俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？小编收集并整理了“高中数学必修四第三章三角恒等变换章末小结导学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第三章三角恒等变换章末小结

【复习目标】
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
【知识与方法】
1、熟练记忆三角恒等变换公式：

2、三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即:
（1）找差异：角、名、形的差别；
（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；
（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式。
如：升降幂公式；
；
；
tan±tan=tan(±)(1tantan)；
1=sin2+cos2（1的代换）；
拆角cos=coscos(-)-sinsin(-)；
切化弦等。

3．asin＋bcos＝sin(＋φ)，其中cosφ＝___，sinφ＝___，即tanφ＝ba.

【题型总结】
题型1、化简求值：综合使用三角函数的定义、性质、公式，求出三角函数式的值。
化简要求：________、________、__________、__________、__________、__________；
1、化简（1）；

（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。

2、求值：

题型2、条件求值：综合考虑要求值的式子和条件式的关联，对于已知条件式的应用及其变形是解决此类问题的关键。
3、已知=，=，求的值。
4.已知
求的值。
题型3、知值求角：
（1）先求角的某一个三角函数值：要注意象限角的范围与三角函数值的符号之间联系；
（2）尽量小的确定角的范围：通过已知的角的范围及其函数值的大小。
5．已知在中，
求角的大小。

6.设、为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=。

题型4、恒等式的证明：是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
7．已知，
求证：

8．求证

题型5、化成一个角的形式：
9.函数有最大值，最小值，则实数____，___。

10．函数的图象的一个对称中心是（）
A.B.
C.D.

题型6、三角函数的综合应用，
11．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求。

12．如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？

【课时练习】
1．当时,函数的最小值是（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，，则△ABC为）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法判定
3．函数的最小正周期是()
A．B．
C．D．
4．已知那么的值为,的值为

5．已知，，则=__________。

6．函数在区间上的最小值为．

7．已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．

8.已知函数
（1）求取最大值时相应的的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到的图象
【延伸探究】
9．已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．

扩展阅读

高中数学必修四3.2.2三角恒等变换---化简、求值、应用导学案

3．2．2三角恒等变换---化简、求值、应用
【学习目标】
1．能够进行基本的三角函数式的化简、求值，初步掌握三角变换的内容、思路和方法。并应用三角变换解决某些实际问题。
2．进一步认识三角变换的特点，提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力，提高解题中化简、推理、运算能力。
【新知自学】
知识回顾：
1、三角变换的基本特点：①注意式子的结构特征；②注意角之间的变换。
2、同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和差倍角公式。
新知梳理：
1、化简要求：
(1)能求出值的就求出值；
(2)使三角函数种数尽量少；
(3)使项数尽量少；
(4)尽量使分母不含三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
2．化简常用方法：
(1)能直接使用公式时就用公式(包括正用、逆用、变形用)；
(2)常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．

3、化简常用技巧：、
(1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；
(3)注意利用角与角之间隐含关系；
(4)注意利用“1”的恒等变形．
4．灵活运用角的变形和公式变形，如2=(+)+(-)，
tan±tan=tan(±)(1tantan)等．
5．要重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论．
6．形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin()的函数，使问题得到简化．
对点练习：
1、已知cos-cos=，sin-sin=，则cos(-)=．
2、设－3π＜α＜－，化简．
【合作探究】
典例精析：
例1、已知sin()=，0，
求的值．

变式练习：已知-x0,sinx+cosx=．
(1)求sinx-cosx的值；
(2)求的值．
例2、．已知函数f(x)＝3sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

规律总结：利用asinx+bcosx=Asin(ωx+φ)的变化，将多个三角函数的和差转化为一个三角函数值的形式，方便研究其有关性质．

变式练习：求函数
的最小值，并求其单调区间。

例3、课本（例4），对于实际应用问题，适当的选择变量，方便问题的求解。

规律总结：运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【课堂小结】
知识、方法、思想

【当堂达标】
1、已知sin-cos=sincos，则sin2的值为()．
(A)-l(B)l-
(c)2-2(D)2-2

2、已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则的值为____________．

3、已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcosx，且f(0)=8,f()=12．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
【课时作业】
1、在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形

2、已知为第三象限角，且sin(-)cos-cos(-)sin=,则的值为()．
(A)2(B)
(C)或2(D)1或3

*3、在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=l，则C的大小是()．
(A)(B)
(c)或(D)或

