第一章《分解因式》复习
课型:复习学生姓名:_______________
一、知识网络图
二、思想方法
复习本章知识应注意领会以下几种思想方法的运用:
1.观察、试验的思想方法观察、试验是一种基本的研究方法,它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路.用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算,而是需要根据所给多项式的特点进行观察,试验才能解决。
2.整体思想有些多项式,表面上看较复杂,若能注意到题目中的整体所在,利用整体思想去把握,则能化繁为简,化难为易。
3.逆向思维的方法整式的乘法与分解因式的学习过程中,同学们可以仔细体会。
4.类比思想数学问题的相似性在数学中普遍存在.根据多项式与多项式之间的异同点,抓住其本质特征,运用类比思想去处理,则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。
三、知识梳理
1.了解分解因式:把一个多项式化成几个______________的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法______________。
如:判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式:
①()②()
③()④()
2.提公因式法分解因式:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式的乘积,这种分解因式的方法叫做___________________。
如:分解因式:=________________;=________________;
3.公式法分解因式:如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式①②
4.十字相乘法分解因式:逆用整式的乘法公式:(x+a)(x+b)=,用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式:①②
5.分解因式的一般步骤:首先提取公因式;然后运用_____________;
如:①②③
四、常见错误:
1.概念不辨,错误出现:错解:.
2.公式不清,错误入侵:错解:(1);(2).
3.提公因式后,“1”被遗弃:错解:.
4.混淆变形,无中生有:错解:.
5.画蛇添足,背道而驰:错解:
五、典型题析
例1把下列各式因式分解
(1)
(2)
分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。
(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n为自然数时,,是在因式分解过程中常用的因式变换。
例2简化计算过程:计算
分析:算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果
例3把分解因式
分析:多项式有公因式时需先提取公因式,再利用平方差公式分解,且要分解到不能再分解为止
例4运用整体思想解决问题:
不解方程组,求代数式的值
分析:不要求解方程组,我们可以把和看成整体,它们的值分别是3和,观察代数式,发现每一项都含有,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有和的式子,即可求出结果
例5证明:对于任意自然数n,一定是10的倍数。
分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
例6已知多项式有一个因式是,求的值。
分析:由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出的值。
例7已知是的三条边,且满足,试判断的形状。
分析:因为题中有,考虑到要用完全平方公式,首先要把转成。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。
五、巩固练习
1、把下列各式分解因式:
2、把下列各式分解因式:
3、先分解因式,然后计算求值:
①,其中,②,其中,。
4、把下列各式分解因式:
5、利用分解因式解决问题:
(1)①利用分解因式说明:能被120整除;
②可以被60至70之间的某两个数整除,求这两个数;
(2)利用分解因式计算:
①②
(3)①如图在半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆,利用分解因式计算当R=7.8cm,r=1.1cm时剩余部分的面积(取3.14,结果保留两位有效数字)
②如图,某农场修建一座小型水库,需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径d=45cm,外径D=75cm,长l=300cm,利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(取3.14,结果保留两位有效数字)
③已知正方形面积是(),利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式。
④正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm,它们的面积相差960,求这两个正方形的边长。
(4)①已知,求的值。
②当取何值时,多项式取最小值。
③当取何值时,多项式时一个完全平方式。
④计算下列各式:
你能根据所学知识找到计算上面式子的简便方法吗?请你利用你找到的简便方法计算下式:
⑤已知,求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整数,且,求x、y
⑦已知:,求的值。
3.4.3分式方程
课型:新授学生姓名:_________
[目标导航]
1、学习目标
(1)知识目标:
①用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
②用分式方程来解决现实情境中的问题。
(2)能力目标:
①经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
②认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意,寻找等量关系,建立数学模型。
(3)情感目标:
①经历建立分式方程模型解决实际问题的过程,体会数学模型的应用价值,从而提高学习数学的兴趣。
②培养学生的创新精神,从中获得成功的体验。
2、学习重点:
①审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型。
②根据实际意义检验解的合理性。
3、学习难点:
寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法。
[课前导学]
1、课前复习:
2、课前预习:
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元
(1)找出这一情境的等量关系。
(2)根据这一情境,你能提出哪些问题?
