第十九讲平行截割
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形,平行线能改变角的位置并传递角,可“送”线段到恰当处,完成等积变形,当一组平行线截两条直线时就得到比例线段,平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论.
利用、挖掘、创造平行线,是运用平行线分线段成比例定理解题的关键,另一方面,需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形:
例题求解
【例1】如图,已知在平行四边形ABCD中,M、N为AB的三等分点,DM、DN分别交AC于P、Q两点,则AP:PQ:QC=.
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
思路点拨图中有形如“X”型的基本图形,建立含AP,PQ,QC的比例式,并把AP,PQ,QC用同一条线段的代数式表示.
【例2】如图,已知在△ABC中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD与CE相交于F,则的值为()
A.B.1C.D.2
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨已知条件没有平行线,需恰当作平行线,构造基本图形,产生含,的比例线段,并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系.
【例3】如图,BD、BA,分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,E、D为垂足.
(1)求证:四边形AEBD为矩形;
(2)若=3,F、G分别为AE、AD上的点,FG交AB于点H,且,求证:△AHG是等腰三角形.
(厦门市中考题)
思路点拨对于(2),由比例线段导出平行线,证明∠HAG=∠AHG.
【例4】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC.
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点,求证:AB=PE+PF;
(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外),PE∥AB,PF∥DC,那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
(上海市闽行区中考题)
思路点拨对于(2),先假设结论成立,从平行线出发证明AB=PC+PF,即需证明,将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明.
注若题设条件无平行线,需作平行线.而作平行线要考虑好过哪一点作平行线,一般是由比的两条线段启发而得的,其目的是构造基本图形.
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一,比例线段丰富了我们研究几何问题的方法,主要体现在:
(1)利用比例线段求线段的长度;
(2)运用比例线段证明线段相等,线段和差倍分关系、两直线平行等问题.
【例5】如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P,求证:PM×PN=PR×PS
(山东省竞赛题)
思路点拨由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上,所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论,需观察分解图形,利用中间比沟通不同比例式的联系
学力训练
1.如图,△ABC中有菱形AMPN,如果,则.
(南通市中考题)
2.如图,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若,则;若,则.(江苏省镇江市中考题)
3.如图,已知点D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F,若,BC=8,则AE的长为.
(苏州市中考题)
4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=lcm,E是CD边上一动点,AE、BC的延长线交于点F,设DE=x(㎝),BF=y(cm),用x的代数式表示y得.
(黑龙江省中考题)
5.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,现得到下列结论:
①;②;③;④.
其中正确比例式的个数有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.如图,BD、CE是△ABC的中线,P、Q是BD、CE的中点,则等于()
A.B.C.D.
7.如图,已知在平行四边形ABCD中,O1、O2,O3为对角线BD上三点,且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D,连结AOl并延长交BC于点C,连结EO3延长交AD于点F,则AD:FD等于()
A.19:2B.9:1C.8:1D.7:1
(河北省中考题)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于F,则DF:FE等于()
A.5:2B.2:lC.3:1D.4:1
(江苏省竞赛题)
9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,E是AB上一点,AE=2BE,M是腰BC的中点,连结EM并延长交DC的延长线于点F,连结BD交EF于点N求证:BN:ND=l:10.(河南省中考题)
10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:OE=OF,(2)求的值;
(3)求证:.
11.已知如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD于F,我们可以证明成立.若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB∥CD,AD、BC相交于点E,过点E作EF∥AB,交BD于点F,则:
(1)还成立吗?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由;
(2)请找出S△ABD,S△BED,S△BDC间的关系式,并给出证明.
(黄冈市中考题)
12.如图,在梯形ABCD中.AB∥CD,AB=3CD,E是对角线AC的中点,BE延长后交AD于F,那么=.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13.如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点,设BC=a,CD=b,CE=c,则CF=.
(山东赛区选拔赛试题)
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a,BC=b,E、F分别是AD、BC的中点,且AF交BE于P,CE交DF于Q,则PQ的长为.
15.如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15m,分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处,向两侧地面上的E、D、B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为m.
(2000年全国初中数学联赛试题)
16.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E,F是BC的三等分点.AE、AF分别交BD于M、N两点,则BM:MN:ND=()
A.3:2;1B.4:2:lC.5:2:1D.5:3:2
(2004年武汉市选拔赛试题)
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为()
A.B.C.D.
(山东省竞赛题)
18.如图,平行四边形ABCD中,F、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于G、H,试判断下列结论:①BE=DF;②AG=GH=HC;③EG=BG;
④S△ABE=3S△AGE,其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
19.如图,已知△ABC,,,AD、BE交于F,则的值()
A.B.C.D.
20.如图,已知AB∥EF∥CD,AC+BD=240,BC=100,EC+ED=192,求CF.
(山东省竞赛题)
21.如图,已知在平行四边形ABCD中,F为AB边的中点,AF=FD,FE与AC相交于G,求证:AG=AC.
22.如图,已知M、N为△ABC的边BC上的两点,且满足BM=MN=NC,一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F,求证:EF=3DE.
(湖北省黄冈市竞赛题)
23.在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:
(1)当时,有(如图甲);
(2)当时,有(如图乙);
(3)当时,有(如图丙);
在图丁中,当时,参照上述研究结论,请你猜想用表示的一般结论,并给出证明(其中n是正整数)
(山西省中考题)
24.如图,在平行四边形ABCD中,P1,P2,…,Pn是BD的n等分点,连结AP2并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F.