4、若π＜α＜π，sin2α=－，求tan________________

5、化简．

*6、求3tan12°－3sin12°4cos212°－2的值．

7、已知、为锐角，tan=,sin=，求+2的值．
8、已知、∈(0，)，且sin=sincos(+)．
(1)求证：tan=；
(2)将tan表示成tan的函数关系式；
(3)求tan的最大值，并求当tan取得最大值时tan(+)的值．

【延伸探究】
已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求．

2018年人教A版高中数学必修三第三章章末小结与测评含答案

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编为大家收集的“2018年人教A版高中数学必修三第三章章末小结与测评含答案”仅供参考，欢迎大家阅读。

互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．
在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．
[典例1]黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型ABABO
该血型的人所占比例(%)2829835
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.
[对点训练]
1．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，
P(C)＝501000＝120.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝11000＋1100＋120
＝611000.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－11000－1100＝9891000.
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
[典例2]一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；
(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率.
乘客P1P2P3P4P5
座位号32145
32451
解：(1)余下两种坐法如下表所示：
乘客P1P2P3P4P5
座位号32415
32541
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐．
则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客P1P2P3P4P5
座位号21345
23145
23415
23451
23541
24315
24351
25341
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4.
所以P(A)＝48＝12.
乘客P5坐到5号座位的概率是12.
[对点训练]
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．
[典例3]已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．
解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－20,16－b20，Δ≥0，即a2，－4b4，(a－2)2＋b2≥16.
设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，
故所求的概率为P(A)＝436＝19.
(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b216}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S(Ω)＝16.
构成事件B的区域面积为：S(B)＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝4π16＝π4.
[对点训练]
3．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是43cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解：记事件A＝“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为23.
∴P(A)＝S△A′B′C′S△ABC＝34×23234×432＝14.
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
[典例4](2015安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.
[对点训练]
4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2)甲班的平均身高x＝
158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝410＝25.
即身高为176cm的同学被抽中的概率为25.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是()
A．随机事件的概率总在[0,1]内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
解析：选C随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
2．下列事件中，随机事件的个数为()
①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4℃时结冰．
A．1B．2C．3D．4
解析：选C①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件．故选C.
3．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为()
A.12B.13C.14D.16
解析：选B甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为26＝13.
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()
A．A与C互斥B．B与C互斥
C．任何两个均互斥D．任何两个均不互斥
解析：选B因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.
5．(2016郑州高一检测)函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使得f(x0)≤0的概率是()
A.310B.15C.25D.45
解析：选A由f(x0)≤0，即x20－x0－2≤0，得－1≤x0≤2，其区间长度为3，由x∈
[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P＝310.
6．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()
A.14B.13C.12D.23
解析：选C不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝12ab，由几何概型的概率公式可知P＝S△ABES矩形＝12.
7．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()
A.16B.13C.12D.23
解析：选B给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝26＝13.故选B.
8．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝()
A.4πB.1π
C．2D.2π
解析：选D豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是2，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝2π.
9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()
A.π4B．1－π4
C.4πD.4π－1
解析：选B要使函数有零点，则Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，a2＋b2≥π2，又－π≤a≤π，－π≤b≤π，所以基本事件的范围是2π2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π34π2＝1－π4.故选B.
10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()
A.25B.710C.45D.910
解析：选C设被污损的数字是x，则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x)＋99]＝442＋x5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有90＞442＋x5，解得x＜8，则事件A包含x＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P(A)＝810＝45.
11．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于()
A.12B.23C.13D.25
解析：选B由古典概型的概率公式得P(A)＝16，P(B)＝36＝12.
又事件A与B为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝16＋12＝23.
12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()
A.14B.12C.34D.78
解析：选C由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，
而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1216＝34，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2016青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．
解析：记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1020＋520＝34.
答案：34
14．如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．
解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S＝1，扇形的面积S1＝12×π2×12＝π4，根据几何概型公式得，点P落在扇形外且在正方形内的概率为1－π41＝1－π4.
答案：1－π4
15．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠的概率为1，则a的取值范围是________．
解析：依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点，故|a|12＋12≤1，解得－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．
解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13.
答案：1613
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：
(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A，则P(A)＝36＝12.
(2)记丁被选中为事件B，则P(B－)＝1－P(B)＝1－12＝12.
18．(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.
(1)求n的值；
(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．
解：(1)由题意可得n1＋1＋n＝12，解得n＝2.
(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，
所以总得分为2分的概率为26＝13.
19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．
因此所求事件的概率P＝26＝13.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝316，
故满足nm＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.
