北师大八年级数学下第二章分解因式复习学案

2020-12-17 小学二年级数学教案小学三年级数学教案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家应该在准备教案课件了。用心制定好教案课件的工作计划，这对我们接下来发展有着重要的意义！有没有出色的范文是关于教案课件的？为满足您的需求，小编特地编辑了“北师大八年级数学下第二章分解因式复习学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第一章《分解因式》复习
课型：复习学生姓名：_______________
一、知识网络图

二、思想方法
复习本章知识应注意领会以下几种思想方法的运用：
1．观察、试验的思想方法观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路．用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决。
2．整体思想有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易。
3．逆向思维的方法整式的乘法与分解因式的学习过程中，同学们可以仔细体会。
4．类比思想数学问题的相似性在数学中普遍存在．根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。

三、知识梳理
1．了解分解因式：把一个多项式化成几个______________的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法______________。
如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
①（）②（）
③（）④（）
2．提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做___________________。
如：分解因式：=________________；=________________；
3．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如：分解因式①②

4．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式：①②
5．分解因式的一般步骤：首先提取公因式；然后运用_____________；
如：①②③
四、常见错误：
1．概念不辨，错误出现：错解：．
2．公式不清，错误入侵：错解：（1）；（2）．
3．提公因式后，“1”被遗弃：错解：．
4．混淆变形，无中生有：错解：．
5．画蛇添足，背道而驰：错解：

五、典型题析
例1把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
例2简化计算过程：计算
分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果

例3把分解因式
分析：多项式有公因式时需先提取公因式，再利用平方差公式分解，且要分解到不能再分解为止

例4运用整体思想解决问题：
不解方程组，求代数式的值
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果m.JaB88.coM

例5证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

例6已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

例7已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

五、巩固练习
1、把下列各式分解因式：

2、把下列各式分解因式：

3、先分解因式，然后计算求值：
①，其中，②，其中，。

4、把下列各式分解因式：

5、利用分解因式解决问题：
（1）①利用分解因式说明：能被120整除；
②可以被60至70之间的某两个数整除，求这两个数；

（2）利用分解因式计算：
①②

（3）①如图在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用分解因式计算当R=7.8cm，r=1.1cm时剩余部分的面积（取3.14，结果保留两位有效数字）

②如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，外径D=75cm，长l=300cm，利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（取3.14，结果保留两位有效数字）

③已知正方形面积是（），利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式。

④正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960，求这两个正方形的边长。

（4）①已知，求的值。

②当取何值时，多项式取最小值。

③当取何值时，多项式时一个完全平方式。

④计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面式子的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：

⑤已知，求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整数，且，求x、y
⑦已知：，求的值。

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北师大版八年级数学下第二章分解因式全章教案

第二章分解因式
§2.1分解因式
知识与技能目标：
1．使学生了解因式分解的意义。
2．知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法目标：
1．通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。
2．培养学生的观察能力和语言概括能力。
情感态度与价值观目标：
1．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。
2．让学生了解事物间的因果联系
教学重点
1．理解因式分解的意义；
2．识别分解因式与整式乘法的关系．
教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
有两个边长为1的正方形，剪刀.
投影片两张：
第一张：做一做(记作§2.1.1A)；
第二张：补充练习(记作§2.1.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．
Ⅱ.讲授新课
1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．
93－99能被100整除．因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．
993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）
从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．
2．议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）计算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x＝()()；②m2－16＝()()；
③ma＋mb＋mc＝()()；④y2－6y＋9＝()2．
⑤a3－a＝()()．
能分析一下两个题中的形式变换吗？
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
4．想一想
由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
总结一下：
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
5．例题
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形．
Ⅴ.课后作业
见作业本
六、活动与探究
已知a＝2，b＝3，c＝5，求代数式a(a＋b－c)＋b(a＋b－c)＋c(c－a－b)的值．
VI板书设计
§2.1分解因式

一、1．讨论993－99能被100整除吗？
2．议一议3．做一做
4．想一想
5．例题讲解
二、课堂练习
三、课时小结

§2.2.1提公因式法（一）
知识与技能目标：
1．让学生了解多项式公因式的意义。
2．初步会用提公因式法分解因式。
过程与方法目标：
1．通过找公因式，培养学生的观察能力。
情感态度与价值观目标：
1．在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性。
2．让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识。
3．还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用．
教学重点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
教学难点
让学生识别多项式的公因式
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果
教具准备

