第四章统计与概率
§4.150年的变化(二课时)
学习目标:
经历数据的收集、整理,描述与分析的过程,进一步发展统计意识和数据处理能力.通过具体情境,认识一些人为的数据及其表示方式可能给人造成一些误导,提高学生对数据的认识,判断和应用能力.
学习重点、难点:
把握统计图的特点,尤其是折线统计图,其为对应点的连线,数值与点有关,条形统计图两个比较时,单位长度要一致等,便可掌握本节的要求.扇形统计图只能知道各部分所占的比例.
学习方法:
活动——交流.
学习过程:
一、例题分析:
【例1】一文具店老板购进了一批不同价格的书包,它们的售价分别为10元、20元、30元、40元、50元;7天中各种规格书包的销售量依次为6个、17个、15个、9个、3个.这批书包售价的平均数、众数和中位数分别是多少?
【例2】2002年8月,某书店各类图书销售情况如图1.
(1)8月份书店售出各类图书的众数是.
(2)这个月数学书与自然科学书销售量的比是多少?
(3)数学、自然科学、文化艺术、社会百科各类图书的频数大约是.
【例3】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图2所示.
(1)请填写下表:
平均数方差中位数命中9环以上次数
甲71.21
乙5.4
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看;(分析谁的成绩好些)
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看;(分析谁的成绩好些)
④从折线图上两人射击命中环数的走势看.(分析谁更有潜力)
【例4】如图3是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图,其中有关环境保护问题的电话最多,共60个.请回答下列问题:
(1)本周“百姓热线”共接到热线电话多少个?
(2)有关道路交通问题的电话有多少个?
【例5】华山鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况,对永红中学初二(1)班的20名男生所穿鞋号统计如下表:
鞋号23.52424.52525.526
人数344711
那么这20名男生鞋号数据的平均数是,中位数是;在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是.
【例6】某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试,考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级.为了了解电脑培训的效果,用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级,所绘制的统计图如图4所示.试结合图示信息回答下列问题:
(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是,培训后考分的中位数所在的等级是.
(2)这32名学生经过培训,考分等级“不合格”的百分比由下降到.
(3)估计该校整个初二年级中,培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有名.
(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?
【例7】为估计一次性木质筷子的用量,1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本,这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为:0.6,3.7,2.2,1.5,2.8,1.7,1.2,2.1,3.2,1.0.
(1)通过对样本的计算,估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子;(每年按350个营业日计算)
(2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒,求该县1999年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率;(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)
(3)在(2)的条件下,若生产一套中小学生桌椅需木材0.07m3,求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅;(计算中需要的有关数据为:每盒筷子100双,每双筷子的质量为5克,所用木板的密度为0.5×103千克/m3)
(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识去做,简要地用文字表述出来.
二、课内练习:
1.某餐厅共有7名员工,所有员工的工资情况如下表:
人员经理厨师会计服务员
人数1213
工资额1600600520340
则餐厅所有员工工资的众数、中位数是()
A.340,520B.520,340C.340,560D.560,340
2.小明将他的8次英语测验成绩按顺序绘成了2张统计图(图5),来观察近期自己的学习情况和成绩进步情况.
(1)甲图和乙图给人造成的感觉各是什么?
(2)若小明想向他的父母说明他英语成绩在努力后的提高情况,他将向父母展示哪一个统计图,为什么?
三、课后练习:
1.若某同学想反映统计数据中各数据的变化规律,他应选用统计图.此外,我们还学过、统计图.它们的特点分别是.
2.某厂家统计了两种不同规格的汽车近两年销售量的变化情况,为了较为直观地比较两个统计量的变化速度,在绘制折线统计图时,我们应注意.
3.小明连续几次数学考试成绩为3次70分、2次80分、1次90分,则他的平均成绩约为;如果他想告诉妈妈较好成绩,则他可选用数.
4.2002年世界杯足球赛时,中国队首场比赛的首发阵容名单和他们的身高如下表所示:
姓名江津李玮峰范志毅吴承瑛孙继海李铁马明宇李小鹏徐云龙杨晨郝海东
身高(m)1.981.821.831.831.831.831.761.821.811.851.80
则这些运动员的身高的众数和中位数分别是、.