20．(12分)已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}．
(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2；y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.
则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝89.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为89.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，
∵x∈[0,2]，y∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
∴P(B)＝S阴影S四边形ABCD
＝S四边形ABCD－12×1×1S四边形ABCD
＝2×2－12×1×12×2＝78，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为78.
21．(12分)(2015福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号分组频数
1[4,5)2
2[5,6)8
3[6,7)7
4[7,8]3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝910.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为
4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.
22．(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.
(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.
模块综合检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从2006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，余下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()
A．不全相等B．均不相等
C．都相等D．无法确定
答案：C
2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是()
A.34B.23C.12D.13
解析：选B根据几何概型可知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是1x≤3，∴所求的概率为23，故选B.
3．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
解析：选BE1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
4．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和其身体健康情况；
④正方形的边长和面积；
⑤汽车的重量和百公里耗油量．
其中两个变量成正相关的是()
A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤
解析：选C①为负相关；③也为负相关；④中的边长和面积的关系为函数关系；只有②、⑤中的两个变量成正相关．
5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]
频数1213241516137
则样本数据落在(10,40]上的频率为()
A．0.13B．0.39C．0.52D．0.64
解析：选C由表知(10,40]上的频数为52，故样本数据在(10,40]上的频率为52100＝0.52.
6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()
A．91.5和91.5B．91.5和92
C．91和91.5D．92和92
解析：选A数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，
平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()
A．120B．720
C．1440D．5040
解析：选B执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.
8．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为()
A.29B.23C.13D.19
解析：选A如图所示，
由几何概型概率公式，得
P＝SASΩ＝12×4×212×6×6＝29.
9．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是()
A.110B.310C.610D.710
解析：选B从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30100＝310.
10．三个数390,455,546的最大公约数是()
A．65B．91C．26D．13
解析：选D用辗转相除法．∵546＝390×1＋156,390＝156×2＋78,156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78.又∵455＝78×5＋65,78＝65＋13,65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13，故390,455,546的最大公约数为13.
11．在如图所示的程序框图中，如果输入的n＝5，那么输出的i等于()
A．3B．4C．5D．6
解析：选C由框图知当n＝5时，将3n＋1＝16赋给n，此时i＝1；进入下一步有n＝8，i＝2；再进入下一步有n＝4，i＝3；以此类推有n＝1，i＝5，此时输出i＝5.
12．下图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()
A．i5?B．i≤5?C．i4?D．i≤4?
解析：选D根据程序框图，要使得输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内的条件必须是“i≤4？”.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
解析：丙组中应抽取的城市数为：8×624＝2.
答案：2
14．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．
①第一步：x＝23，
第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，
第三步：输出y；
②第一步：x＝23，
第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，
第三步：输出y；
③算6次乘法，3次加法；
④算3次乘法，3次加法．
以上描述正确的序号为________．
解析：利用秦九韶算法，y＝((7x＋3)x－5)x＋11，算3次乘法，3次加法，故②④正确．
答案：②④
15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.
解析：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；
S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；
S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30S，输出T＝30.
答案：30
16．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．
解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)0，∴k23，∴－3k3，
又当弦长|AB|≥2时，∵圆半径r＝3，∴圆心到直线的距离d≤2，即|2k|1＋k2≤2，
∴k2≤1，∴－1≤k≤1.
由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率P(M)＝1－－13－－3＝33.
答案：33
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝512＋412＋212＝1112.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.
18．(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．
解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.
则0≤x≤24，0≤y≤24，|x－y|≤6.作出如图所示的区域．
区域D(正方形)的面积S1＝242，区域d(阴影)的面积S2＝242－182.
∴P＝S2S1＝242－182242＝716.
即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716.
19．(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．
(1)计算样本的平均成绩及方差；
(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．
解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数x＝80.
方差s2＝110[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.
即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.
(2)设A表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：
(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．
而事件A含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)．
所以所求概率为P＝410＝25.
20．(12分)某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.
(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；
(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．
解：(1)第四组的频率为：
1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3，
∴a＝0.310＝0.03，n＝360.3＝120.
(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)，
第五组应抽：0.075×40＝3(名)．
(3)设第一组抽取的2个分数记作A1、A2，第五组的3个分数记作B1、B2、B3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种，
所求概率为：P＝910.
21．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数x(个)2345
加工的时间y(h)2.5344.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解：(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：i＝14xiyi＝52.5，x＝3.5，y＝3.5，i＝14x2i＝54.
代入公式得b^＝0.7，a^＝1.05，∴y^＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得y^＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)．
∴预测加工10个零件需要8.05h.
22．(12分)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
组号分组频数频率
第1组[160,165)50.050
第2组[165,170)①0.350
第3组[170,175)30②
第4组[175,180)200.200
第5组[180,185)100.100
合计1001.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为30100＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：3060×6＝3人，
第4组：2060×6＝2人，
第5组：1060×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为915＝35.