教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
一块场地由三个矩形组成，矩形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积．
从两种不同的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些．这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法．
Ⅱ.讲授新课
1．公因式与提公因式法分解因式的概念．
若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc，或m(a＋b＋c)，可以用等号来连接．
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．
由上式可知，把多项式ma＋mb＋mc写成m与(a＋b＋c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma＋mb＋mc的一个因式，把m从多项式ma＋mb＋mc各项中提出后形成的多项式(a＋b＋c)，作为多项式ma＋mb＋mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题讲解
例1将下列各式分解因式：
（1）3x＋6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c＋abc；（4）－24x3－12x2＋28x．
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．
3．议一议
通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．
首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．
4．想一想
从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式．
Ⅲ.课堂练习
1．写出下列多项式各项的公因式．
（1）ma＋mb；（2）4kx－8ky；（3）5y3＋20y2；（4）a2b－2ab2＋ab。
2．把下列各式分解因式
（1）8x－72＝8(x－9)（2）a2b－5ab＝ab(a－5)
（3）4m3－6m2＝2m2(2m－3)（4）a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)
（5）－a2＋ab－ac＝－(a2－ab＋ac)＝－a(a－b＋c)
（6）－2x3＋4x2－2x＝－(2x3－4x2＋2x)＝－2x(x2－2x＋1)
3．把3x2－6xy＋x分解因式。3x2－6xy＋x＝x(3x－6y＋1)。
将x写成x1，这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1．
Ⅳ.课时小结
1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式．
2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式．
3．找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的．
（4）所有这些因式的乘积即为公因式．
4．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．
5．公因式相差符号的，如(x－y)与(y－x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问题．
Ⅴ.课后作业
利用分解因式计算：（1）32004－32003；（2）(－2)101＋(－2)100．
VI板书设计
§2.2.1提公因式法（一）
一、1．公因式与提公因式法分解因式的概念
2．例题讲解（例1）
3．议一议（找公因式的一般步骤）4．想一想
二、课堂练习（1．随堂练习，2．补充练习）
三、课时小结

§2.2.2提公因式法（二）
知识与技能目标：
1．进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。
过程与方法目标：
1．进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。
情感态度与价值观目标：
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．
教学重点
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式．
教学难点
准确找出公因式，并能正确进行分解因式．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备

教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜．
Ⅱ.讲授新课
1．例题讲解
例2把a(x－3)＋2b(x－3)分解因式．
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有(x－3)，因此可以把(x－3)作为公因式提出来．
例3把下列各式分解因式：
（1）a(x－y)＋b(y－x)；（2）6(m－n)3－12(n－m)2．
分析：虽然a(x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x－y)与(y－x)是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－(x－y)(m－n)3与(n－m)2也是如此．
2．做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”号，使等式成立：
（1）2－a＝________(a－2)；（2）y－x＝________(x－y)；
（3）b＋a＝________(a＋b)；（4）(b－a)2＝________(a－b)2；
（5）－m－n＝________－(m＋n)；（6）－s2＋t2＝________(s2－t2)．
Ⅲ.课堂练习
1．把下列各式分解因式：
（1）x(a＋b)＋y(a＋b)；（2）3a(x－y)－(x－y)；
（3）6(p＋q)2－12(q＋p)；（4）a(m－2)＋b(2－m)；
（5）2(y－x)2＋3(x－y)；（6）mn(m－n)－m(n－m)2．
2．补充练习
把下列各式分解因式
5(x－y)3＋10(y－x)2；m(a－b)－n(b－a)
m(m－n)＋n(n－m)；m(m－n)－n(m－n)
m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)；(b－a)2＋a(a－b)＋b(b－a)
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式．
Ⅴ.课后作业
见作业本
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式．
参考练习
把下列各式分解因式：
1．a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)；2．x2y－3xy2＋y3；
3．2(x－y)2＋3(y－x)；4．5(m－n)2＋2(n－m)3．
参考答案：
1．(x－y)(a＋b＋c)；2．y(x2－3xy＋y2)；
3．(x－y)(2x－2y－3)；4．(m－n)2(5－2m＋2n)．
VI板书设计
§2.2.2提公因式法（二）

