八年级数学重要知识点：一元二次方程实数根

2020-12-01 一元二次方程高中教案小学二年级数学教案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家静下心来写教案课件了。只有规划好教案课件计划，才能更好地安排接下来的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编帮大家编辑的《八年级数学重要知识点：一元二次方程实数根》，欢迎您参考，希望对您有所助益！

例1下列方程中两实数根之和为2的方程是()

(A)x2+2x+3=0(B)x2-2x+3=0(c)x2-2x-3=0(D)x2+2x+3=0

错答：B

正解：C

错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是()

(A)k-1(B)k0(c)-1k0(D)-1≤k0

错解：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3(2000广西中考题)已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解:由△=(-2)2-4(1-2k)(-1)=-4k+80得k2又∵k+1≥0∴k≥-1。即k的取值范围是-1≤k2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k=0即k=时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解：-1≤k2且k≠

例4(2002山东太原中考题)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2+1,

∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

=[-(2m+1)]2-2(m2+1)

=2m2+4m-1

又∵x12+x22=15

∴2m2+4m-1=15

∴m1=-4m2=2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m=-4时，方程为x2-7x+17=0，此时△=(-7)2-4×17×1=-190，方程无实数根，不符合题意。

正解：m=2

例5已知二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△=9-4a0，则a2.25

又∵a是非负数，∴a=1或a=2

令a=1，则x=-3±，舍去;令a=2，则x1=-1、x2=-2

∴方程的整数根是x1=-1，x2=-2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a=0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3=0，x4=-3

正解：方程的整数根是x1=-1，x2=-2，x3=0，x4=-3

精选阅读

判别一元二次方程根的情况

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“判别一元二次方程根的情况”，供您参考，希望能够帮助到大家。

22.2.22判别一元二次方程根的情况
学习内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
学习目标
掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
重难点关键
1．重点：b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
学习指导
一、复习与思考
用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0（2）3x2-2x+1=0（3）4x2+x+1=0

二、合作学习，解读目标
(一).从前面的具体问题，说明一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况有哪几种？条件分别是什么？
（二）、通过下列习题研讨说明结论的应用：
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解
D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2.不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3.不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2（2）x2-（1+2）x++4=0

4.不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

（三）、上述结论的逆命题同样成立，分析下面例题：
例．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80
a-2
∵ax+30即ax-3
∴x-
∴所求不等式的解集为x-
应用训练：
5．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．
A．a=0B．a=2或a=-2
C．a=2D．a=2或a=0
6．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．
A．k≠2B．k2C．k2且k≠1D．k为一切实数
综合提高题
7．当c0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．

8．．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

八年级数学下册期末知识点：一元二次方程的定义

一元二次方程的定义
定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：

它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
方程特点；
（1）该方程为整式方程。
（2）该方程有且只含有一个未知数。
（3）该方程中未知数的最高次数是2。
判断方法：
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
点拨：
①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了

是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
②任何一个一元二次方程，经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
④项的系数包括它前面的符号。如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
求解方法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，

2、配方法
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。
（4）根与系数的关系的应用：
①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.
③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如
④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
二．解一元二次方程应用题：
它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为：
1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；
2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；
3．解：解所列方程，求出解来；
4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；
5．.答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
常见考法
（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；
（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；
（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式
误区提醒
（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论；
（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况；
（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解；
（4）忽视等式的基本性质，造成失根；
（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。
二．解一元二次方程应用题：
它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为：
1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；
2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；
3．解：解所列方程，求出解来；
4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；
5．.答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
常见考法
（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；
（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；
（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式
误区提醒
（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论；
（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况；
（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解；
（4）忽视等式的基本性质，造成失根；
（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。

解一元二次方程

每个老师在上课前需要规划好教案课件，是时候写教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们会写适合教案课件的范文吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“解一元二次方程”，仅供参考，大家一起来看看吧。

28.2解一元二次方程
教学目的知识技能认识形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程，并会用直接开平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
数学思考用直接开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的，直接开平方法解一元二次方程，必须化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式来求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再应用直接开平方法求解
解决问题通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
情感态度通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美.
教学难点用配方法解一元二次方程
知识重点选择适当的方法解一元二次方程
教学过程设计意图

教
学
过
程
问题一：填空
如果，那么.
教师活动：引导学生运用开平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
学生活动：在老师的引导下，初步了解一元二次方程的直接开平方法.
问题二：解方程
教师活动：与学生一起探究此种形式的方程的解法.
学生活动：仿照上题，解此问题，并总结出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
练习：解下列方程：
（1）(2)
问题三：解方程：
师生一起探究解法，通过配方把该方程转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接开平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例题1：解方程
教师活动：给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
学生总结配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.