1.1集合的含义及其表示第2课时
【学习目标】
1.理解并掌握集合三种表示方法;熟练地进行集合表示方法之间的转换;
2.初步理解集合相等的概念,并会初步运用;
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾:
1、集合的概念描述:
1)一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
2)集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性.
3)如果a是集合A的元素,记作________.
4)集合的分类:有限集,无限集和空集.
2、常用数集的符号:
自然数集__N____;正整数集__N*____;整数集__Z____;有理数集__Q____;实数集__R___.
二、思考题:
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合A的关系?
(1)0(2)(3)
分析:先把x写成a+b的形式,再观察a,b是否为整数.
【解】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以.
点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素,就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
(1)满足x-3>2的全体实数;
(2)本班的全体男生;
(3)我国的四大发明;
(4)2008年北京奥运会中的球类项目;
(5)不等式2x+39的自然数解;
(6)所有的直角三角形;
如果能够,那么这些集合又如何来表示?
【课堂活动】
一、建构数学:
1、列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内.用这种方法表示集合,元素要用逗号隔开,但与元素的次序无关.
思考:用列举法表示下列对象构成集合:
(1)满足x-3>2的全体实数;
(2)本班的全体男生;
(3)我国的四大发明;
(4)2008年北京奥运会中的球类项目;
(5)不等式2x+39的自然数解;
(6)所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素,B中的元素也都是A中的元素),则称这两个集合相等.
(2)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
(3)集合{(1,2),(3,4)}与集合{1,2,3,4}不同.
2、描述法:
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.
如:{x|x为中国直辖市},{x|x为young中的字母}.
所有直角三角形的集合可以表示为:{x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法:
用封闭的曲线内部表示集合(形象直观).如:集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法?何时用描述法?
(1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法.
如:集合{3,7,8}.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法.
如:集合{(x,y)|y=x+1};集合{x|x为1000以内的质数}.
4、集合相等:
如果两个集合A,B所含的元素完全相同,则称这两个集合相等,记为:____A=B____.
二、应用数学:
例1用列举法表示下列集合:
①{x∈N|x是15的约数};
②{x|x=,n∈N};
③{(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N};
解:①;②;③.
例2用描述法表示下列集合:
①{1,4,7,10,13};
②奇数的集合.
解:①;
②.
例3用适当的方法表示下列集合:
1)方程x2-2x-3=0的解集;
2)不等式2x-35的解集;
3)方程组的解集.
解:(1);
(2);
(3).
【解后反思】常见题型,常考题型,可以有多种不同的表示方法!
例4已知,求集合M.
解:.
【变式】已知,求集合M.
解:M=.
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5若
【思路分析】第一个集合中有元素0,分析知,b=0,从而集合可以化简为.
解:第一个集合中有元素0,故必有b=0,从而集合可以化简为,
因此a=1
有集合中元素的互异性知,a=-1,a=1不合,舍去.
故a=-1.
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6已知A={x|a+2x+1=0},
(1)若A中有且只有一个元素,求a的取值集合;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解:(1)由题意知,A中有且只有一个元素,
当a=0时,对应方程为一次方程,此时A=,符合题意;
当a0时,对应方程a+2x+1=0有两个相等实根,即a=1时也符合题意.
综上所述,a的取值集合为;
(2)由(1)知,a=0或1时,A中有且只有一个元素,符合题意;
当对应方程a+2X+1=0无实根时,即a1时,A=,符合题意;
综上所述,a=0或a1.
【解后反思】
1、注意分类讨论;
2、一元二次方程有两个相等实数根,对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学:
1、用列举法表示下列集合:
(1)中国国旗的颜色的集合;
(2)单词mathematics中的字母的集合;
(3)自然数中不大于10的质数的集合;
(4)同时满足的整数解的集合.
解:(1){红,黄};
(2){m,a,t,h,e,i,c,s};
(3){2,3,5,7};
(4){-1,0,1,2}.
