第24讲圆的有关性质
[锁定目标考试]

考标要求考查角度
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.
[导学必备知识]
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧；
(3)________相等的两个圆是等圆；
(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．
二、垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________．
4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
四、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
自主测试
1．(2012重庆)如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
2．(2012山东泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()
A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
5．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝23，OC＝1，则半径OB的长为__________．
6．(2012山东青岛)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__________°.
[探究重难方法]

考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()
A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米
分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，设OE=x，则OF=x-1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.
解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝12AB＝3，CF＝12CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4.
∴半径OA＝32＋42＝5.∴直径MN＝2OA＝10(分米)．
故选C．
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD．
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
解：(1)证明：∵AB＝BC，
∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．
(2)由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BEBD＝3×9＝27.∴AB＝33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为()
A．40°B．50°C．80°D．90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝()
A．116°B．32°C．58°D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD．还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.
[品鉴经典考题]

1．(2012湖南湘潭)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()
A．20°B．40°C．50°D．80°
2．(2012湖南益阳)如图，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝__________.
3．(2012湖南娄底)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__________.
4.(2012湖南长沙)如图，点A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD．
5.(2012湖南怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD，DB．
(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
(2)若AC＝23，求证：△ACD∽△OCB．
[研习预测试题]

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为()
A．5B．4C．3D．2
2.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()
A．12B．34C．32D．45
3.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()
A．16B．10C．8D．6
4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为()
A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位
5．如图，已知在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝________.
6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________．
8.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：
(1)△ABD为等腰三角形；
(2)ACAF=DFFE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心半径
2．(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合
二、1.平分平分
2．(1)不是直径(2)圆心两条
3．相等
三、1.相等相等
四、1.圆心圆相交
2．(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径
导学必备知识
自主测试
1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°.故选A.
2．D∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；
B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D.
3．B∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，
∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.
4．8如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案为8.
5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，
∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，
OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2.
故答案为2.
6．150因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.
探究考点方法
触类旁通1.24连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24cm.
触类旁通2.B由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鉴经典考题
1．D∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝40°.
∴∠BOD＝2∠C＝2×40°＝80°.
2．120°∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°.
3．24°连接OB，∵CD⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝48°.
∴∠BDC＝12∠BOC＝12×48°＝24°.
4．(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于点D，∴OD＝12OB＝4.
5.(1)解：连接OA.
∵∠ADC=18°，
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
在Rt△OBE中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴BE＝OBcos30°＝4×32＝23.
∵OE⊥AB，∴AB＝2BE＝43.
∵AC＝23，∴C，E重合．
∴∠ACD＝∠OCB＝90°，
∠AOC＝∠COB＝90°－∠OBC＝60°.
∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.
∴∠ADC＝∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1．C2.C3.A4.B
5．150°6.18°
7.52连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，
∴AD=4.∴AE=52.
8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，∠CDB＝∠FDA，
∴＝，∴CD＝DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE＝CDAF，
∴ACAF＝CDFE.
而CD＝DF，∴ACAF＝DFFE.

扩展阅读

初三数学圆的有关计算总复习

第26讲圆的有关计算
[锁定目标考试]

考标要求考查角度
1.会计算圆的弧长和扇形的面积．
2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．
3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.
[导学必备知识]

知识梳理
一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝12lr；扇形的周长＝2r＋l.
二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
三、正多边形和圆
1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．
2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．
3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．
4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．
温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．
(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
四、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
自主测试
1．已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是()
A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2
2．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为()
A．15πcm2B．30πcm2C．60πcm2D．391cm2
3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()
A．120°B．180°C．240°D．300°
4．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.
(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
[探究重难方法]

考点一、弧长、扇形的面积
【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为()
A．43cmB．8cmC．163πcmD．83πcm
解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°.
又AC＝4，
∴的长l＝120×π×4180＝83π(cm)．故选D．
答案：D
方法总结当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝nπr2360，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝12lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝nπr180.
触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是()
A．24πB．36πC．48πD．72π
考点二、圆柱和圆锥
【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是()
A．5πB．4πC．3πD．2π
解析：侧面积是：12×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C．
答案：C
方法总结圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
触类旁通2如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.
考点三、阴影面积的计算
【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝12DE＝3.
∵DE平分AO，∴CO＝12AO＝12OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE中，OE＝CEcos30°＝332＝2.
∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF，如图所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝90360×π×22＝π，S△OEF＝12×OE×OF＝12×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法总结阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：
(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
[品鉴经典考题]

1.(2012湖南娄底)如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是()
A．4πB．3πC．2πD．π
2．(2012湖南长沙)在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.
3．(2012湖南张家界)已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为__________．
4．(2012湖南郴州)圆锥底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2.(结果保留π)
5．(2012湖南衡阳)如图，已知⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，是劣弧的长为__________cm.
6.(2012湖南岳阳)如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与弦AB交于点F，连接BC．
(1)求证：AC2＝ABAF；
(2)若⊙O的半径为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．
[研习预测试题]

