§1集合的含义与表示(二)
自主学习
1.掌握集合的表示方法,能在具体问题中选择适当的方法表示集合.
2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点,培养自主探究意识和自学能力.
1.集合的常用表示法有列举法和描述法.
2.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法.
3.描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
4.不含有任何元素的集合叫做空集,记作.
5.集合的分类1有限集;2无限集;3空集.
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】用列举法表示下列集合:
(1)已知集合M=x∈N|61+x∈Z,求M;
(2)方程组x+y=2x-y=0的解集;
(3)由|a|a+b|b|(a,b∈R)所确定的实数集合.
点拨解答本题可先弄清集合元素的性质特点,然后再按要求改写.
解(1)∵x∈N,且61+x∈Z,∴1+x=1,2,3,6,
∴x=0,1,2,5,∴M={0,1,2,5}.
(2)由x+y=2x-y=0,得x=1y=1,
故方程组的解集为{(1,1)}.
(3)要分a0且b0,a0且b0,a0且b0,a0且b0四种情况考虑,故用列举法表示为{-2,0,2}.
规律方法(1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间用“,”隔开.(2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示集合较为方便,而且一目了然.
变式迁移1用列举法表示下列集合:
(1)A={x||x|≤2,x∈Z};
(2)B={x|(x-1)2(x-2)=0};
(3)M={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};
(4)已知集合C=61+x∈Z|x∈N,求C.
解(1)∵|x|≤2,x∈Z,
∴-2≤x≤2,x∈Z,
∴x=-2,-1,0,1,2.
∴A={-2,-1,0,1,2}.
(2)∵1和2是方程(x-1)2(x-2)=0的根,
∴B={1,2}.
(3)∵x+y=4,x∈N*,y∈N*,
∴x=1,y=3,或x=2,y=2,或x=3,y=1.
∴M={(1,3),(2,2),(3,1)}.
(4)结合例1(1)知,61+x=6,3,2,1,
∴C={6,3,2,1}.
用描述法表示集合
【例2】用描述法表示下列集合:
(1)所有正偶数组成的集合;
(2)方程x2+2=0的解的集合;
(3)不等式4x-65的解集;
(4)函数y=2x+3的图像上的点集.
解(1)文字描述法:{x|x是正偶数}.
符号描述法:{x|x=2n,n∈N*}.
(2){x|x2+2=0,x∈R}.
(3){x|4x-65,x∈R}.
(4){(x,y)|y=2x+3,x∈R,y∈R}.
规律方法用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么?同时要注意代表元素所具有的性质.
变式迁移2用描述法表示下列集合:
(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像上所有点的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合;
(3)不等式x-32的解集.
解(1){(x,y)|y=ax2+bx+c,x∈R,a≠0}.
(2)x,y|y=x+3y=-2x+6=x,y|x=1y=4.
(3){x∈R|x-32}.
列举法和描述法的灵活运用
【例3】用适当的方法表示下列集合:
(1)比5大3的数;
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(3)二次函数y=x2-10图像上的所有点组成的集合.
点拨对于(1),比5大3的数就是8,宜用列举法;对于(2),方程为二元二次方程,可将方程左边因式分解后求解,宜用列举法;对于(3),所给二次函数图像上的点有无数个,宜采用描述法.
解(1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为
(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x=2y=-3,∴方程的解集为{(2,-3)}.
(3)“二次函数y=x2-10的图像上的点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.
规律方法用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.
变式迁移3用适当的方法表示下列集合:
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
(2)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合;
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合;
(4)二元二次方程组y=xy=x2的解集.
解(1)列举法:{3,5,7}.
(2)描述法:{周长为10cm的三角形}.
(3)列举法:{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.
(4)列举法:{(0,0),(1,1)}.
1.在用列举法表示集合时应注意以下四点:
(1)元素间用“,”分隔;
(2)元素不重复;
(3)不考虑元素顺序;
4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,
必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.
2.使用描述法时应注意以下四点:
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);
(2)说明该集合中元素的特征;
(3)不能出现未被说明的字母;
(4)用于描述的语句力求简明、确切.
课时作业
一、选择题
1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()
A.{x|x是不大于9的非负奇数}
B.{x|x≤9,x∈N}
C.{x|1≤x≤9,x∈N}
D.{x|0≤x≤9,x∈Z}
答案A
2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为()
A.{(x,y)|x=0,y≠0}
B.{(x,y)|x≠0,y=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x=0,y=0}
答案C
3.下列语句:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4x5}可以用列举法表示.
正确的是()
A.只有①和④B.只有②和③
C.只有②D.以上语句都不对
答案C
4.已知集合A=a65-a∈N+,则A为()
A.{2,3}B.{1,2,3,4}
C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}
答案D
解析由65-a∈可知,5-a为6的正因数,所以5-a可以等于1,2,3,6,相应的a分别等于4,3,2,-1,即A={-1,2,3,4}.
5.下列集合中表示同一集合的是()
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案B
二、填空题
6.下列可以作为方程组x+y=3x-y=-1的解集的是__________(填序号).