高中数学必修四第一章三角函数章末小结导学案

第一章三角函数章末小结
【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用三角函数线表示正弦、余弦和正切；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；并能应用它们进行简单的求值、化简、证明；
3.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及的图象，理解的物理意义；
4.复习中渗透“变换”、“化归”思想；体会数形结合思想，学会用数形结合来思考和解决数学问题。

【新知自学】
知识回顾：
1、图表一：知识网络结构图
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。

图表二：三角函数定义、同角三角函数基本关系式、三角函数值的正负
1．
2．
3．“第一象限全为正，”

图表三：诱导公式

函数
角

图表四：三角函数的图像和性质

函数正弦函数余弦函数正切函数

图像
定义域
值域
最大值为1，
最小值为-1
最大值为1，
最小值为-1
无最值
周期性最小正周期最小正周期最小正周期
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性在上是增函数；在
上是减函数（）在上是增函数；在
上是减函数（）在上是增函数；

对点练习：
1、若角的终边落在直线上，求和的值。
2.利用图像变换讨论由得图像怎样得到的图像（写出你能想到的方法）
3、判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x②y=-2cos3x-1
③y=-3sin2x+1④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)

【合作探究】
典例精析：
例1、已知，求下列各式的值：
（1）
（2）
变式练习1：
（1）计算：
（2）证明：

例2.已知函数试确定该函数的值域、单调增区间、最大值及取得最大值时x的集合。

变式练习2：
（1）观察正弦函数的图像，写出使的的集合。
（2）求适合的集合。

例3、求函数y=-3cos(2x-π)的最大值，并求此时角x的值。
例4、求函数的定义域。

【课堂小结】

【当堂达标】
1．已知cos240约等于0.92,则sin660约等于（）
A．0.92B．0.85
C．0.88D．0.95
2．已知tanx=2，则的值是（）。
A．B．
C．-D．
3．tan（-）=.

4．函数y=sinx（≤x≤）的值域是。

【课时作业】
1、下列函数中，图象的一部分如下图所示的是()A．y＝sinx＋π6
B．y＝sin2x－π6
C．y＝cos4x－π3
D．y＝cos2x－π6
2．不等式tanx≤-1的解集是（）。
A．（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
3.有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
4．若函数y=a+bsinx的值域为，则此函数的解析式是。
5．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：
①最大值为A；②最小正周期为；
③在λο上至少存在一个x，使y=0；
④由≤ωx+≤（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，
其中正确的结论的序号是。

【延伸探究】
已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间－π6，π12上的值域．

第三章函数(高中数学竞赛标准教材)

第三章函数

一、基础知识
定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。
定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射。
定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B。
定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1x2，总有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8如果实数ab，则数集{x|axb,x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|ax≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤xb}记作半闭半开区间[a,b)，集合{x|xa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
例1求方程|x-1|=的正根的个数.
【解】分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2求函数f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，记点P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
所以f(x)max=
2.函数性质的应用。
例3设x,y∈R，且满足，求x+y.
【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若ab，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。
【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】设x∈Ik，则2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化为
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，则由①得n=0，但m,n不同时为0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，则由①得n0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。
综上，方程有唯一实数解x=
3.配方法。
例7求函数y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。
4．换元法。
例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以该函数值域为[2+，8]。
5．判别式法。
例9求函数y=的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
当y1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[，7]。
6．关于反函数。
例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。
【证明】设x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，则x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)递增。
例11设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1,x2是定义域内变量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。
在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，设xy，则f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基础训练题
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。
3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。
10.函数y=,x∈(1,+∞)的反函数是_______。
11．求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定义在R上，对任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈,f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2．设0≤a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}满足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，这样的映射f有_______个。
4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_______Q（填=、、）。
5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。
7．函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=；②若P∩M，则f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，则f(P)∪f(M)R.其中正确的判断是_______。
8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．设a0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。
11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（αβ），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：2|α-β|.

五、联赛一试水平训练题
1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.
6.函数f(x)=的单调递增区间是________.
7.函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
8.函数y=x+的值域为________.
9．设f(x)=,
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组：（在实数范围内）
11．设k∈N+,f:N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0,f(x)=xf；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，试求f(1).
3.f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x,y,x+y∈[0,1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.
4.试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．对给定的正数p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
当x∈时，试求f(x)的最大值。
7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。
8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。
9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

文章来源：http://m.jab88.com/j/28642.html

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