一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师提前熟悉所教学的内容。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《2013届高考数学直线与圆的综合应用复习教学案》，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

高中数学一轮复习教学案
§22直线与圆的综合应用
【考点及要求】
握直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、会求圆的切线方程、公共弦方程及
弦长等有关直线与圆的内容．
【基础知识】
1.直线与圆的位置关系位置关系有三种：、、.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方式：
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方式：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
(2)代数方式：运用韦达定理及弦长公式：
3.P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r0)上，则以P为切点的切线方程为.
【基本训练】
1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相离，则P（a,b）与圆的位置关系为.
2.过点且与圆相切的直线方程为.
3.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
4.设直线和圆相交与点,则弦的垂直平
分线方程是
5.圆上的点到直线的最大距离与最小距离
的差是.
6.圆内一点,则过点的最短弦的弦长为.

【典型例题】
例1.求经过两圆和的交点，且圆心在直线
上的圆的方程.

练习.若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，求的
值.

练习.如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在
轴上，点为线段的中点
（1）求边所在直线方程；
（2）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程.

【课堂小结】
【课堂检测】
【课后作业】

扩展阅读

2012届高考数学备考复习直线与圆教案

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2012届高考数学备考复习直线与圆教案》，仅供参考，欢迎大家阅读。

专题五：解析几何

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：
1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。
2．两直线平行与垂直的充要条件。
3．点到直线的距离、两平行线间的距离。
4．圆的方程（标准方程和一般方程）。
5．直线与圆的位置关系。
6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。
7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。
第一讲直线与圆

【最新考纲透析】
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2．圆与方程
（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。
（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
3．空间直角在系
（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
（2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】
要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题
考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。
2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。
3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是，而不是
2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。
例1：若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是：
①②③④⑤
其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）
【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①⑤
答案:①⑤
要点考向2：两直线的位置关系
考情聚焦：1．两直线的位置关系——平行或垂直是高考考查的重点内容。
2．多以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。
考向链接：两条直线和平行充要条件为且垂直的充要条件为0，要熟练掌握这一条件。判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况。
例2：（2010安徽高考文科Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=0
【命题立意】本题主要考查直线平行问题。
【思路点拨】可设所求直线方程为，代入点（1，0）得值，进而得直线方程。
【规范解答】选A，设直线方程为，又经过，故，所求方程为，
要点考向3：圆的方程
聚焦考情：1．圆的方程及求法是很重要的一类问题，是高考中的必考内容。
2．各种题型均可出现，属中低档题。
考向链接：求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于的方程组；
③解出，代入标准方程或一般方程。
此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量。
例3：(2010广东高考文科Ｔ6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）
A．B．
C．D．
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】选设圆心为，则，解得，所以，所求圆的方程为：，故选.
要点考向4：直线和圆的位置关系
聚焦考情：1．直线和圆的位置关系是每年必考内容，有时和向量相结合，体现了知识的交汇。
2．考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属中、低档题目。
例4：（2010重庆高考文科Ｔ8）若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化的思想.
【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线观察计算.
【规范解答】选D.（方法一）消去参数得，与联立方程组，消去得：，因为直线与曲线有两个不同的公共点，所以，即，解得；
（方法二）把圆的参数方程代入直线方程得：，即，所以，所以，
解得；
（方法三）如图所示，直线与圆相切之间的情形
符合题意，计算圆心（2，0）到直线的
距离等于圆半径1，即，解得，
所以.
【方法技巧】（1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值域求解；（3）数形结合法.
注：直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的关系来处理。