1.如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长为()
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
2．已知圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为()
A．48cm2B．48πcm2C．120πcm2D．60πcm2
3．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PC＝23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是()
A．4＋6πcmB．5cmC．35cmD．7cm
4．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为()
A．6cmB．35cmC．8cmD．53cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以12AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．
6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________cm2.
7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是AB的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．
参考答案
【知识梳理】
一、1.nπr1802.nπr2360
二、1.矩形周长高h
2．扇形周长母线长
三、1.相等也相等
2．各个顶点
3．外接圆外接圆
4．距离
5．外接圆360°n
导学必备知识
自主测试
1．B
2．B因为底面半径为3cm，则周长为6πcm，
所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．
3．B设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为12×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，
所以n＝180°.
4．24240π
5．解：(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝12OC＝1，∴CE＝32OC＝3，
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝23.
(2)∵S△ABC＝12ABCE＝12×4×3＝23，
∴S阴影＝12π×22－23＝2π－23.
探究考点方法
触类旁通1.CS＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.
触类旁通2.4因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4(cm)．
品鉴经典考题
1．D由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的14，即14π422＝π.
2.23πl＝nπr180＝120π1180＝23π.
3．50πS侧＝πrl＝π×5×10＝50π.
4．27πS侧＝πrl＝π×3×9＝27π.
5．2π连接AO，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC的长为60π×6180＝2πcm.
6．解：(1)证明：∵，∴∠ACF＝∠ABC.
∵∠A＝∠A，∴△ACF∽△ABC.∴ACAB＝AFAC.
∴AC2＝ABAF.
(2)连接OA，OC，作OE⊥AC，垂足为点E，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°.
∴∠OAE=∠OCE=30°.
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2，
∴OE＝1，AE＝3.
∴AC＝2AE＝23.
∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝120×π×22360－12×23×1＝43π－3.
研习预测试题
1．B2.D3.B
4．B留下的扇形的弧长为1－13×2×π×9＝12π，
所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.
则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.
而圆锥的母线长为9，
所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝35(cm)．
5．8－2π6.2π7.25π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝2.5.
(2)∠A＝12∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sinA＝OEOA，∴OA＝2.5sin25°.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的长＝130×2.5π180sin25°≈13.4.

九年级数学圆复习

九年级数学期末复习（3）---圆

班级学号姓名

【导学提纲】

1.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）

A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定

2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）

3.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）

A.8B.4C.10D.5

4.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D=50°，则∠C的度数是（）

A.25°B.40°C.30°D.50°

5.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是（）

A.52°B.76°C.26°D.128°

6.如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为．

7.如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝，则线段BC的长度等于．

【展示交流】

例1.如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D.求证：（1）BD是⊙O的切线（2）

例2.如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（l）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是⊙的切线.

例3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

（1）求证：BC=CD；

（2）求证：∠ADE=∠ABD；

（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．

【反馈练习】

1.⊙O的半径r=10cm，圆心到直线a的距离OM=8cm，在直线a上有一点P，且PM=6cm，则点P（）

A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能⊙O内也可能在外

2.三角形内切圆的圆心是这个三角形的()

A．三条中线的交点B.三条角平分线的交点

C．三条高的交点D.三边的垂直平分线的交点

3.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=3，则AD的值为（）

A.6B.35C.5D.33

4.如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）

A.12B.1C.2D.3

5.已知O半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则O上有且只有个点到直线AB的距离为3.

6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是⊙O上（不与B、C重合）的一个动点，∠BPC=.

7.已知圆O的半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为.

8.如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.

9.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD；

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

10.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，

求证：（l）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC．

11.已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：是线段AF的中点；

（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．

九年级数学《圆的基本性质》知识点复习

九年级数学《圆的基本性质》知识点复习

一、圆

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、圆形的旋转

1.图形的旋转

(1)定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

(2)生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

(4)会找对应点，对应线段和对应角。

三、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

四、圆心角

(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.

(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.

(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.

五、圆周角

有关计算公式

①L(弧长)=n/180Xπr(n为圆心角度数，以下同)；

②S(扇形面积)=n/360Xπr

③扇形圆心角n=(180L)/(πr)(度)。

④K=2Rsin(n/2)K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

六、圆内接四边形

四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

性质

1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。(托勒密定理)

七、正多边形

重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

正多边形的中心：所有对称轴的交点;

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

八、弧长及扇形的面积

弧长公式：n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度。

l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。

在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式L=Rθ。

文章来源：//m.jab88.com/j/68520.html

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