5.图6是小瑛和小鹏零花钱中用于买书上的花费情况.你能从中判断出谁在买书上的花费多吗?若不能,你还需的数据有.
6.2003年,在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情,在党和政府的正确领导下,较快地疫情得到有效控制.图7是2003年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图(数据来源:卫生部每日疫情通报).从图中,可知道:
注:上图中从左到右的点依次表示数据:
1871761811631601381591481188569758055
(1)5月6日新增确诊病例人数为人;
(2)在5月9日至5月11日三天中,共新增确诊病例人数为人;
(3)从图上可看出,5月上半月新增确诊病例总体呈趋势.
7.为了调查某一路口某时段的汽车流量,记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中2天是142辆,2天是145辆,6天156辆,5天157辆,那么这15天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为()
A.146B.150C.153D.600
8.某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售总额,统计了这15人某月的销售量如下表:
每人销售件数1800510250210150120
人数113532
经计算,这15位营销员该月销售量的平均数是320(件),中位是210(件),众数是210件.假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件,你认为是否合理,为什么?
9.阅读下列材料:
图8表示我国农村居民的小康生活水平实现程度.
地处西部某贫困县,农村人口约50万,2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68%,即没有达到小康程度的人口约为(1-68%)×50万=16万.
解答下列问题:
(1)假设该县计划在2002年的基础上,到2004年度,使没有达到小康程度的16万农村人口降至10.24万,那么平均每年降低的百分率是多少?
(2)如果该计划实现,2004年底该县农村小康进程接近图4-1-12中哪一年的水平.(假设该县人口2年内不变)
10.恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平、各种类的恩格尔系数如下表所示:
家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭发达国家
家庭最富裕国
家家庭
恩格尔系数n75%以上50%~75%40%~49%20%~30%30以下
则用n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为.
11.改革开放以来,我国国民经济保持良好发展势头,国内生产总值持续较快增长,图9是1998年~2002年国内生产总值统计图.根据图中信息,解答下列问题:
(1)1999年国内生产总值是;
(2)已知2002年国内生产总值比2000年增加12956亿元,2001年比2000年增加6491亿元,求2002年国内生产总值比2001年增长的百分率.(结果保留两个有效数字)
12.据信息产业部2003年4月公布的数字显示,我国固定电话和移动电话用户近年来都有大幅度增加,移动电话用户已接近固定电话用户.根据图10所示,我国固定电话从年至年的年增加量最大;移动电话从年至年的年增加量最大.
13.图11是某报纸公布的我国“五九”期间国内生产总值的统计图,那么“九五”期间我国国内生产总值平均每年比上一年增长()
A.0.575万亿元B.0.46万亿元C.9.725万亿元D.7.78万亿元
14.某公司的33名职工的月工资如下:
职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员
人数/人11215320
工资/元5500500035003000250020001500
(1)请你选择一个统计量(平均数、中位数或众数)来代表这个公司员工的工资水平;
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?简要地说明理由.
15.图12是根据某市1999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图.观察统计图可得:增长幅度最大的年份是年,比它的前一年增加亿元.
16.小明把自己一周的支出情况,用图13所示的统计图来表示,下面说法正确的是()
A.从图中可以直接看出具体消费数额
B.从图中可以直接看出总消费数额
C.从图中可以直接看出各顶消费数额占总消费数额的百分比
D.从图中可以看接看出各顶消费数额在一周中的具体变化情况
17.在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶.图14是其中的甲、乙两段台阶路的示意图.
注:图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数据15,16,16,14,14,15的方差S=,数据11,15,18,17,10,19的方差S=.
请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路,对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
18.贵阳市是我国西部的一个多民族城市,总人口数为370万(2000年普查统计),图15、图16是2000年该市各民族人口统计图.请你根据图15、图16提供的信息回答下列问题:
(1)2000年贵阳市少数民族总人口数是多少?