①{x=1,y=2};②{1,2};
③{(1,2)};④{(x,y)|x=1或y=2};
⑤{(x,y)|x=1且y=2};
⑥{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}.
答案(3)(5)(6)
7.已知a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3}且(2,1)∈A,(1,-4)A,则满足条件的a的值为________.
答案0,1,2
解析∵(2,1)∈A且(1,-4)A,
∴2a-1≤3且a+43,
∴-1a≤2,又a∈Z,∴a的取值为0,1,2.
8.已知集合M={x∈N|8-x∈N},则M中的元素最多有________个.
答案9
三、解答题
9.用另一种方法表示下列集合.
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){x|x=|x|,x5且x∈Z};
(4){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*};
(5){-3,-1,1,3,5}.
解(1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x5,
∴x=0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(5){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.
解用描述法表示为(即用符号语言表示):
x,y|-1≤x≤32,-12≤y≤1,且xy≥0.
探究驿站
11.对于a,b∈N+,现规定:
a*b=a+ba与b的奇偶性相同a×ba与b的奇偶性不同.
集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}
(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素?
解(1)当a,b奇偶性不同时,
a*b=a×b=36,
则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为:
M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,
所以当a,b奇偶性相同时这样的元素共有35个.
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助高中教师能够井然有序的进行教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“集合的含义与表示教学设计”,仅供参考,欢迎大家阅读。
教学设计1.1集合的含义及其表示第2课时
【学习目标】
1.理解并掌握集合三种表示方法;熟练地进行集合表示方法之间的转换;
2.初步理解集合相等的概念,并会初步运用;
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾:
1、集合的概念描述:
1)一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
2)集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性.
3)如果a是集合A的元素,记作________.
4)集合的分类:有限集,无限集和空集.
2、常用数集的符号:
自然数集__N____;正整数集__N*____;整数集__Z____;有理数集__Q____;实数集__R___.
二、思考题:
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合A的关系?
(1)0(2)(3)
分析:先把x写成a+b的形式,再观察a,b是否为整数.
【解】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以.
点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素,就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
(1)满足x-3>2的全体实数;
(2)本班的全体男生;
(3)我国的四大发明;
(4)2008年北京奥运会中的球类项目;
(5)不等式2x+39的自然数解;
(6)所有的直角三角形;
如果能够,那么这些集合又如何来表示?
【课堂活动】
一、建构数学:
1、列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内.用这种方法表示集合,元素要用逗号隔开,但与元素的次序无关.
思考:用列举法表示下列对象构成集合:
(1)满足x-3>2的全体实数;
(2)本班的全体男生;
(3)我国的四大发明;
(4)2008年北京奥运会中的球类项目;
(5)不等式2x+39的自然数解;
(6)所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素,B中的元素也都是A中的元素),则称这两个集合相等.
(2)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
(3)集合{(1,2),(3,4)}与集合{1,2,3,4}不同.
2、描述法:
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.
如:{x|x为中国直辖市},{x|x为young中的字母}.
所有直角三角形的集合可以表示为:{x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法:
用封闭的曲线内部表示集合(形象直观).如:集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法?何时用描述法?
(1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法.
如:集合{3,7,8}.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法.
如:集合{(x,y)|y=x+1};集合{x|x为1000以内的质数}.
4、集合相等:
如果两个集合A,B所含的元素完全相同,则称这两个集合相等,记为:____A=B____.
二、应用数学:
例1用列举法表示下列集合:
①{x∈N|x是15的约数};
②{x|x=,n∈N};
③{(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N};
解:①;②;③.
例2用描述法表示下列集合:
①{1,4,7,10,13};
②奇数的集合.
解:①;
②.
例3用适当的方法表示下列集合:
1)方程x2-2x-3=0的解集;
2)不等式2x-35的解集;
3)方程组的解集.
解:(1);
(2);
(3).
【解后反思】常见题型,常考题型,可以有多种不同的表示方法!
例4已知,求集合M.
解:.
【变式】已知,求集合M.
解:M=.
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5若
【思路分析】第一个集合中有元素0,分析知,b=0,从而集合可以化简为.
解:第一个集合中有元素0,故必有b=0,从而集合可以化简为,
因此a=1
有集合中元素的互异性知,a=-1,a=1不合,舍去.
故a=-1.
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6已知A={x|a+2x+1=0},
(1)若A中有且只有一个元素,求a的取值集合;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解:(1)由题意知,A中有且只有一个元素,
当a=0时,对应方程为一次方程,此时A=,符合题意;
当a0时,对应方程a+2x+1=0有两个相等实根,即a=1时也符合题意.
综上所述,a的取值集合为;
(2)由(1)知,a=0或1时,A中有且只有一个元素,符合题意;
当对应方程a+2X+1=0无实根时,即a1时,A=,符合题意;
综上所述,a=0或a1.
【解后反思】
1、注意分类讨论;
2、一元二次方程有两个相等实数根,对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学:
1、用列举法表示下列集合:
(1)中国国旗的颜色的集合;
(2)单词mathematics中的字母的集合;
(3)自然数中不大于10的质数的集合;
(4)同时满足的整数解的集合.