一、1．例题讲解
2．做一做
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.1运用公式法（一）
知识与技能目标：
1．使学生了解运用公式法分解因式的意义。
2．使学生掌握用平方差公式分解因式。
3．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法目标：
1．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。
2．训练学生对平方差公式的运用能力。
情感态度与价值观目标：
1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。
2．同时让学生了解换元的思想方法。
教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式．
教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
Ⅱ.讲授新课
1．请看乘法公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2＝(a＋b)(a－b)（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积．判断，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2．公式讲解
观察式子a2－b2，找出它的特点．
是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．
如x2－16＝(x)2－42＝(x＋4)(x－4)；9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝(3m＋2n)(3m－2n)。
3．例题讲解
例1把下列各式分解因式：
（1）25－16x2；（2）9a2－b2．
例2把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
补充例题：判断下列分解因式是否正确．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2；（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)(a2－1)．
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1．判断正误
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．
2．把下列各式分解因式
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4。
3．见课本。
（二）补充练习
把下列各式分解因式
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
Ⅴ.课后作业
把(a＋b＋c)(bc＋ca＋ab)－abc分解因式
见作业本
VI板书设计
§2.3.1运用公式法（一）
一、1．由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式．
2．公式讲解
3．例题讲解补充例题
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.2运用公式法（二）
知识与技能目标：
1．使学生会用完全平方公式分解因式。
2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式。
过程与方法目标：
1．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。
情感态度与价值观目标：
1．通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．
教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．
教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备

教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，而且还学习了完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2。本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．
Ⅱ.讲授新课
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平方公式倒写：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？互相交流，找出这个多项式的特点．
左边的特点有：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；
（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．
2．例题讲解
例1把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
例2把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy．
分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．
Ⅲ.课堂练习
a．随堂练习
b．补充练习
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab＋b2；（2）a2b2＋8abc＋16c2；
（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；（4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；
（5）－＋n2；（6）x2y－x4－。
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式．它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项．
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．
Ⅴ.课后作业
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式．
见作业本
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§2.3.2运用公式法（二）
一、1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
2．例题讲解（例1、例2）

二、课堂练习
a．随堂练习
b．补充练习
§2.4回顾与思考
知识与技能目标：
1．复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。
2．熟悉本章的知识结构图。
过程与方法目标：
1．通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力。
2．在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力．
情感态度与价值观目标：
1．通过因式分解综合练习，提高学生观察、分析能力。
2．通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
教学重点
复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式．
教学难点
利用分解因式进行计算及讨论．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备

教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
前面我们已学习了因式分解概念，提公因式法分解因式，运用公式法分解因式的方法，并做了一些练习．今天，我们来综合总结一下．
Ⅱ.讲授新课
（一）讨论推导本章知识结构图
请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
（1）有因式分解的意义，提公因式法和运用公式法的概念．（2）分解因式与整式乘法的关系．（3）分解因式的方法．
能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难，给予帮助）
（二）重点知识讲解
1．举例说明什么是分解因式．
如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y(3xy＋1－4y2)
把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy＋1－4y2的乘积的形式，就是把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．
学习因式分解的概念应注意以下几点：
（1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等．
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止．
2．分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形．如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法．
3．分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和运用公式法．
4．例题讲解
例1下列各式的变形中，哪些是因式分解?哪些不是?说明理由．
（1）x2＋3x＋4＝(x＋2)(x＋1)＋2；（2）6x2y3＝3xy2xy2；
（3）(3x－2)(2x＋1)＝6x2－x－2；（4）4ab＋2ac＝2a(2b＋c)。
例2将下列各式分解因式．
（1）8a4b3－4a3b4＋2a2b5；（2）－9ab＋18a2b2－27a3b3；
（3）－x2；（4）9(x＋y)2－4(x－y)2；
（5）x4－25x2y2；（6）4x2－20xy＋25y2；
（7）(a＋b)2＋10c(a＋b)＋25c2．
例3把下列各式分解因式：
（1）x7y3－x3y3；（2）16x4－72x2y2＋81y4。
从上面的例题中，大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式．
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式．
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止．
Ⅲ.课堂练习
1．把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2；（2）(x2＋4)2－(x＋3)2；
（3）－4a2－9b2＋12ab；（4）(x＋y)2＋25－10(x＋y)
2．利用因式分解进行计算
（1）9x2＋12xy＋4y2，其中x＝，y＝－；
（2）()2－()2，其中a＝－，b＝2．
Ⅳ.课时小结
1．共同回顾，总结因式分解的意义，因式分解的方法及一般步骤，其中要特别指出：必须使每一个因式都不能再进行因式分解．
2．利用因式分解简化某些计算．
Ⅴ.课后作业
复习题A组
求满足4x2－9y2＝31的正整数解．
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2.6回顾与思考

