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八年级数学上册知识点归纳：等边三角形

等边三角形
英文：equilateraltriangle，“等边三角形”也被称为“正三角形”。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：
1.三边长度相等。
2.三个内角度数均为60度。
3.一个内角为60度的等腰三角形
等边三角形尺规作法
其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长)，
等边三角形的尺规作图
再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
等边三角形的性质
⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
⑷等边三角形的重要数据
空间对称群
二面体群(D3)
角和边的数量3
施莱夫利符号{3}
内角的大小60°
⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
等边三角形的判定
⑴三边相等的三角形是等边三角形(定义)
⑵三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
(4)两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
1.三边长度相等；
2.三个内角度数均为60度；
3.一个内角为60度的等腰三角形。
性质：
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法：
①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

延伸阅读

八年级数学上等边三角形教案（人教版）

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该在准备教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，新的工作才会更顺利！有多少经典范文是适合教案课件呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“八年级数学上等边三角形教案（人教版）”，供您参考，希望能够帮助到大家。

13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形（1）

【教学目标】
1.经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.
2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.
3.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理、清晰地阐述自己的观点.
4.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【重点难点】
重点：等边三角形判定定理的发现与证明.
难点：等边三角形判定定理的发现与证明.

┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
活动1：观察与思考
(1)观看上海世博会的一组图片，引出“等边三角形”.
(2)观看一组图片：跳棋、警示牌、国旗、金字塔等，进一步感受“等边三角形”.
学生能从图片中抽象出等边三角形的形象，进而产生求知欲，等边三角形有什么特点？教师引出课题：等边三角形.从生活经验出发，在丰富的现实情境中，让学生感受到“等边三角形”无处不在.
二、师生互动，探究新知
活动2：等边三角形的性质
回顾：什么是等边三角形？它与以前学过的等腰三角形有何关系？
学生回答：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形.
名称图形边角重要线段对称性
等腰
三角形
两腰相等两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合轴对称图形
等边
三角形
三条边相等三个角相等，且都为60°每条边上的中线、高和它所对角的平分线都互相重合轴对称图形，有三条对称轴
活动3：复习等腰三角形的性质，探究等边三角形的性质
学生完成表格，得出性质.
活动4：探究等边三角形常用的判定方法
回答下面的问题.(演示课件)
1.一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
2.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流.(教师应给学生自主探索、思考的时间)
学生小组讨论，老师巡视指导.
[师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可以在小组内交流自己的看法.
老师指定学生回答讨论结果.
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
学生主动发言.
[师]今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形.
[师]下面就请同学们来证明这个结论.
(投影仪演示学生证明过程)
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.
(演示课件)

承上启下，揭示二者的关系，为下一步探究等边三角形的性质和判定方法打下基础.渗透类比的思想方法.

让学生自主讨论探究等边三角形的判定定理，能发挥学生的主观能动性，加深印象与理解.

让学生经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，体会分类讨论的数学思想方法.
三、运用新知，解决问题
下列三角形：(1)有两个角等于60度；(2)有一个角等于60度的等腰三角形；(3)三个外角都相等的三角形；(4)一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有________.进一步巩固等边三角形的判定和性质.
四、课堂小结，提炼观点
1.本节课你学到了哪些知识？
2.你觉得有哪些需要注意的问题？
3.你是对比什么研究等边三角形的，这对你接下来继续学习其他图形的内容有什么启发吗？通过学生自我反思、小组交流，引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结，让学生养成“反思”的好习惯，并培养学生语言表述能力.
五、布置作业，巩固提升
教材第80页练习第1、2题.

【板书设计】
等边三角形(1)
图形性质判定的条件
等腰三角形(含等边三角形)
等边对等角等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边
角形
【教学反思】
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形.学习等边三角形的定义、性质和判定，在折一折的过程中体会等边三角形的特征，三条边相等，三个角也相等，都是60度.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力.

第2课时等边三角形（2）

【教学目标】
1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合理推理能力和初步的演绎推理能力.
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.
4.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【重点难点】
重点：含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
活动1：教师直接提出问题：我们学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形.拿出三角尺，做一做：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.
(1)(2)让学生经历拼摆三角尺的活动，猜想并探索：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？
二、师生互动，探究新知
活动2：学生一般可以得出上面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD＝12AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
教师提出问题：为什么所得到的三角形是等边三角形？
学生探索方法.
如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并再将三角尺分开，思考从中可以得到什么结论.
活动3：让学生在得到该结论的基础上，尝试证明该定理，写出已知、求证，并进行证明.
活动4：引导学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗？如果是，请你简单说明理由.让学生经历定理的探索和证明过程，体会辅助线的作法.

教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？
三、运用新知，解决问题
图片是某屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，当AB＝7.4m，∠A＝30°时，求立柱BC，DE的长.通过一个基础练习题，进一步巩固定理的应用.
四、课堂小结，提炼观点
通过本节课的学习，谈谈你的收获？对于课堂教学既要注重教学过程、方法，也要注重概括总结.
五、布置作业，巩固提升
教材第81页练习，第82页第4题.通过做题后的反思和总结，培养良好的学习品质.

【板书设计】
等边三角形(2)
一、性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.二、应用
【教学反思】
本节课难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角尺操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果.

等边三角形2导学案

12.3.2等边三角形（2）
一、学习目标：
1.掌握含30o角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。
2.培养学生的推理能力和数学语言表达能力．
3.感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲。
二、重点难点：
重点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用．
难点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明。
三、合作探究
（1）复习回顾：等边三角形的性质与判定
（2）问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
（3）由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？
（4）由3，我们得到下面的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（5）填空：如右图，在△ABC中，
∵∠C=90o，∠A=30o
∴BC=（）
四精讲精练
例1、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为。
精练：
1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，
∠A=30°．
求证：BD=AB．
2.如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
3.且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F
求证:BP=2PF

五、课堂小结
直角三角形中，30度叫所对直角边等于斜边的一半
六、作业
1、如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P
(1).运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）.求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的
中点。(提示：过点D作AF的平行线)

2、P5814
3、P566
教学反思：

§14．3．2.1等边三角形（三）

§14．3．2.1等边三角形（三）
教学过程
一、复习等腰三角形的判定与性质
二、新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,
∠ABC=120o,求证:AB=2BC
分析由已知条件可得∠ABD=30o,如能构造有一个锐角是30o的直角三角形,斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
B

证明:过A作AE∥BC交BD的延长线于E
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o(两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC=AB即AB=2BC
点评本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN=BE，AM=AD（中点定义）
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题

文章来源：http://m.jab88.com/j/56893.html

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