12.3.2等边三角形(2)
一、学习目标:
1.掌握含30o角的直角三角形的性质,并能灵活运用这一性质解决实际问题。
2.培养学生的推理能力和数学语言表达能力.
3.感受数学的严谨性,激发学生的好奇心和求知欲。
二、重点难点:
重点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用.
难点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明。
三、合作探究
(1)复习回顾:等边三角形的性质与判定
(2)问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.
(3)由2你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗?
(4)由3,我们得到下面的性质定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(5)填空:如右图,在△ABC中,
∵∠C=90o,∠A=30o
∴BC=()
四精讲精练
例1、如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?
例2、等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,则腰上的高为。
精练:
1.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,
∠A=30°.
求证:BD=AB.
2.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,
3.且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F
求证:BP=2PF
五、课堂小结
直角三角形中,30度叫所对直角边等于斜边的一半
六、作业
1、如图:等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动,点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动,已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动,运动过程中DE与BC相交于点P
(1).运动几秒后,△ADE为直角三角形?
(2).求证:在运动过程中,点P始终为线段DE的
中点。(提示:过点D作AF的平行线)
2、P5814
3、P566
教学反思:
§14.3.2.1等边三角形(三)
教学过程
一、复习等腰三角形的判定与性质
二、新授:
1.等边三角形的性质:三边相等;三角都是60°;三边上的中线、高、角平分线相等
2.等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意:推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角是600,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3.由学生解答课本148页的例子;
4.补充:已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,
∠ABC=120o,求证:AB=2BC
分析由已知条件可得∠ABD=30o,如能构造有一个锐角是30o的直角三角形,斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
B
证明:过A作AE∥BC交BD的延长线于E
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o(两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC=AB即AB=2BC
点评本题还可过C作CE∥AB
5、训练:如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点,于是有BN=AM,要证明△CNM是等边三角形,只须证MC=CN,∠MCN=60o,所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论,根据边角边公里,可证得△NBC≌△MAC
证明:∵等边△ABC和等边△DCE,
∴BC=AC,CD=CE,(等边三角形的边相等)
∠BCA=∠DCE=60o(等边三角形的每个角都是60)
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠EBC=∠DAC(全等三角形的对应角相等)
BE=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵BN=BE,AM=AD(中点定义)
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC(SAS)
∴CM=CN(全等三角形的对应边相等)
∠ACM=∠BCN(全等三角形的对应角相等)
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形(有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形)
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业:课本151页第13,14题
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13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
理解并掌握等边三角形的定义,探索等边三角形的性质和判定方法.
阅读教材P79~80“思考及例4”,完成预习内容.
知识探究
1.等边三角形的性质:
(1)定义:等边三角形的________都相等;
(2)等边三角形的三个内角都________,并且每一个角都等于________.
2.等边三角形的判定:
(1)定义:________都相等的三角形为等边三角形;
(2)三个角都________的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的____________为等边三角形.
自学反馈
1.在等边三角形ABC中,∠______=∠______=∠______=______.
2.在三角形ABC中,AB=AC=2,∠A=60°,则BC=________.
3.课本P80页练习第1、2小题.
活动1小组讨论
例如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形
∴∠BAE=∠DCA=60°,AB=AC.
在△ABE与△CAD中,
∵AB=AC,∠BAE=∠ACD,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD.
(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠DAC.
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°,
∠BFD=∠ABE+∠BAF,
∴∠BFD=∠BAF+∠DAC=60°.
由等边三角形的性质,根据SAS证全等,然后利用全等的性质求∠BFD的度数.
活动2跟踪训练
如图,△ABC是等边三角形,O为△ABC内任意一点,OE∥AB,OF∥AC,分别交BC于点E,F,△OEF是等边三角形吗?为什么?
据三个角都相等的三角形是等边三角形或者有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定.
活动3课堂小结
对于等边三角形,它属于特殊的等腰三角形,特殊到三条边相等,三个角都等于60°,“三线合一”的性质就更能不受限制,淋漓尽致地发挥了.
【预习导学】
知识探究
1.(1)三条边(2)相等60°2.(1)三条边(2)相等(3)等腰三角形
自学反馈
1.ABC60°2.23.略.
【合作探究】
活动2跟踪训练
略.
文章来源:http://m.jab88.com/j/60224.html
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