一、1．讨论推导本章知识结构图
2．重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解．
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解（例1、例2、例3）
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
四、课后作业

北师大版八年级下第二章分解因式的复习教案

3．4．3分式方程
课型：新授学生姓名：_________
[目标导航]
1、学习目标
（1）知识目标：
①用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
②用分式方程来解决现实情境中的问题。
（2）能力目标：
①经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
②认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
（3）情感目标：
①经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣。
②培养学生的创新精神，从中获得成功的体验。
2、学习重点：
①审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。
②根据实际意义检验解的合理性。
3、学习难点：
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法。
[课前导学]
1、课前复习：

2、课前预习：
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元
（１）找出这一情境的等量关系。

（２）根据这一情境，你能提出哪些问题？

（３）利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？
设第一年每间租金为x元，则第二年每间租金为元。
于是：第一年出租房屋的间数是，第二年出租房屋的间数是。
当然，第一年、第二年出租房屋的间数不会发生变化，于是可得方程：
3、课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议）

[课堂研讨]
1、新知探究，例题讲解
例1、某市从今年１月１日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年１２份的水费是１５元，而今年７月份的水费则是３０元。已知小丽家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求该市今年居民的用水价格。
分析：请列出此题中的两个等量关系：
；
。
解：设该市去年居民用水的价格是，则该市今年居民的用水价格是
根据题意：可列方程：
解之得：x=
检验：
答：
小结：列分式方程解应用题的一般步骤是：
。

2、随堂练习，巩固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同学一起去书店买书。他们先用１５元买了一种科普书，又用１５元买了一种文学书。科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的科普书比文学书少１本。问这种科普书和文学书的价格各是多少？

（2）某商店销售一批服装，每件售价１５０元，可获利２５%，求这种服装的成本价。

（3）甲种原料和乙种原料的单价比是２：３，将价值２０００元的甲种原料和价值１０００元的乙种原料混合后，单价是９元，求甲种原料的单价。

[课外拓展]
1、课后记（收获、体会、困惑）

2、分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）
A、必做题（限时12分钟，实际完成时间：_______分钟）
一、列分式方程解决以下问题
某商店甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克１６元。为了促销，现将１０千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克１７.５元，那么分开销售和混合销售的销售额相同。问这包甲种糖果有多少千克？

B、选做题
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
C：选做题
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元。超出5m3的部分每立方米收费多少元

八年级数学下册第二章分解因式回顾与思考学案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家都在十分严谨的想教案课件。只有规划好教案课件计划，新的工作才会更顺利！你们清楚有哪些教案课件范文呢？小编收集并整理了“八年级数学下册第二章分解因式回顾与思考学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

回顾与思考
学习目标：
（1）提高因式分解的基本运算技能
（2）能熟练进行因式分解方法的综合运用．
学习重难点:
几种因式分解方法的综合运用．
学习准备：
1、把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念，应把握如下特点：
（1）结果一定是的形式；
（2）每个因式都是；
（3）各因式一定要分解到为止。
2、分解因式与是互逆关系。
3、分解因式常用的方法有：
（1）提公因式法：
（2）应用公式法：①平方差公式：②完全平方公式：
（3）分组分解法：am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法：=
4、分解因式步骤：
（1）首先考虑提取，然后再考虑套公式；
（2）对于二次三项式联想到平方差公式因式分解；
（3）对于二次三项式联想到完全平方公式，若不行再考虑十字相乘法分解因式；
（4）超过三项的多项式考虑分组分解；
（5）分解完毕不要大意，检查是否分解彻底。
辨析题：
1、下列哪些式子的变形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
2、把下列各式分解因式：
（1）7x2–63（2）（x+y）2–14（x+y）+49