(2)2000年贵阳市总人口中苗族占的百分比是多少?
(3)2002年贵阳市参加中考的学生约40000人,请你估计2002年贵阳市参加中考的少数民族学生人数.
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第1章反比例函数
1.1反比例函数
教学目标
【知识与技能】
理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.
【情感态度】
培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.复习小学已学过的反比例关系,例如:
(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)
(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)
2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?
【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.
二、思考探究,获取新知
探究1:反比例函数的概念
(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.
(2)利用(1)的关系式完成下表:
(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?
(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?
(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?
【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.
【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t0.
【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P3例题.
2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?
(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;
(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;
(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.
分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=(k是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.
解:
(1)a=12/h,是反比例函数;
(2)F=pS,是正比例函数;
(3)F=W/s,是反比例函数;
(4)y=m/x,是反比例函数.
3.当m为何值时,函数y=是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m的值.解:由反比例函数的定义可知:2m-2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=.
4.当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时,ρ=1.98kg/m3
(1)求p与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)求V=9m3时,二氧化碳的密度.
解:略
5.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19.求y与x间的函数关系式.
分析:y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.
解:因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2=,而y=y1+y2,所以y=k1x+,当x=2与x=3时,y的值都等于19.
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.
教学反思
学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
1.2反比例函数的图象与性质
第1课时反比例函数的图象与性质(1)
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索.
【情感态度】
通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.
【教学重点】
画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.
【教学难点】
理解反比例函数的性质,并能灵活应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.
二、思考探究,获取新知
探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
(1)列表:取自变量x的哪些值?
x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.
思考:
(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?
(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=的图形,并思考下列问题:
(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?
(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?
【归纳结论】一般地,当k0时,反比例函数y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.
探究3:反比例函数y=-的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:
(1)可以用画反比例函数y=-的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;
(2)可以通过探索函数y=与y=-之间的关系,画出y=-的图象.
【归纳结论】一般地,当k0时,反比例函数y=的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.
探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-与y=的图象有什么共同特征?
【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.
【归纳结论】反比例函数y=(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k0时,图象在一、三象限;当k0时,图象在二、四象限.反比例函数y=与y=-(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.
【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.
三、运用新知,深化理解
1.教材P9例1.
2.如果函数y=2xk+1的图象是双曲线,那么k=.
【答案】-2
3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.
【答案】1,2
4.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=的图象在第象限.
【答案】二、四
5.反比例函数y=的图象大致是图中的().
解析:因为k=10,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.
【答案】C
6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()
【答案】C
7.已知函数为反比例函数.
(1)求m的值;
(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?
(3)当-3≤x≤-时,求此函数的最大值和最小值.
8.作出反比例函数y=的图象,并根据图象解答下列问题:
(1)当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求x的值;
(3)当y>2时,求x的范围.
解:列表:
由图知:
(1)y=3;
(2)x=-6;
(3)0<x<6
9.作出反比例函数y=-的图象,结合图象回答:
(1)当x=2时,y的值;
(2)当1<x≤4时,y的取值范围;
(3)当1≤y<4时,x的取值范围.
解:列表:
由图知:
(1)y=-2;
(2)-4<y≤-1;
(3)-4≤x<-1.
【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.
教学反思
通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.
第2课时反比例函数的图象与性质(2)
教学目标
【知识与技能】
1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
【教学重点】
会求反比例函数的解析式.
【教学难点】
反比例函数图象和性质的运用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?
【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.
二、思考探究,获取新知
1.思考:已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4)
(1)求k的值,并写出该函数的表达式;
(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;
(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?
分析:
(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
2.下图是反比例函数y=的图象,根据图象,回答下列问题:
(1)k的取值范围是k0还是k0?说明理由;
(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:
(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k0.
(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-30,-20.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1y2.
【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.
三、运用新知,深化理解
1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-上,则y1、y2中较小的是.
【答案】y2
2.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有().