2、用描述法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整数的集合;
(2)使有意义的x的集合;
(3)方程x2+x+1=0所有实数解的集合;
(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合;
(5)图中阴影部分内点的集合.
【解】(1){x|x=3k,k∈Z};
(2){x|x≤2且x≠0};
(3);
(4){(x,y)|y=-x2+3x-6};
(5){(x,y)|或.
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A={-3,0,1,2}.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是(1)(2)(4)(6).
(1){1,2,2,3};(2){全体实数};(3){有理数};
(4)不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0};(5){Ф};
(6)方程组的解的集合为{2,4}.
2.用列举法表示下列集合:
①{x|x为不大于10的正偶数}=__{2,4,6,8,10}_____;
②=__{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}___;
③集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为{0,1,2,3};
④数字和为的两位数=_{14,23,32,41,50}__;
⑤=__{(0,8),(2,5),(4,2)}__;
3.已知集合P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2},且Q=P,求1+a2+b2的值.
解:分两种情况讨论:
①1+a2+b2=2;
②这与集合的性质矛盾,
∴1+a2+b2=2.
§1集合的含义与表示(二)
自主学习
1.掌握集合的表示方法,能在具体问题中选择适当的方法表示集合.
2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点,培养自主探究意识和自学能力.
1.集合的常用表示法有列举法和描述法.
2.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法.
3.描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
4.不含有任何元素的集合叫做空集,记作.
5.集合的分类1有限集;2无限集;3空集.
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】用列举法表示下列集合:
(1)已知集合M=x∈N|61+x∈Z,求M;
(2)方程组x+y=2x-y=0的解集;
(3)由|a|a+b|b|(a,b∈R)所确定的实数集合.
点拨解答本题可先弄清集合元素的性质特点,然后再按要求改写.
解(1)∵x∈N,且61+x∈Z,∴1+x=1,2,3,6,
∴x=0,1,2,5,∴M={0,1,2,5}.
(2)由x+y=2x-y=0,得x=1y=1,
故方程组的解集为{(1,1)}.
(3)要分a0且b0,a0且b0,a0且b0,a0且b0四种情况考虑,故用列举法表示为{-2,0,2}.
规律方法(1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间用“,”隔开.(2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示集合较为方便,而且一目了然.
变式迁移1用列举法表示下列集合:
(1)A={x||x|≤2,x∈Z};
(2)B={x|(x-1)2(x-2)=0};
(3)M={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};
(4)已知集合C=61+x∈Z|x∈N,求C.
解(1)∵|x|≤2,x∈Z,
∴-2≤x≤2,x∈Z,
∴x=-2,-1,0,1,2.
∴A={-2,-1,0,1,2}.
(2)∵1和2是方程(x-1)2(x-2)=0的根,
∴B={1,2}.
(3)∵x+y=4,x∈N*,y∈N*,
∴x=1,y=3,或x=2,y=2,或x=3,y=1.
∴M={(1,3),(2,2),(3,1)}.
(4)结合例1(1)知,61+x=6,3,2,1,
∴C={6,3,2,1}.
用描述法表示集合
【例2】用描述法表示下列集合:
(1)所有正偶数组成的集合;
(2)方程x2+2=0的解的集合;
(3)不等式4x-65的解集;
(4)函数y=2x+3的图像上的点集.
解(1)文字描述法:{x|x是正偶数}.
符号描述法:{x|x=2n,n∈N*}.
(2){x|x2+2=0,x∈R}.
(3){x|4x-65,x∈R}.
(4){(x,y)|y=2x+3,x∈R,y∈R}.
规律方法用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么?同时要注意代表元素所具有的性质.
变式迁移2用描述法表示下列集合:
(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像上所有点的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合;
(3)不等式x-32的解集.
解(1){(x,y)|y=ax2+bx+c,x∈R,a≠0}.
(2)x,y|y=x+3y=-2x+6=x,y|x=1y=4.
(3){x∈R|x-32}.