(1)求证:EF∥BD;
(2)设平行四边形ABCD的面积是S,若S△AEF=S,求n的值.(山东省竞赛题)
第六讲实数的概念及性质 【例5】已知在等式中,a、b、c、d都是有理数,x是无理数,解答: 学力训练 9.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. 文章来源:http://m.jab88.com/j/62811.html
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的.
从有理数到无理数,经历过漫长曲折的过程,是一个巨大的飞跃,由于引入无理数后,数域就由有理数域扩充到实数域,这样,实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系.
由于引入开方运算,完善了代数的运算.平方根、立方根的概念和性质,是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础.平方根、立方根是最简单的方根,建立概念的方法,以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础.
有理数和无理数统称为实数,实数有下列重要性质:
1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数的形式;无理数是无限不循环小数,不能写成分数的形式,这里、是互质的整数,且.
2.有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.
例题求解
【例1】若a、b满足3=7,则S=的取值范围是.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨运用、的非负性,建立关于S的不等式组.
注:古希腊的毕达哥拉斯学派认为,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比.但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示,这严重地冲击了当时希腊人的传统见解,这一事件在数学史上称为第一次数学危机.希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受,相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死.
【例2】设是一个无理数,且a、b满足ab-a-b+1=0,则b是一个()
A.小于0的有理数B.大于0的有理数C.小于0的无理数D.大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨对等式进行恰当的变形,建立a或b的关系式.
【例3】已知a、b是有理数,且,求a、b的值.
思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分,运用实数的性质建立关于a、b的方程组.
【例4】(1)已知a、b为有理数,x,y分别表示的整数部分和小数部分,且满足axy+by2=1,求a+b的值.(南昌市竞赛题)
(2)设x为一实数,表示不大于x的最大整数,求满足=x+1的整数x的值.(江苏省竞赛题)
思路点拨(1)运用估算的方法,先确定x,y的值,再代入xy+by2=1中求出a、b的值;(2)运用的性质,简化方程.
注:设x为一实数,则表示不大于x的最大整数,]又叫做实数x的整数部分,有以下基本性质:
(1)x-1≤x(2)若y
(1)当a、b、c、d满足什么条件时,s是有理数;
(2)当a、b、c、d满足什么条件时,s是无理数.
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示;(2)从以下基本性质思考:
设a是有理数,r是无理数,那么①a+r是无理数;②若a≠0,则ar也是无理数;③
r的倒数也是无理数,解本例的关键之一还需运用分式的性质,对a、b、c、d取值进行详细讨论.
注:要证一个数是有理数,常证这个数能表示威几十有理数的和,差,积、商的形式;要证一个数是无理数,常用反证法,即假设这个数是有理数,设法推出矛盾.
1.已知x、y是实数,,若,则a=.
(2002年个数的平方根是和,那么这个数是.
3.方程的解是.
4.请你观察思考下列计算过程:∵112=121,∴;同样∵1112=12321,∴;…由此猜想.
(济南市中考题)
5.如图,数轴上表示1、的对应点分别为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是()
A.B.C.D.
(江西省中考题)
6.已知x是实数,则的值是()
A.B.C.D.无法确定的
(“希望杯”邀请赛试题)
7.代数式的最小值是()
A.0B.C.1D.不存在的
(“希望杯”邀请赛试题)
8.若实数a、b满足,求2b+a-1的值.
(山西省中考题)
,;,;,;…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值.(烟台市中考题)
10.已知实数a、b、c满足,则a(b+c)=.
11.设x、y都是有理数,且满足方程,那么x-y的值是.
(“希望杯’邀请赛试题)
12.设a是一个无理数,且a、b满足ab+a-b=1,则b=.
(四川省竞赛题)
13.已知正数a、b有下列命题:
①若a=1,b=1,则;②若,则;
③若a=2,b=3,则;④若a=1,b=5,则.
根据以上几个命题所提供的信息,请猜想,若a=6,b=7,则.
(黄冈市竞赛题)
14.已知:,那么代数式的值为()
A.B.C.D.
(重庆市竞赛题)
15.设表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则+++…+的值为()
A.5151B.5150C.5050D.5049
(“五羊杯”邀请赛试题)
16.设aA.B.C.D.3
(全国初中数学竞赛题)
17.若a、b、c为两两不等的有理数,求证:为有理数.
18.某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量,当把铁块放在天平左盘中时,称得它的质量为300克,当把铁块放在天平的右盘中时,称得它的质量为900克,求这一铁块的实际质量.
(安徽省中考题).
19.阅读下面材料,并解答下列问题:
在形如ab=N的式于中,我们已经研究过两种情况:
①已知a和b,求N,这是乘方运算,②已知b和N,求a,这是开方运算.
现在我们研究第三种情况;已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.
定义:如果ab=N(a>0,a≠1,N>0),则b叫做以a为底的N的对数,记作b=logaN.
例如:因为23=8,所以log28=3;因为2-3=,所以log2=-3.
(1)根据定义计算:
①log381=;②log33=;③log3l=;④如果logx16=4,那么x=.
(2)设ax=M,ay=N,则logaM=x;logaN=y(a>0,a≠1,N>0,M,N均为正数).
用logAM,logAN的代数式分别表示logaMN及loga,并说明理由.
(泰州市中考题)
20.设,a、b、c、d都是有理数,x是无理数.求证:
(1)当bc=ad时,y是有理数;
(2)当bc≠ad时,y是无理数.
设△ABC的三边分别是a、b、c,且,试求AABC的形状.猜你喜欢
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