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浙教版八年级数学下册《一元二次方程的解法》教学设计

课题

§2.2一元二次方程的解法（4）

课时

教学

目标

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2、会用公式法解一元二次方程.

教学

设想

重点：用公式法解一元二次方程.

难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节的难点.

教学程序与策略

一、引入新课

用配方法解下列一元二次方程

完善“配方法”解方程的基本步骤

★一除、二移、三配、四开平方、五解.

二、新课学习

1．做一做：

你能用配方法解一般形式的一元二次方程（a≠0)吗？

处理：给学生充足的时间做一做，配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不会考虑到的条件，也可能答案不够简练；然后教师引导学生再去探索.

思考：，方程有实数解吗？

一般地，对于一元二次方程（a≠0),如果，那么方程的两个根为这个公式就叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c，直接求得一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.（它是解一元二次方程的一把万能钥匙）

2．现学现用：填空（用公式法解方程）课内练习

说明：利用求根公式，就是代入公式求值，关键是确定a，b，c的值，目的就是应用求根公式时，应将方程化成一般式.进而引导学生总结出公式法解一元二次方程的基本步骤

（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.（2）求出的值.

教学程序与策略

（3）代入求根公式:（4）写出方程的解

3．试一试:用公式法解下列方程

；；；；

让学生独立完成，师生共同评价，由（3），（5）说明

方程根的情况：

4．问：解一元二次方程的方法都有哪些？

说明：至于选择哪一个方法解一元二次方程，看你觉得哪个方法好用或方便就用哪个.

选择适当的方法解下列方程

；；；

；

（5）先化成一般式，再用公式法.

三、课堂小结

请谈谈你的收获！

1．一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件）

2．公式法解一元二次方程的基本步骤

四、布置作业

P35-36课本作业题A组必做，B组选做

作业本

延伸阅读

一元二次方程的解法

19.2一元二次方程的解法同步测试
一、选择
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.2x2-7x-4=0化为
C.x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D.3x2-4x-2=0化为
2.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（）
A.B.
C.D.
3.二次三项式x2-4x+7值（）
A.可以等于0B.大于3C.不小于3D.既可以为正，也可以为负
4.若2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，则x为()
A.-1或B.1或C.1或D.1或
5.以和为根的一元二次方程是（）
A．x2-10x-1=0B.x2+10x-1=0C.x2+10x+1=0D.x2-10x+1=0
6.方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（）
A.3B.2C.1D.
7.已知x1、x2是方程x2-x-3=0的两个实数根，那么x12+x22的值是（）
A.1B.5C.7D.
8.方程x（x+3）=x+3的解是（）
A.x=1B.x1=0,x2=-3C.x1=1,x2=3D.x1=1,x2=-3
9.下列说法错误的是（）
A.关于x的方程x2=k，必有两个互为相反数的实数根。
B.关于x的方程ax2+bx=0(a≠0)必有一根为0.
C．关于x的方程(x-c)2=k2必有两个实数根。
D．关于x的方程x2=1-a2可能没有实数根。
10.方程(x+2)2=9的适当的解法是（）
A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法
二、填空
11.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=_______另一个根是______.
12.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
13.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
14.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
15.已知关于x的方程x2+px+q=0有两个根为2和-5，那么二次三项式x2+px+q可分解因式为.
16.方程与的公共根是_________.
17.的根为=_________，=_________.
18.已知方程的一个根是－1，则=___________.
19.已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为.
20.若（x2+y2-1）2=4,则x2+y2=.
三、解答题
21.解下列方程
（1）2x2-4x-10=0(用配方法)(2)2x2+3x=4(公式法)

（3）(x-2)2=2(x-2)(4)

22.已知实数a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根。
23.若a、b、c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状。

24.用配方法证明：无论x取何值时，代数式2x2-8x+18的值不小于10.