A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0
【答案】A
3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是()
A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定
【答案】D
4.函数y=-的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则()
A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定
【答案】A
5.已知点P(2,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,
(1)当x=-3时,求y的值;
(2)当1<x<3时,求y的取值范围.
6.已知y=(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求a与b的值.
解:
(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-;
(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C(a,2)代入反比例解析式得:2=-,即a=-8.
7.已知反比例函数的图象过点(1,-2).
(1)求这个函数的解析式,并画出图象;
(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
分析:
(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;
(2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
解:
(1)设:反比例函数的解析式为:y=(k≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.所以-2=,k=-2.即反比例函数的解析式为:y=-.
(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-图象上,所以m==,点A的坐标为(-5,).点A关于x轴的对称点(-5,-)不在这个图象上;点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上;点A关于原点的对称点(5,-)在这个图象上;
【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.2”中第7题.
教学反思
教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.
第3课时反比例函数的图象与性质(3)
教学目标
【知识与技能】
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.正比例函数有哪些性质?
2.一次函数有哪些性质?
3.反比例函数有哪些性质?
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究,获取新知
1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y=,其中,k1,k2是常数,且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=解得,k1=k2=-12所以,正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.
【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1=;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2=;S1与S2有什么关系?为什么?
【归纳结论】反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
三、运用新知,深化理解
1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是()
A.3B.-3C.6D.-6
分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|.
解:根据题意可知:S△AOB=|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.
【答案】C
2.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为()
A.B.2C.3D.1
分析:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可得出结论.
解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,
S△BOC=1,∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2.
【答案】B
3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=的交点为B(-2,m)和C,求k、b的值.
解:点A(3,0)在直线y=x+b上,所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析式为:y=x-3.又因为点B(-2,m)也在直线y=x-3上,所以m=-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=上,所以k=-2×(-5)=10.
4.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x-1的图象交于A(2,1).
(1)分别求出这两个函数的解析式;
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:
(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.
解:
(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.
1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=;一次函数解析式为:y=x-1.
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y==-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.
5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-的图象上.
(1)求a的值.
(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.
(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.
(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.
分析:
(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.
(2)由(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.
一次函数和反比例函数的图象为:
(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.
(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.
或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.
6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点.
(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.
分析:
(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题1.2”中第6题.
通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:
教学反思
1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.
2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.
1教学分析
知识与能力
了解工业化国家的社会变化,如人口增长、大众教育的兴起、城市化等;认识城市化和工业化过程中出现的问题,分析原因,提升分析问题的能力
过程与方法
通过引导学生阅读教材和相关史料,加深对工业革命引起深层变化的认识
情感态度与价值观
既要认识到工业化给人类社会带来经济繁荣的一面,也要认识到工业化带来的弊端,树立全面科学发展的观点和环保意识
教学重点:人口增长和大众教育
教学难点:城市化以及出现的社会问题
2教学过程
一、导入新课
日前,中国气象局发布2018年《中国气候变化蓝皮书》。《蓝皮书》指出,气候系统的综合观测和多项关键指标表明:全球变暖趋势仍在持续。2017年,全球表面平均温度比1981年至2010年平均值(14.3℃)高出0.46℃,比工业化前水平(1850年至1900年平均值)高出约1.1℃,成为有完整气象观测记录以来的第二暖年份,也是有完整气象观测记录以来最暖的非厄尔尼诺年份。
究竟是什么导致了全球气候变暖呢?人类工业文明时代带来哪些社会问题?我们应该如何处理工业化建设与人类生态环境保护之间的关系?
