第24讲圆的有关性质
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.理解圆的有关概念和性质,了解圆心角、弧、弦之间的关系.
2.了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系,掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质,与垂径定理有关的计算,与圆有关的角的性质及其应用.题型以选择题、填空题为主.
[导学必备知识]
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做________,定长叫做________;
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆,定点叫做圆心,定点与动点的连线段叫做半径.
2.圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦;
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧,简称弧;
(3)________相等的两个圆是等圆;
(4)在同圆或等圆中,能够互相________的弧叫做等弧.
3.圆的对称性
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;
(2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
(3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性.
二、垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦,并且________弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过________,并且平分弦所对的________弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3.推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________.
4.(1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项.
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧________,所对的弦________.
2.推论
同圆或等圆中:(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
四、圆心角与圆周角
1.定义
顶点在________上的角叫做圆心角;顶点在________上,角的两边和圆都________的角叫做圆周角.
2.性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数.
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.
(3)同弧或等弧所对的圆周角________,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________.
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______,90°的圆周角所对的弦是________.
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
自主测试
1.(2012重庆)如图,已知OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为()
A.45°B.35°C.25°D.20°
2.(2012山东泰安)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是()
A.CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MD
3.(2012浙江湖州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是()
A.45°B.85°C.90°D.95°
4.(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
5.(2012四川成都)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB=23,OC=1,则半径OB的长为__________.
6.(2012山东青岛)如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOC=60°,则∠ABC的度数是__________°.
[探究重难方法]
考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为()
A.6分米B.8分米C.10分米D.12分米
分析:如图,油面AB上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得AE=12AB=3,CF=12CD=4,设OE=x,则OF=x-1,在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,由OA=OC,列方程求x即可求得半径OA,得出直径MN.
解析:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得AE=12AB=3,CF=12CD=4,设OE=x,则OF=x-1,
在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,∵OA=OC,∴32+x2=42+(x-1)2,解得x=4.
∴半径OA=32+42=5.∴直径MN=2OA=10(分米).
故选C.
答案:C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算,常作垂直于弦的直径,利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的.
触类旁通1如图所示,若⊙O的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
解:(1)证明:∵AB=BC,
∴=.∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
(2)由(1)知=,∴∠BAE=∠ADB.
∵∠ABE=∠ABD,∴△ABE∽△DBA.∴ABBE=BDAB.
∵BE=3,ED=6,∴BD=9.
∴AB2=BEBD=3×9=27.∴AB=33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理,提供了从圆心角到弧到弦的转化方式,为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路,解题时要根据具体条件灵活选择应用.
触类旁通2如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°,则∠ABD的度数为()
A.40°B.50°C.80°D.90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD=()
A.116°B.32°C.58°D.64°
解析:根据圆周角定理求得,∠AOD=2∠ABD=116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∠BOD=2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);根据平角是180°知∠BOD=180°-∠AOD.还有一种解法,即利用直径所对的圆周角等于90°,可得∠ADB=90°,则∠DAB=90°-∠ABD=32°,∵∠DAB=∠DCB,∴∠DCB=32°.
答案:B
方法总结求圆中角的度数时,通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系.
触类旁通3如图,点A,B,C,D都在⊙O上,的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD+∠CAO=__________.
[品鉴经典考题]
1.(2012湖南湘潭)如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=()
A.20°B.40°C.50°D.80°
2.(2012湖南益阳)如图,点A,B,C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC=__________.
3.(2012湖南娄底)如图,⊙O的直径CD垂直于AB,∠AOC=48°,则∠BDC=__________.
4.(2012湖南长沙)如图,点A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
5.(2012湖南怀化)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD,DB.
(1)当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数;
(2)若AC=23,求证:△ACD∽△OCB.
[研习预测试题]
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么线段OE的长为()
A.5B.4C.3D.2
2.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为()
A.12B.34C.32D.45
3.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是()
A.16B.10C.8D.6
4.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为()
A.12个单位B.10个单位C.4个单位D.15个单位
5.如图,已知在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,则∠D=________.