解:(1){红,黄};
(2){m,a,t,h,e,i,c,s};
(3){2,3,5,7};
(4){-1,0,1,2}.
2、用描述法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整数的集合;
(2)使有意义的x的集合;
(3)方程x2+x+1=0所有实数解的集合;
(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合;
(5)图中阴影部分内点的集合.
【解】(1){x|x=3k,k∈Z};
(2){x|x≤2且x≠0};
(3);
(4){(x,y)|y=-x2+3x-6};
(5){(x,y)|或.
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A={-3,0,1,2}.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是(1)(2)(4)(6).
(1){1,2,2,3};(2){全体实数};(3){有理数};
(4)不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0};(5){Ф};
(6)方程组的解的集合为{2,4}.
2.用列举法表示下列集合:
①{x|x为不大于10的正偶数}=__{2,4,6,8,10}_____;
②=__{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}___;
③集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为{0,1,2,3};
④数字和为的两位数=_{14,23,32,41,50}__;
⑤=__{(0,8),(2,5),(4,2)}__;
3.已知集合P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2},且Q=P,求1+a2+b2的值.
解:分两种情况讨论:
①1+a2+b2=2;
②这与集合的性质矛盾,
∴1+a2+b2=2.
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,有效的提高课堂的教学效率。教案的内容要写些什么更好呢?下面的内容是小编为大家整理的集合的含义和表示,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!
1.1.1集合的含义和表示
【内容与解析】
本节课要学的内容有集合的含义与表示指的是集合的概念以及集合的表示,,其核心(或关键)是弄清楚集合中的元素并选择合适的方法表示集合,理解它关键就是分清元素是数还是点或者其它事物等;对集合的两种表示方法列举法和描述法的基本模式要掌握,学生已经学过了接触过一些数集和点集合并具备生活常识,,本节课的内容集合的含义与表示就是在此基础上的发展。由于它还与整个数学内容有必要的联系,所以在本学科有着作为一种基本语言的地位,是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是集合的含义及其符号表示、集合元素的特性、元素与集合的关系、符号表示及其函数的表示,所以解决重点的关键是分析典例,学生多练习。
【教学目标与解析】
1.教学目标
(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;
(2)理解集合中元素特征,熟记常见数集的记法;
(3)学会用适当的方法描述集合,感受集合语言的意义和作用。
2.目标解析
(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系就是指集合的概念,集合是研究对象的总体,研究对象就是元素,要搞清研究对象的范围;
(2)理解集合中元素特征,熟记常见数集的记法就是指集合中元素具有确定性、互异性、无序性,常见数集在数学上有其固定符号表示,这个要记牢。
(3)学会用适当的方法描述集合,感受集合语言的意义和作用就是指掌握一个集合,必须要做到能够表达,能够看懂别人的表达,自然语言、图形语言、集合语言(列举法和描述法),要熟练,列举法和描述法的基本模式要掌握并熟练运用。
【问题诊断分析】
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是对描述法掌握有困难,产生这一问题的原因是描述法对数学能力要求较高.要解决这一问题,就是要依据实例反复操练,其中关键是师生的互动要到位.
【教学过程】
问题1:怎样理解“元素”与“集合”?
1.1什么叫元素?如何用符号来表示?
1.2什么叫集合?如何用符号来表示?
设计意图:通过以上问题,让学生正确理解元素、集合的含义及其符号表示,并能指出集合是由什么元素组成。
例1、1~20以内的所有素数能组成集合吗?它的元素是什么?
问题2:任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元素有什么特征?
2.1某单位所有的“较高的人”能否构成一个集合?曙光学校校园内所有的“大树”能否构成一个集合?由此说明什么?
2.2在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此说明什么?
2.3某班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化?由此说明什么?
设计意图:通过这些问题,让学生理解集合元素的确定性、互异性与无序性。
例2、判断一下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流。
问题3:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A有哪几种可能关系?
3.1如果元素a是集合A中的元素,我们如何用数学化的语言表达?
3.2如果元素a不是集合A中的元素,我们如何用数学化的语言表达?
例2、已知集合S满足:,且当时,若,试判断是否属于S,说明你的理由.
问题4:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实数能否分别构成集合?
4.1自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数集等一些常用数集,分别用什么符号表示?
问题5、通过举出的一些实例看到,我们可以用自然语言描述一个集合,除此之外,还可以用什么方法表示集合呢?
5.1地球上的四大洋组成一个集合,这个集合可以怎么表示?
5.2列举法能表示不等式x-37的解集吗?
请你阅读课本第5页最后一段的文字,注意描述法的一些约定。
设计意图:引出用集合语言来表示集合的内容,即列举法、描述法。
【课堂小结】
1、集合的概念;
2、集合中元素的特性;
3、元素与集合的关系及符号的表示;
4、一些特殊的数集及其记法。
文章来源:http://m.jab88.com/j/5542.html
更多