列举法和描述法的灵活运用
【例3】用适当的方法表示下列集合:
(1)比5大3的数;
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(3)二次函数y=x2-10图像上的所有点组成的集合.
点拨对于(1),比5大3的数就是8,宜用列举法;对于(2),方程为二元二次方程,可将方程左边因式分解后求解,宜用列举法;对于(3),所给二次函数图像上的点有无数个,宜采用描述法.
解(1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为
(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x=2y=-3,∴方程的解集为{(2,-3)}.
(3)“二次函数y=x2-10的图像上的点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.
规律方法用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.
变式迁移3用适当的方法表示下列集合:
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
(2)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合;
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合;
(4)二元二次方程组y=xy=x2的解集.
解(1)列举法:{3,5,7}.
(2)描述法:{周长为10cm的三角形}.
(3)列举法:{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.
(4)列举法:{(0,0),(1,1)}.
1.在用列举法表示集合时应注意以下四点:
(1)元素间用“,”分隔;
(2)元素不重复;
(3)不考虑元素顺序;
4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,
必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.
2.使用描述法时应注意以下四点:
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);
(2)说明该集合中元素的特征;
(3)不能出现未被说明的字母;
(4)用于描述的语句力求简明、确切.
课时作业
一、选择题
1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()
A.{x|x是不大于9的非负奇数}
B.{x|x≤9,x∈N}
C.{x|1≤x≤9,x∈N}
D.{x|0≤x≤9,x∈Z}
答案A
2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为()
A.{(x,y)|x=0,y≠0}
B.{(x,y)|x≠0,y=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x=0,y=0}
答案C
3.下列语句:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4x5}可以用列举法表示.
正确的是()
A.只有①和④B.只有②和③
C.只有②D.以上语句都不对
答案C
4.已知集合A=a65-a∈N+,则A为()
A.{2,3}B.{1,2,3,4}
C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}
答案D
解析由65-a∈可知,5-a为6的正因数,所以5-a可以等于1,2,3,6,相应的a分别等于4,3,2,-1,即A={-1,2,3,4}.
5.下列集合中表示同一集合的是()
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案B
二、填空题
6.下列可以作为方程组x+y=3x-y=-1的解集的是__________(填序号).
①{x=1,y=2};②{1,2};
③{(1,2)};④{(x,y)|x=1或y=2};
⑤{(x,y)|x=1且y=2};
⑥{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}.
答案(3)(5)(6)
7.已知a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3}且(2,1)∈A,(1,-4)A,则满足条件的a的值为________.
答案0,1,2
解析∵(2,1)∈A且(1,-4)A,
∴2a-1≤3且a+43,
∴-1a≤2,又a∈Z,∴a的取值为0,1,2.
8.已知集合M={x∈N|8-x∈N},则M中的元素最多有________个.
答案9
三、解答题
9.用另一种方法表示下列集合.
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){x|x=|x|,x5且x∈Z};
(4){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*};
(5){-3,-1,1,3,5}.
解(1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x5,
∴x=0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(5){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.
解用描述法表示为(即用符号语言表示):
x,y|-1≤x≤32,-12≤y≤1,且xy≥0.
探究驿站
11.对于a,b∈N+,现规定:
a*b=a+ba与b的奇偶性相同a×ba与b的奇偶性不同.
集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}
(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素?
解(1)当a,b奇偶性不同时,
a*b=a×b=36,
则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为:
M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,
所以当a,b奇偶性相同时这样的元素共有35个.