【高考真题探究】
1．（2010海南宁夏高考理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．则圆C的方程为.
【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.
【思路点拨】由题意得出圆心既在点的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.
【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联立方程，解得，即圆心，
半径，所以，圆的方程为.
【答案】
2．（2010广东高考理科Ｔ１2）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】设圆心坐标为，则，解得，又圆心位于轴左侧，所以.故圆O的方程为.
【答案】
3．（2010山东高考理科Ｔ16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为．
【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程.
【规范解答】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为.
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
4．（2010山东高考文科Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为.
【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.
【规范解答】设圆心坐标为，圆的半径为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），故所求圆的方程为.
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
5．（2010湖北高考理科Ｔ9）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）
A.[,]B.[,3]
C.[-1,]D.[,3]
【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力．
【思路点拨】将方程作等价
变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观
点得到直线在与曲线
有公共点时b的取值范围.
【规范解答】选D.由图可知当直线过点（0，3）时b取最大值3；当直线与圆相切且切点在圆的下半部分时对应的b取最小值.由消去y可得，由=0得或（舍去）.
6．（2010江西高考理科Ｔ８）直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是()
A．B．
C．D．
【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力.
【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定.
方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.
【规范解答】选A．（方法1）由题意，若使，则圆心到直线的距离，即，解得.故选A.
（方法2）设点M,N的坐标分别为，将直线方程和圆的方程联立得方程组，消去y得，
由根与系数的关系得，
由弦长公式知=
，
,∴，即，
∴，故选A.

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于()
(A)2(B)1(C)0(D)-1
2.夹在两条平行直线l1：3x-4y=0与l2：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为()
(A)2π(B)4π(C)8π(D)16π
3.已知直线l与直线3x+4y+1=0平行且它们之间的距离为4，如果原点(0，0)位于已知直线与直线l之间，那么l的方程为()
(A)3x+4y=0(B)3x+4y-5=0
(C)3x+4y-19=0(D)3x+4y+21=0
4.直角坐标平面内,过点P(2,1)且与圆x2+y2=4相切的直线()
(A)有两条
(B)有且仅有一条
(C)不存在
(D)不能确定
5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为D(0,1),则直线l的方程为()
(A)x-y+1=0(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0(D)x+y-1=0
6．(2010漳州模拟)．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程是（）
A．3－1B．2C．5D．4

二、填空题(每小题6分，共18分)
7.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_______.
8.一直线经过点P(1,2),并且与点A(2,3)和B(0,-5)的距离相等,则此直线方程为___________.
9.过点A(,1)的直线l将圆C：x2+(y-2)2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k等于_______.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知直线l1:mx+8y+n=0和直线l2:2x+my-1=0,分别根据下列情况求实数m与n的取值.
(1)l1与l2平行;
(2)l1与l2垂直.
11．（2010安徽名校联考）将圆向左平移1个单位，再向上移2个单位，得到圆O，直线与圆O相交于A，B两点，若圆O上存在点C，使，求直线的方程及对应的点C的坐标。
12．已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，，求直线的方程；
（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．
参考答案
1．【解析】选D.方法一:将选项分别代入题干中观察,易求出D符合要求.故选D.
方法二:∵直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
∴a(a+2)=-1.
∴a=-1.

2．【解析】选B.夹在两条平行线之间的最大的圆的半径为两平行线间距离的一半,而两平行线间的距离
所以，则圆的最大面积

3．【解析】选C.与直线3x+4y+1=0平行的直线可设为3x+4y+m=0，
由两平行线之间的距离公式可得
即直线方程为3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，
原点位于直线l与直线3x+4y+1=0之间，可将点(0，0)代入两直线解析式，乘积为负的即为所求，故应选C.

4．【解析】选A.∵22+12＞4,
∴点P在圆外,故过P作圆的切线可作两条.

5．【解析】选A.圆心C的坐标为(-1,2),AB中点D(0,1)，
∴l的方程为y-1=x-0,
即x-y+1=0,故应选A.

