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初二数学知识点梳理：一元一次不等式的定义

一元一次不等式的解集：
一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕
不等式x-5≤-1的解集为x≤4；
不等式x﹥0的解集是所有正实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
将不等式化为axb的形式
(1)若a0，则解集为xb/a
(2)若a0，则解集为xb/a
一元一次不等式的特殊解：
不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。
不等式的解与解集：
不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+21的解
①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。
②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。
③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0
不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。
②不等式的解集包含两方面的意思：
解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）
③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-12的解集是x3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。
一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。
有两种解题思路：
（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；
（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
解一元一次不等式的一般顺序：
（1）去分母（运用不等式性质2、3）
（2）去括号
（3）移项（运用不等式性质1）
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1（运用不等式性质2、3）
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
不等式解集的表示方法：
（1）用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。
例如：x-1≤2的解集是x≤3。
（2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。
用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。m.JaB88.CoM

一元一次不等式
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

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初二数学重要知识点归纳：一元一次不等式组的定义

初二数学重要知识点归纳：一元一次不等式组的定义

一元一次不等式组的定义
定义：
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
例如：

是不等式组。
在理解时要注意以下两点：
1)不等式组里不等式的个数并未规定；
2)在同一不等式组里的未知数必须是同一个。
一元一次不等式必须符合三个条件：
①组成不等式组的一元一次不等式可以是两个、三个······
②每个不等式都是一元一次不等式；
③必须都含有同一个未知数。

一元一次不等式组解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
注：当任何数x都不能使各个不等式同时成立，我们就说这个一元一次不等式组无解或其解集为空集。
例如：
不等式x-5≤-1的解集为x≤4；
不等式x﹥0的解集是所有非零实数。
解法：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分；
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设ab）

一元一次不等式组的解答步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）将这些不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的的公共部分；
（3）根据找出的公共部分写出不等式组的解集，若没有公共部分，说明不等式组无解。
解法诀窍：
同大取大；
例如：
X-1
X2
不等式组的解集是X2
同小取小；
例如：
X-4
X-6
不等式组的解集是X-6
大小小大中间找；
例如，
x2,x1,不等式组的解集是1x2
大大小小不用找
例如，
x2,x3，不等式组无解
一元一次不等式组的整数解：
一元一次不等式组的整数解是指在不等式组中各个不等式的解集中满足整数条件的解的公共部分。
求一元一次不等式组的整数解的一般步骤：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解，其中要注意整数解的取值范围不要搞错。
例如

所以原不等式的整数解为1，2。

初二数学重要知识点归纳：一元一次不等式的应用

初二数学重要知识点归纳：一元一次不等式的应用

一元一次不等式的应用
一元一次不等式的应用包括两个方面：
1、通过一元一次不等式求字母的取值范围；
2、列一元一次不等式解实际应用题。
列不等式解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）确定包含未知数的不等量关系；
（4）列出不等式；
（5）求出不等式的解集，检验不等式的解是否符合题意；
（6）写出答案。

一、(分配问题)
1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数有多少?
2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人?
3、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗;如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗?
4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本;如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本?学生有多少人?
5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个?有鸡多少只?
7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车?
8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住;每间住6人，有一间宿舍住不满。
(1)如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：
(2)可能有多少间宿舍、多少名学生?你得到几个解?它符合题意吗?
二、(积分问题)
1、某次数学测验共20道题(满分100分)。评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格?
2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目?
3、一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题?
4、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次?
5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个?
三、(比较问题)
1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠;乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好?
2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。
3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折;乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社?
四、(行程问题)
1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到?
2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长?
3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟?
4、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到?
五、(车费问题)
1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?
2、某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需要7元车费)，超过3km，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)。某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km?
六、(工程问题)
1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土?
2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完;如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水?
3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务?
4、某车间有组装1200台洗衣机的任务，若最多用8天完成，每天至少要组装多少台?
七、(浓度问题)
1、在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐?
2、一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合的含药率大于20%，求所用药粉的含药率的范围。
八、(增减问题)
1、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少?
2、几个同学合影，每人交0.70元，一张底片0.68元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个?
3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，几个小时以后，蜡烛的长度不足10㎝?
九、(销售问题)
1、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价;
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元?
2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售?
3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本?
十(数字问题)
1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数
方案选择与设计
1.某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
维生素C及价格甲种原料乙种原料
维生素C/(单位/千克)600100
原料价格/(元/千克)84
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，
(1)设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。
(2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内?
2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少?此时每月工资为多少元?
3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少?最少需几根?
4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8%;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2%作保管费，问：
(1)当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的?
(2)按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。
5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该
园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票;B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
(2)求一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。
6.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨?