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助高中教师能够井然有序的进行教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“集合的含义与表示教学设计”,仅供参考,欢迎大家阅读。
教学设计一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助教师营造一个良好的教学氛围。教案的内容要写些什么更好呢?小编收集并整理了“集合的含义与表示导学案”,仅供参考,大家一起来看看吧。
1.1.1集合的含义及其表示方法(1)
一、课前预习新知
(一)、预习目标:
初步理解集合的含义,了解属于关系的意义,知道常用数集及其记法
(二)、预习内容:
阅读教材填空:
1、集合:一般地,把一些能够对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的(或)。构成集合的每个对象叫做这个集合的
(或)。
2、集合与元素的表示:集合通常用来表示,它们的元素通常用来表示。
3、元素与集合的关系:
如果a是集合A的元素,就说,记作,读作。
如果a不是集合A的元素,就说,记作,读作。
4.常用的数集及其记号:
(1)自然数集:,记作。
(2)正整数集:,记作。
(3)整数集:,记作。
(4)有理数集:,记作。
(5)实数集:,记作。
二、课内探究新知
(一)、学习目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
学习重点:集合的基本概念与表示方法.
学习难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
(二)、学习过程
1、核对预习学案中的答案
2、思考下列问题
①请我们班的全体女生起立!接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊?”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立!他们能不能构成一个集合啊?
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系?
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合?
⑥世界上的高山能不能构成一个集合?
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质?
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素?
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质?
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗?这说明集合中的元素具有什么性质?由此类比实数相等,你发现集合有什么结论?
3、集合元素的三要素是、、。
4、例题
例题1.下列各组对象不能组成集合的是()
A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点
变式训练1
1.下列条件能形成集合的是()
A.充分小的负数全体B.爱好足球的人
C.中国的富翁D.某公司的全体员工
例题2.下列结论中,不正确的是()
A.若a∈N,则-aNB.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则
变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在()内填“√”,错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中()
(2)所有在N中的元素都在Z中()
(3)所有不在N*中的数都不在Z中()
(4)所有不在Q中的实数都在R中()
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0()
(6)不在N中的数不能使方程4x=8成立()
5、课堂小结
三、当堂检测
1、你能否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由。
你能否确定,你所在班级中,最高的3位同学构成的集合?
2、
(1)-3N;(2)3.14Q;(3)Q;(4)0Φ;
(5)Q;(6)R;(7)1N+;(8)R。
课后练习巩固新知
1.下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
2.(口答)说出下面集合中的元素:
(1){大于3小于11的偶数};
(2){平方等于1的数};
(3){15的正约数}.
3.用符号∈或填空:
(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;
(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z;
(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q;
(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R.
4.判断正误:
(1)所有属于N的元素都属于N*.()
(2)所有属于N的元素都属于Z.()
(3)所有不属于N*的数都不属于Z.()
(4)所有不属于Q的实数都属于R.()
(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立.()
1.1.1集合的含义及其表示方法(2)
课前预习学案
一、预习目标:
1、会用列举法表示简单的结合。2、明确描述法表示集合的
二、预习内容:
阅读教材表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合
课内探究学案
一、【学习目标】
1、集合和元素的表示法;
2、掌握一些常用的数集及其记法
3、掌握集合两种表示法:列举法、描述法。
学习重难点:集合的两种表示法:列举法和描述法。
二、学习过程
1、核对预习学案中的答案
2、列举法的基本格式是
描述法的基本格式是
3、例题
例题1、..用列举法表示下列集合:
(1)、小于5的正奇数组成的集合;
(2)、能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)、方程x2-9=0的解组成的集合;
(4)、{15以内的质数};
(5)、{x|∈Z,x∈Z}.
变式训练1
用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合;
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
(7){x∈R|x2+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x4,y-2x=0};
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
例题2.用描述法分别表示下列集合:
(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式x-73的解集.
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组的解的集合;
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
三、当堂检测
课本P5练习1、2.
课后练习与提高
1.下列集合表示法正确的是()
A.{1,2,2,3}
B.{全体实数}
C.{有理数}
D.不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}
2.用列举法表示下列集合
①是的约数_______;
②________________________;
③________;
④数字和为的两位数________;
⑤___________________________;
3.用列举法和描述法分别表示方程x2-5x+6=0的解集
4.集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为.
文章来源:http://m.jab88.com/j/5604.html
更多