参考答案
一、选择
1.C2.A3.C4.B5.D6.B7.C8.D9.A10.A
二、填空
11.0；x=012.-1或313.m≠-1且m≠214.115.(x-2)(x+5)
16.x=217.;18.019.020.3
三、解答题
21.（1），（2），
（3）x1=2,x2=4(4),
22.解：由题意可得a2-3a+2=0,可得a=1或a=2，b+1=0,b=-1,c+3=0,c=-3.
所以（1）当a=1,b=-1,c=-3时，原方程为x2-x-3=0,方程的解为，
（2）当a=2,b=-1,c=-3时，原方程为2x2-x-3=0,方程的解为，
23.解：由已知条件可把原式变形为(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,三角形为直角三角形。
24.2x2-8x+18=(2x2-8x+8)+10=2(x-2)2+10≥10.

浙教版八年级数学下册《一元二次方程的应用》教学设计

浙教版八年级数学下册《一元二次方程的应用》教学设计

一、教材分析

1、教材地位和作用

本节课是浙教版八年级数学下册第2章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值.之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础.学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等.

2、教学目标

数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，

本课时教学目标制定如下：

知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题；

能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力;

情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦.

3、教学重点和难点

由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所

以确定教学重点是列一元二次方程解应用题.要列出一元二次方程的关键是找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点.

二、教学方法与手段：

本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率.根据教材内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生的积极性和主动性.

三、学法指导：

“素质教育”要求学生由“学会”转为“会学”，正确的学法指导是实现这一转化的重要手段，根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导新课程的自主探究、合作交流的学习方法.通过创设丰富的实际背景，使数学回到生活，鼓励学生积极思考，勇于钻研，敢于创新，产生强烈的求知欲.

四、教学程序：

1、创设情境，提出问题

创设学生感兴趣的问题情境，使学生能够置身于问题情境中，在生动活泼的环境下积极思考，解决问题：

古时候，一个农夫拿者一根竹竿进城，可是竖着拿，竹竿比城门高3尺，横着拿，竹竿比城门宽6尺，进不去，结果沿着城门的两个对角斜着拿，刚好进去，聪明的同学，你知道竹竿有多长吗？

为了让学生能更清楚地理解题意，创设了以下几个阶梯性小问题：

设竹竿为x尺，则（1）城门高________尺；

（2）城门宽________尺；

（3）城门的高、宽、两个对角之间的长度满足什么关系？

通过引例，引导学生回顾总结列方程解应用题的基本步骤，在新旧知识之间

构建桥梁，让学生明确应用方程、不等式或函数解决实际应用问题时关键是以下三个步骤：①设元；②用字母表示相关的量；③列关系式

2、例练应用，解决问题

列一元二次方程解应用题在现实生活中有着广泛的应用，学生普遍认为列方程解应用题难，其原因之一是题目阅读量大，数量多，关系比较复杂且隐蔽，所以在教学时首先应让学生消除畏难情绪，说明题目的一部分是背景材料，最后的一部分往往和设元有关，核心部分就是数量之间的关系.

接着出示例1：

某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?

为了让学生能比较清楚地理解题目中的数量关系，设置以下问题：

（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元

（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元

（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元

（4）每盆盈利=____________×________________

然后引导学生完成例1

为了开阔学生的思路，遇到问题能举一反三、触类旁通，又将例1进行适当改编，组织学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论：

某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加2株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到11元,每盆应该植多少株?

设置以下问题：

（1）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元

（2）若每盆增加4株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元

（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+___）株，平均单株盈利为（3－0.5×___）元

为了及时巩固知识，促使学生对知识的理解，在例1的基础上改变问题的实际背景，出示如下练习：

春节期间，杭州某旅行社为吸引市民组团去风景区旅游，推出如下收费标准：

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？

通过例1、练习几个不同背景却同一模型的问题学习，使学生掌握了怎样列一元二次方程解决生活中这一类问题，知识结构的形成不是依赖于教师的概括、抽象、灌输，不是“回忆”教师的解题套路，而是依靠学生感性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶.通过对比，学生对于列方程解应用题的一般步骤中的“检验”也有了更深刻的理解，同时让学生感受到知识源于实践又作用于实践，体验到了数学的价值，同时也突出了课题的重点.