二、新课讲授
目标导学一:工业化带来人口增长和大众教育的兴起
1.阅读教材和图文史料,分析工业革命与人口增长的关系。
2.阅读教材和图文史料,分析工业革命与劳动力结构的关系。
1841—1877年英国产业结构和劳动力结构变化
教师引导分析:由于工业革命的推动,引起英国劳动力结构和产业结构的变化。和1841年相比,1877年从事农业生产的人口占比下降到14%,从事服务业的人口占比下降到31%,而从事工业生产的人口占比上升到55%。
总结:随着工业革命的发展,工人阶级队伍不断壮大,劳动力结构发生了巨大变化,越来越多的人放弃农业生产,专门从事工业和商业。
3.阅读教材,说说大众教育的兴起与影响。
目标导学二:城市化
1.阅读教材,了解城市化兴起的主要原因。
提示:工业革命开始后,随着工业和商业的发展,农村人口不断流向城市,城市越来越大。
2.读教材和材料,了解城市化兴起带来的变化特征(以中国为例)。
提示:中国改革进程:“工业化超前,城市化滞后”是一个显著特征,工业化是主导,城市化是附属。但是,从工业化到城市化的拐点在2013年已经发生,集聚的模式已经开始发生变化。以前是工业化主导、城市化为辅,以后应该是城市化为主、工业化为辅,逐步进行产业升级。
归纳总结:工业化初期,城市通常缺乏统一的规划。城市的环境很差。19世纪中期以后,城市的环境开始得到改善,人们的生活方式也在发生着变化。
目标导学三:工业化过程中出现的社会问题
1.阅读教材和图文史料,说说工业化过程中的社会矛盾。
材料展示:在工业革命条件下,广大工人每天在恶劣的环境中长时间从事高强度的劳动,获得的收入却难以糊口,他们对不公平的社会现状越来越不满。
设问:材料主要反映了什么问题?
提示:在工业革命条件下,工人阶级工作环境恶劣,工人生活日益困苦,贫富差距在扩大。
总结:工业革命后,产生了无产阶级和资产阶级两大对立阶级,他们之间矛盾不断激化,工人阶级开始了反对资产阶级的斗争。
2.读教材和材料,说说工业革命出现的环境问题。
材料展示:近100多年来,全世界已发生数十起环境污染造成的严重公害事件,如英国伦敦曾多次发生的煤烟型烟雾事件,美国洛杉矶的光化学烟雾事件,日本水俣湾的慢性甲基汞中毒(水俣病)和神通川流域的慢性镉中毒等。近年来发生的严重环境污染事件还有:1984年12月3日印度博帕尔(Bhopal)市农药厂异氰酸甲酯毒气泄露事件造成严重环境污染,有数万人中毒,数千人死亡,并使当地的生态环境遭受严重破坏。1986年4月26日前苏联的切尔诺贝利(现位于乌克兰)核电站爆炸事件,不仅对当代的人体健康带来极大威胁,对后代和生态环境也造成了严重影响,10多年来因这次事故已造成约6000人死亡。从上世纪初至今,全世界发生公害事件60多起,公害病患者达40万—50万人,死亡10多万人。
设问:材料说明了什么问题?我们应该如何面对?
提示:(1)自工业化以来就逐渐形成了环境污染问题,积弊深远。环境污染主要表现在大气污染、水体污染、噪音污染等。(2)由于环境污染而形成的问题,已经威胁人类生存和发展,因此构建生态文明、倡导“绿水青山”即为“金山银山”的发展理念已成为更多人的共识。坚持经济建设与环境保护协调发展和可持续发展道路。(类似亦可)
三、课堂总结
工业革命创造了巨大生产力,促进了世界经济快速发展,主要资本主义国家先后成为先进的工业国。伴随工业化的发展,出现了人口增长和产业结构的变化,与之相适应的是欧洲国家大众教育兴起,城市化进程不断加快。但是随着工业革命的发展,也产生了一系列社会问题,如贫富分化加剧、工人阶级与资产阶级矛盾加深和环境污染等问题。
3板书设计
4教学反思
历史教学作为一门语言的教学,其主要是培养学生的言语技能,即运用语言的能力,因此其课堂教学具有不同于其他课程课堂教学的特点。教师通过对新课标的学习,根据中学教材的内容编排突出了对这种能力的培养,采取了指导性的学案模式,强调师生之间、学生之间的双向运用,增强课堂教学的有效性,历史的课堂教学应当反映这种特点,以用为主,树立一种“大历史教学观”,使有效教学的目的和要求真正落到实处。
文章来源:http://m.jab88.com/j/70391.html
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