6．【解析】选D.因为点A(－1,1)关于x轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程为

7．【解析】∵点A(1,2)在⊙O上,∴过点A且与⊙O相切的直线方程为x+2y=5,
答案：

8．【解析】假设所求直线的斜率存在,则可设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由题设有:
即|k-1|=|7-k|,解得k=4.
又所求直线的斜率不存在时,方程为x=1,符合题意.
故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1.
答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵点A(,1)在圆C:x2+(y-2)2=4的内部.
∴当劣弧所对的圆心角最小时,AC⊥l.
答案：

10．【解析】（1）显然两直线的斜率都存在，两条直线的方程可化为
故只需，即
即两直线平行。
（2）方法一：若两直线的斜率都存在，则可得两条直线的斜率分别为但由于所以,此时两直线不垂直.
若m=0,则两条直线中一条斜率为0,另一条斜率不存在,于是两直线垂直.
综上可知,当m=0,且n∈R时,两直线垂直.
方法二:因为两直线垂直,所以只需2m+8m=0,
即m=0.故当m=0时,两直线垂直.

11．【解析】已知圆，
经平移后圆O的方程为
因为，
又
设直线的方程是交于
中并简化得
由题意：
所以，
因为，
所以，直线的方程为对应的点C的坐标为（-1，2）
或直线的方程为对应点C的坐标为（1，-2）.

12．【解析】（1）设
解得或（舍去）．
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或........6分
（2）设
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
的坐标是
设
当，即时，
当，即时，
当，即时
则.

【备课资源】
2.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为()
(A)x-y+3=0(B)x-y-3=00
(C)x+y-1=0(D)x+y+3=0
【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),
故所求直线方程为y-2=1(x+1)，
即x-y+3=0.
3.直线x+y-2=0上的点和圆(x-6)2+(y-6)2=18上的点的最短距离是________.
5.已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切,
(1)求直线l1的方程；
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.
求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆O:
x2+y2=1相切,由题意设直线l1的方程为
y=k(x-3),
即kx-y-3k=0,

直线与圆的方程的应用

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？小编特地为大家精心收集和整理了“直线与圆的方程的应用”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

2.2.5直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题。
2、过程与方法：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学方法：学导式
四、教学过程
问题设计意图师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．
生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？
理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．
生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问题设计意图师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．
生：自学例4，并完成练习题1、2．
师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的认识．教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力．师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4．使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤．教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识．学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决问对知识进行归纳概括，体会利师：指导学生完成练习题．
生：阅读教科书的例3，并完成第
问题设计意图师生活动
题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用“坐标法”解决实际问题的作用．教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
作业：习题4．2B组：1、2．
五、教后反思：

