习题结果较易分辨，学习完成较好．

第三环节做一做
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）x2+14x+49（2）7x2–63
（3）y2–9（x+y）2（4）（x+y）2–14（x+y）+49
（5）16–（2a+3b）2（6）
（7）a4–8a2b2+16b4（8）（a2+4）2–16a2
活动目的：（1）加强学生对因式分解的基本技能训练；
（2）让学生认识到因式分解一定要分解到不能再分为止．
注意事项：前六题学生完成得较好，但第（7）（8）两小题，有的学生分解的不彻底，这是很多学生经常犯的一种错误，为此，教师在对学生进行相关训练时，应加强引导和启发，防患于未然．

第四环节试一试
活动内容：1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是．
2、如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．

第五环节想一想
活动内容：计算：
1、32004–320032、（–2）101+（–2）100
3、已知x+y=1，求的值．
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，当幂的次数较高时，利用幂的运算等知识无法解决时，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．

第六环节开放题
活动内容：请你出一道含因式分解知识的习题给你的同伴解答．
活动目的：通过开放题的设置，了解学生对因式分解的基本技能的掌握情况，关注学生的数学能力与数学素养的发展，培养学生的开放意识，发展学生有条理的思考和语言表达能力，以及对数学思想方法的正确认识．
注意事项：大多数学生所出的习题都与因式分解的基本技能相关，只是难易程度不同，有少数同学出的习题能与实际生活相结合，体现了这部分同学有较好的数学素养．

第七环节反馈练习
活动内容：1、把下列各式因式分解：
（1）x3y2–4x（2）a3–2a2b+ab2
（3）a3+2a2+a（4）（x–y）2–4（x+y）2
2、填空：
（1）若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2，则这个正方形的边长是；
（2）当k=时，100x2–kxy+49y2是一个完全平方式；
（3）计算：20062–2×6×2006+36=；
3、利用因式分解计算：．
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解基本技能的掌握程度，适合全体学生解答；第2题主要考察学生对因式分解的灵活掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；第3题则把因式分解的灵活运用上升到更新的高度，这适合于程度较好的学生解答．
注意事项：
（1）第2题的第（1）小题中的正方形的面积是边长的平方，即9x2+12xy+4y2是某个多项式的完全平方式，应将9x2+12xy+4y2转换成完全平方的形式，底数就是这个正方形的边长；
（2）第2题的第（2）小题应提醒学生完全平方公式含有两个：两数差的完全平方公式与两数和的完全平方公式；
（3）第3题中的每一个括号都可以运用平方差公式进行因式分解，通分后可以发现这些分数的乘积可以进行特殊运算．
课后练习：课本第61页复习题第2题；
第62页第3题，第4题；
第62页第9题．
思考题：课本第63页联系拓广第13、14题（给学有余力的同学做）

四、教学反思
在传统教育中，人们都感觉到数学并没有什么很大的用途，数学与生活是脱节的，在我们的教学中，很难找到生活的影子，我们的学生只会用所学的知识解答课本中的一些习题，缺乏应用所学的数学知识去解决生活中一些实际问题的主动性与能力，以至在学生的头脑中数学与实际生活经验构成了两个互不相干的认知场．正是这种人为的将数学与生活隔离开来，使得很多学生对数学产生了惧怕的心理．
数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”．
第四环节的两道题的设置有着很浓厚的生活气息，也使学生了解到原来生活中也存在很多数学知识，包括因式分解的知识．培养学生去留心观察我们周围的生活、强调将生活问题带进数学，同时也尝试让学生带着数学走进生活，唯有如此，才能更好地培养学生初步的创新精神和实践能力，才能使学生在情感态度和数学素养等方面都得到充分发展．

分式回顾与思考学案

３.５分式回顾与思考
课型：复习主编：审核：学生姓名：_________
[目标导航]
1、学习目标
（1）知识目标：
①用分式表示生活中的一些量。
②分式的基本性质及分式的有关运算法则。
③分式方程的概念及其解法。
④列分式方程，建立现实情境中的数学模型
（2）能力目标：
①有目的地梳理知识，形成这一章完整的知识体系。
②进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用。
（3）情感目标：
①在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人。
2、学习重点：
①分式的概念及其基本性质。
②分式的运算法则。
③分式方程的概念及其解法
④分式方程的应用
3、学习难点：
①分式的运算及分式方程的解法。②分式方程的应用
一、本章知识结构图.

式子分数分式
A、B是两个整数，B≠0A、B是两个整式，B含有字母，字母的取值应保证B≠0
=
M是不等于零的数，分数基本性质，分数通分M是不等于零的整式，分式基本性质
=
M是不等于零的数，分数基本性质，分数约分M是不等于零的整式，分式基本性质，分式约分
=
分数乘法法则分式的乘法法则
÷=
分数除法法则分式除法法则
±=
同分母分数加减法法则同分母分式加减法法则
±=±=
异分母分数加减法法则异分母分式加减法法则
二、分式概念及运算法则

三、典型例题
例1、当x为何值时，①下列分式有意义；②它的值为零，
（1）；（2）

例２、约分
（1）;（2）

例３、计算：
（1）÷（－）（2）－

例４、解方程=－３

四、课后练习
（一）细心填一填
1、分式，当x=__________时分式的值为零。
2、当x__________时分式有意义。
3、①②。
4、约分：①__________，②__________。
5、计算：__________。
6、一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要__________小时。
7、要使的值相等，则x=__________。
8、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
9、如果=2，则=
10、已知与的和等于，则a=,b=。
（二）用心选一选
11、下列各式：其中分式共有（）个。
A、2B、3C、4D、5
12、下列判断中，正确的是（）
A、分式的分子中一定含有字母B、当B=0时，分式无意义
C、当A=0时，分式的值为0（A、B为整式）D、分数一定是分式
13、下列各式正确的是（）
A、B、C、D、
14、下列各分式中，最简分式是（）
A、B、C、D、
15、下列约分正确的是（）
A、B、C、D、
16、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）
A、千米B、千米C、千米D、无法确定
17、若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）
A、扩大3倍B、不变C、缩小3倍D、缩小6倍
18、若，则分式（）
A、B、C、1D、－1
19、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）
A、B、C、D、
20、=成立的条件是（）
A、x≠0B、x≠1C、x≠0且x≠1D、x为任意实数