6.如图,过A,C,D三点的圆的圆心为E,过B,F,E三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°,那么∠DBE=__________.
7.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=42,则⊙O的直径等于________.
8.如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于点E.求证:
(1)△ABD为等腰三角形;
(2)ACAF=DFFE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心半径
2.(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合
二、1.平分平分
2.(1)不是直径(2)圆心两条
3.相等
三、1.相等相等
四、1.圆心圆相交
2.(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径
导学必备知识
自主测试
1.A∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,
∴∠ACB=45°.故选A.
2.D∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,
∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;
B为的中点,即CB=DB,选项B成立;
在△ACM和△ADM中,
∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM,
∴△ACM≌△ADM(SAS),
∴∠ACD=∠ADC,选项C成立;
而OM与MD不一定相等,选项D不成立.
故选D.
3.B∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,∴∠ABD=45°.∵∠C=50°,
∴∠D=50°,∴∠BAD的度数是180°-45°-50°=85°.
4.8如图所示,在⊙O中,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.
∵钢珠的直径是10mm,
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,
∴OD=3mm.
在Rt△AOD中,
∵AD=OA2-OD2=52-32=4(mm).
∴AB=2AD=2×4=8(mm).
故答案为8.
5.2∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,AB=23,
∴BC=12AB=3.∵OC=1,∴在Rt△OBC中,
OB=OC2+BC2=12+(3)2=2.
故答案为2.
6.150因为∠AOC=60°,则它所对的弧度为60°,所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角,所以∠ABC=150°.
探究考点方法
触类旁通1.24连接OA,当OP⊥AB时,OP最短,此时OP=5cm,且AB=2AP.在Rt△AOP中,AP=OA2-OP2=132-52=12,所以AB=24cm.
触类旁通2.B由题意,得∠A=∠C=40°,由直径所对的圆周角是直角,得∠ADB=90°,根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A+∠ABD=90°,从而得∠ABD=50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°,所以∠COD=84°.因为OC=OD,所以∠OCD=48°.因为CA是∠OCD的平分线,所以∠ACD=∠ACO=24°,因为OA=OC,所以∠OAC=∠ACO=24°,因为∠ABD=∠ACD=24°,所以∠ABD+∠CAO=48°.
品鉴经典考题
1.D∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=40°.
∴∠BOD=2∠C=2×40°=80°.
2.120°∠BOC=2∠A=2×60°=120°.
3.24°连接OB,∵CD⊥AB,∴∠BOC=∠AOC=48°.
∴∠BDC=12∠BOC=12×48°=24°.
4.(1)证明:∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠APC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:如图,连接OB,则OB=8,∠OBD=30°.
又∵OD⊥BC于点D,∴OD=12OB=4.
5.(1)解:连接OA.
∵∠ADC=18°,
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB,
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明:过点O作OE⊥AB于点E.
在Rt△OBE中,OB=4,∠OBC=30°,
∴BE=OBcos30°=4×32=23.
∵OE⊥AB,∴AB=2BE=43.
∵AC=23,∴C,E重合.
∴∠ACD=∠OCB=90°,
∠AOC=∠COB=90°-∠OBC=60°.
∴∠ADC=12∠AOC=30°.
∴∠ADC=∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1.C2.C3.A4.B
5.150°6.18°
7.52连接AO并延长交圆于点E,连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD,
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中,AC=5,DC=3,
∴AD=4.∴AE=52.
8.证明:(1)由圆的性质知∠MCD=∠DAB,∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,
∴∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
(2)∵∠DBA=∠DAB,∴=.
又∵BC=AF,∴=,∠CDB=∠FDA,
∴=,∴CD=DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知,
∠AFE=∠DBA=∠DCA,①
∠FAE=∠BDE.
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE,②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE=CDAF,
∴ACAF=CDFE.
而CD=DF,∴ACAF=DFFE.
1、使学生能在证题或计算中熟练应用和圆有关的比线段.
2、培养学生对知识的综合运用.