沿着数学知识结构的逐步攀升，引导学生搜索现实生活中与增长率有关的问题，并设置了下列问题，引起学生的积极思维：

(1)春节过后，许多服装都降价处理，一件皮衣原售价2000元，第一次下降10%，下降后售价__________________元，由于天气逐渐转暖，为了减少库存，第二次又下降了20%，此时售价_________________________元.（只需写出算式）

(2)近几年，丽水的社会经济发展迅速，据抽样调查统计显示，2000年城镇居民可支配收入为a元，以后逐年上升，每年增长的百分率约为8%，那么

2001年城镇居民可支配收入为_________________元；

2002年城镇居民可支配收入为__________________元；

2003年城镇居民可支配收入为__________________元；

……

2010年城镇居民可支配收入为__________________元；

经过n年后城镇居民可支配收入为__________________元；

（给出原始量、增长率（降低率）、变化次数、后来量之间的关系，让学生自己归纳并给出公式，只有他们自己发现的才是最有用的，也让学生体验成功的喜悦，进一步激发学习兴趣）

(3)某药品原售价10元/盒，经两次降价后为5元/盒，已知两次降低的百分率一样都为x，则可列方程得___________（学生的错误可能会是：10（1－2x）=5）

上述三个问题分别从数、式、方程三个不同的方面对增长率（降低率）进

行了理解，也使学生明确了要解决增长率（降低率）问题，必须弄清楚基准，第二个问题中得出的一般式为高中的后继学习作好准备.

有了上述三个问题作铺垫，接着讲解引例，

截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.

（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.

（2）上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？

确定引例是本节的一个教学难点，是因为

（1）对题意理解的困难.需将实际问题数学化，这是数学建模思想的体现；

（2）信息转化的困难.要将统计图的信息转化为数量，这是数形结合的思想；

（3）关系式确定的困难.要正确理解年平均增长率的含义.

（4）解方程的困难.本例的方程用直接开平方法解才是最简便易行的.

基于上述原因，本例采用低起点、小步子的办法分散难点，问题设计由易到难，循序渐进，学生就比较容易理解，引例（1）设置以下问题：

(1)若设年平均增长率为x,你能用含x的代数式表示2001年的台数吗?2002年呢？

(2)已知2002年的台数是多少?

(3)据此,你能列出方程吗?

引例（2）让学生思考：

(1)已知哪段时间的年平均增长率?

(2)需要求哪个时间段的年平均增长率?

根据引例的讲解，师生共同完成例2，进一步突出课题重点，深层次激发学生的学习积极性.

八年级数学下2.2.2一元二次方程的解法（2）教案练习（浙教版）

一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________

一．选择题（每小题5分，20分）
1、将方程化为的形式，m和n分别是（）
A、1,3B、-1,3
C、1，4D、-1,4

2、用配方法解方程时，原方程应变形为（）
A.B.
C.D.

3、将一元二次方程化为的形式，则b=（）
A、3B、4C、7D、13

4、关于x的一元二次方程有实数根，则（）
A.k0B.k0C.k≥0D.k≤0

二、计算题（每小题10分，40分）

1、5x2+2x－1=02、x2+6x+9=7

3、4、

三、解答题（每小题10分，40分）
1.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.

2、已知是一元二次方程的一个解，且，求的值．

3.我们知道：对于任何实数，①∵≥0，∴+1＞0；
②∵≥0，∴+＞0.
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数，均有：＞0；
（2）不论为何实数，多项式的值总大于的值．

4.关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
一．选择题、
1.C
【解析】

2．A
【解析】

3.D．
【解析】配方

4.D
【解析】
，若有实数根，则
-k≥0，k≤0

二、计算题
1.解：a=5,b=2,c=－1
∴Δ=b2－4ac=4+4×5×1=24＞0
∴x12=
∴x1=

2.解：整理，得：x2+6x+2=0
∴a=1,b=6,c=2
∴Δ=b2－4ac=36－4×1×2=28＞0
∴x12==－3±
∴x1=－3+,x2=－3－

3、
4、

三、解答题
1、(1)Δ=2k2+80,∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.

2、由是一元二次方程的一个解，得：
又，得：
3、（1）；
（2）
即.

4、解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1．

文章来源：http://m.jab88.com/j/62879.html

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