一元一次不等式和一元一次不等式组

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（三）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学过基本的不等式以及对不等式组的解法已经有一定的掌握，对其特点有所了解，初步理解了不等式组的概念；
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些方程组和不等式组的一些活动，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生对不等式以及对不等式组的概念和解法已基本掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务和本节课的教学目标是：
（一）知识认知要求
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.
（二）能力训练要求
通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，发展应用意识.
（三）情感与价值观要求
通过解决实际问题，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
三、教学过程分析
本节课由五个教学环节组成，它们是：①情境激趣，适时点题；②合作交流，探究新知；③双基训练巩固提高；④师生交流，归纳小结；⑤作业布置。

第一环节、情境激趣，适时点题

活动内容：一、

二、创设问题情境，引入新课
1、我们学习了一元一次不等式组能解决哪些实际问题呢？本节课我们将进行探索.

活动目的：
加强学生对旧知识的复习和巩固，以达到对本节课内容的一个铺垫，引入新课.
活动效果：
通过学生完成情况，能正确地反映出学生以往知识的掌握程度，同时能够达到复习旧知识和创设问题情境，引入新课的效果.

第二环节、合作交流，探究新知
活动内容：
（1）、甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲.乙骑车的速度应当控制在什么范围？
活动目的：
通过大家互相交流后列出不等式组求解的过程，进一步让学生体会不等式组在生活中的运用的作用.
活动效果：
学生讨论列出下列不等式组可能有一定的难度，教师可以引导学生认真分析题目中的一些关键语句，让学生从中找出解题的突破口.这样有助于培养学生的分析问题和解决问题的能力.但教师千万不要包办.这样就达不到这一效果.（学生列出后，教师利用课件展示出下列结果）
解：设乙骑车的速度为xkm/h，根据题意，得
解不等式组得13≤x≤15
答：骑车的速度应当控制在13km/h到15km/h这个范围。.
完成（1）后，教师相继给出下列情景题，这样会更进一步体现不等式组的生活化.
（2）、
第三环节、双基训练巩固提高活动内容：
1.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
2.已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
活动目的：
让学生更进一步体会数学知识生活化，并能利用不等式组解决实际问题。
活动效果：
能达到培养学生学习数学的学习兴趣，让学生体会数学就在自己的生活中，从而让学生感到学习数学是一件很有趣的事情.
（学生完成后，教师展示出以下答案，以达到学生对照正误的目的和效果）
1.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得
解不等式组，得
4＜x≤6
因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.
因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有6个小朋友时，玩具数为15个.
2.解：生产N型号的时装套数为x时，则生产M型号的时装套数为（80－x），根据题意，得
解不等式组，得40≤x≤44
因为x是整数，所以x的取值为40，41，42，43，44.
因此，生产方案有五种.
（1）生产M型40套，N型40套；
（2）生产M型39套，N型41套；
（3）生产M型38套，N型42套；
（4）生产M型37套，N型43套；
（5）生产M型36套，N型44套.

第四环节、师生交流，归纳小结
活动内容：
结合课本的内容，讨论有关的问题，并说说学习这节课的收获和体会。同时谈谈
运用不等式组解决实际问题的基本过程.
活动目的：
师生交流、归纳小结的目的是让学生准确全面的表述自己的观点，培养及时归纳
知识的习惯。
活动效果：课堂上，学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述。
第五环节、布置作业

四、教学反思
通过这几节课的学习，学生能够大致对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握，能够大体体会数学知识在现实生活中的运用。本节课的例题较多，教学时可以减少。

文章来源：http://m.jab88.com/j/57075.html

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