3、训练学生注意新旧知识的结合,不断提高综合运用知识的能力;
4、学会分析一些基本图形的结构及其所具有的关系式;
5、善于总结一些常见类型的题目的解法和常用的添加辅助线的方法.
教学重点:
指导学生分析好题目,找出正确的解题思路.
教学难点:
将和圆有关的比例线段结合原有知识的过程中,学生的分析不到位,很容易对题目产生无从入手的感觉.
教学过程:
一、新课引入:
我们已经学习了和圆有关的比例线段,现在我们将综合这一部分知识,结合原有知识解决一些几何问题.
在证明线段相等、角相等、线段成比例等问题中,相交弦定理和切割线定理同切线长定理、弦切角定理一样重要.这两个定理并不难掌握,由于习题的综合性,故对于一些知识点较多、运用知识较灵活的习题中,大家证起来往往感到困难,因此除了复习好原有知识外,更重要的是搞好题目分析,这是证题关键.就本课P.129例4,指导学生搞好题目分析,并完成证明.
二、新课讲解:
P.129例4如图7-90,两个以O为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D、E.AB=12,AO=15,AD=8.
求:两圆的半径.
分析:题目要求的圆半径显然应该连结过切点的半径OB、OC.由切线的性质知∠ABO=∠ACO=Rt∠,因此OB,OC分别是Rt△的一边,利用勾股定理计算是最直接了当的了.(1)在Rt△ABO中,已知AB、AO,故BO可求.(2)OC在Rt△ACO中,仅知道AO的长,必须得求出AC,才可以求OC.
AC是大⊙O的割线ADE的一部分.AC=AD=DC,AD已知,只
所以应该先求AE.在大⊙O中,由切割线定理:AB2=AD·AE,AE可求,则DC可求,AC可求,从而OC可求.
解:连结OB、OC.
练习一,P.130中1、如图7-91,P为⊙O外一点,OP与⊙O交于点A,割线PBC与⊙O交于点B、C,且PB=BC.如图OA=7,PA=2,求PC的长.
此题中OP经过圆心O,属于切割线定理的一种基本图形.辅助线是延长PO交⊙O于D,由于半径OA已知,所以PD已知,而已知PB=BC,则由切割线定理的推论,可先求出PB,PC亦可求.
解:延长PO交⊙O于D.
PBC、PAD都是⊙O的割线
PB·2PB=2×16
PC=8
练习二,P.130中2.已知:如图7-92,⊙O和⊙O′都经过A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M,交AB的延长线于N.求证:PN2=NM·NQ.
观察图形,要证的数量关系中,线段属于不同的两圆,NP是⊙O的切线,NMQ是⊙O′的割线,能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA.具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件.
练习三,如图7-93,四边形ABCD内接于⊙O,AB长7cm,CD=10cm,AD∶BC=1∶2,延长BA、CD相交于E,从E引圆的切线EF.求EF的长.
此题中EF是⊙O的切线,由切割线定理:EF2=ED·EC=EA·EB,故要求EF的长,须知ED或EA的长,而四边形ABCD内接于⊙O,可
EB长为2x,应用割线定理,可求得x,于是EF可求.
证明:四边形ABCD内接于⊙O
△EAD∽△ECB
EB=2x
x(x+10)=(2x-7)·2x
x=8
EF2=8×(8+10)
EF=12
答:EF长为12cm.
三、课堂小结:
让学生阅读P.129例4,并就本节内容总结出以下几点:
1.要经常复习学过的知识,把新旧知识结合起来,不断提高综合运用知识的能力.
2.学习例题时,不要就题论题,而是注重研究思路、体会和掌握方法,学会分析问题和解决问题的一般方法.
3.学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式.
4.总结规律:本课练习3以方程的思想方法为指导,利用代数方法,即通过方程或方程组的求解解决所求问题,设未知数时,可直接或间接设,本题属于间接设.列方程或方程组时,寻求已知量与未知量之间的关系.而几何定理是列方程的根据.本题方程是根据割线定理列出.
四、布置作业:
1.教材P133中12、13.2.P.133至P.134中1、2、3、4、5.
文章来源:http://m.jab88.com/j/75563.html
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