(3)利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少?
设第一年每间租金为x元,则第二年每间租金为元。
于是:第一年出租房屋的间数是,第二年出租房屋的间数是。
当然,第一年、第二年出租房屋的间数不会发生变化,于是可得方程:
3、课前学记(课前学习疑难点、教学要求建议)
[课堂研讨]
1、新知探究,例题讲解
例1、某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨。小丽家去年12份的水费是15元,而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12份的用水量多5,求该市今年居民的用水价格。
分析:请列出此题中的两个等量关系:
;
。
解:设该市去年居民用水的价格是,则该市今年居民的用水价格是
根据题意:可列方程:
解之得:x=
检验:
答:
小结:列分式方程解应用题的一般步骤是:
。
2、随堂练习,巩固提高(要求列分式方程)
(1)小明和同学一起去书店买书。他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书的价格高出一半,因此他们买的科普书比文学书少1本。问这种科普书和文学书的价格各是多少?
(2)某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%,求这种服装的成本价。
(3)甲种原料和乙种原料的单价比是2:3,将价值2000元的甲种原料和价值1000元的乙种原料混合后,单价是9元,求甲种原料的单价。
[课外拓展]
1、课后记(收获、体会、困惑)
2、分层作业(班级:_____________,学生姓名:____________)
A、必做题(限时12分钟,实际完成时间:_______分钟)
一、列分式方程解决以下问题
某商店甲种糖果的单价是每千克20元,乙种糖果的单价是每千克16元。为了促销,现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售,如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元,那么分开销售和混合销售的销售额相同。问这包甲种糖果有多少千克?
B、选做题
如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?
C:选做题
某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过5m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份,张家用水量是李家用水量的,张家当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元。超出5m3的部分每立方米收费多少元
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回顾与思考
学习目标:
(1)提高因式分解的基本运算技能
(2)能熟练进行因式分解方法的综合运用.
学习重难点:
几种因式分解方法的综合运用.
学习准备:
1、把一个多项式化成的形式,叫做把这个多项式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念,应把握如下特点:
(1)结果一定是的形式;
(2)每个因式都是;
(3)各因式一定要分解到为止。
2、分解因式与是互逆关系。
3、分解因式常用的方法有:
(1)提公因式法:
(2)应用公式法:①平方差公式:②完全平方公式:
(3)分组分解法:am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法:=
4、分解因式步骤:
(1)首先考虑提取,然后再考虑套公式;
(2)对于二次三项式联想到平方差公式因式分解;
(3)对于二次三项式联想到完全平方公式,若不行再考虑十字相乘法分解因式;
(4)超过三项的多项式考虑分组分解;
(5)分解完毕不要大意,检查是否分解彻底。
辨析题:
1、下列哪些式子的变形是因式分解?
(1)x2–4y2=(x+2y)(x–2y)
(2)x(3x+2y)=3x2+2xy
(3)4m2–6mn+9n2=2m(2m–3n)+9n2
(4)m2+6mn+9n2=(m+3n)2
2、把下列各式分解因式:
(1)7x2–63(2)(x+y)2–14(x+y)+49
(3)(4)(a2+4)2–16a2
想一想
计算:
1、32004–320032、(–2)101+(–2)100
3、已知,求的值.
例1:把下列各式因式分解(分组后能提公因式)
(1)a2-ab+ac-bc(2)2ax-10ay+5by-bx
(3)3ax+4by+4ay+3bx(4)m2+5n-mn-5m
点拨:1、用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续进行,完成因式分解,
由此合理选择分组的方法
2、运算律(如加法交换律、分配律)在因式分解中起着重要的作用
文章来源:http://m.jab88.com/j/64550.html
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