2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2点与直线、直线与直线的位置关系
考纲要求
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．
(1)两直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2________________.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2__________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2k1k2＝____.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2____________.
2．两直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.
3．有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝____________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
(3)两平行线间的距离
已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：
①求一条直线上一点到另一条直线的距离；
②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.
4．对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为____________．
(2)中心对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得______．
(3)轴对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
基础自测
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
2．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()．
A．13B．22C．6D．2
3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝()．
A．2B．1C．0D．－1
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝()．
A．－1B．－12C．2D．12
5．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．
思维拓展
1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？
提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．
2．运用距离公式时应注意什么？
提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．
一、两直线的平行
【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()．
A．2B．－3
C．2或－3D．－2或－3
方法提炼1．判定两直线平行的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]1
二、两直线的垂直
【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
方法提炼1．判定两直线垂直的方法：
(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．
(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.
2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．
请做[针对训练]2
三、距离公式的应用
【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．
【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
请做[针对训练]3
四、对称问题
【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；
(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．
【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．
2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．
针对训练
1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．
2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．
4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(2)－1A1A2＋B1B2＝0
2．相交平行重合
3．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2
(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2
4．(1)x1＋x22，y1＋y22
(2)x＝2a－x1，y＝2b－y1
基础自测
1．A解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，
∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.
2．B解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.
3．D解析：∵两直线垂直，
∴a(a＋2)＝－1.
∴a＝－1.
4．B解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，
∴三条直线交于点(－1，－2)．
∴－1－2b＝0，即b＝－12.
5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32|2－m|＝6m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.
考点探究突破
【例1】C解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；
当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.
解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3或2时，－2(m＋1)－12≠0.
∴m＝－3或2为所求．
【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k(－2)＝－1.∴k＝12.
又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.
解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.
故交点P(－1,2)．
(1)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，
∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．
综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋1＝0，
解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，
解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由两点间的距离公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，
即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.
解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，
如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，
设直线l与两平行线的夹角为θ，
则，
所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是，
故所求直线的斜率不存在，或为0.
又因为直线l过点P(3,1)，
所以直线l的方程为x=3，或y=1.
【例4－1】解：(1)设A′(x，y)，
由已知得y＋2x＋123＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，
解得x＝－3313，y＝413.
故A′－3313，413.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上．
设对称点为M′(a，b)，
则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，
得M′613，3013.
设m与l1的交点为N，
由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．
又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l3上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：∵l1∥l3，∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)．
∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，
∴l3的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵P′在直线l1上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0.
整理得2x－3y－9＝0.
【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1与l的交点为P(3，－2)，显然P也在l2上．
设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－34，则－34－(－2)1＋－34×(－2)＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.
故l2的直线方程为y＋2＝－211(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.
方法二：在直线l1上取一点A(2,0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则
y0－0x0－2＝43，32＋x02＋40＋y02－1＝0，
解得B45，－85.
故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
演练巩固提升
针对训练
1．3x＋4y－11＝0解析：解法一：设直线l的斜率为k.
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－34.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－34(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
解法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
2．1解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，
∴1×2＋(－2)m＝0，即m＝1.
3．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2，可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴(a－1)2＋(b－1)2即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离．
因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是(a－1)2＋(b－1)2的最小值．
由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，
故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值为322.
4．解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
图甲
设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′kl＝－1，
即b－4a3＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，
∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，
即2x＋y－9＝0.
解方程组3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．
图乙
设C′的坐标为(x′，y′)，
∴y′－4x′－33＝－1，3x′＋32－y′＋42－1＝0.
解得x′＝35，y′＝245.∴C′35，245.
由两点式得直线AC′的方程为y－1245－1＝x－435－4，
即19x＋17y－93＝0.
解方程组19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.
∴所求点Q的坐标为117，267.

2012届高考数学数列的综合应用知识梳理复习教案

教案67数列的综合应用
一、课前检测
1．猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为。
答案：

2．用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为(C)
A.1B.1+C.D.

二、知识梳理
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：
=.
注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：
(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：
(等比数列问题).

⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析
题型1以等差数列为模型的问题
例1由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解：设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.
an=1000+（n－1）100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.
依题意，得
1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化简得n2－31n+198=0.
解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.

变式训练1数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝an－1n＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________.答案：(n＋1)(n＋2)
解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则ann＋1－an－1n＝1，所以数列{ann＋1}是以a12＝3为首项，1为公差的等差数列，即ann＋1＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立．

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2以等比数列为模型的实际问题
例2（2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:（1）2005年底的住房面积为
1200（1+5%）－20=1240（万平方米），
2006年底的住房面积为
1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），
∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2024年底的住房面积为
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
≈2522.64（万平方米），
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.

变式训练2从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为____万元.
答案：［（1+p）7－（1+p）］
解：存款从后向前考虑
（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5
==［（1+p）7－（1+p）］.
注：2008年不再存款.
小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型3数列与函数、不等式等问题的综合应用
例3(文)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
(1)试判断数列{1an}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项为Sn；
(3)若λan＋1an＋1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．
(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，
∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.
(3)将an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，
∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．
设Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，则Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)0，故Cn＋1Cn，
∴Cn的最小值为C2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．

变式训练3已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1Sk9(k∈N*)，则k的值为________．答案：4
解：∵Sn＝23an－13，∴S1＝23a1－13＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n1)，即an＝(23an－13)－(23an－1－13)＝23an－23an－1，整理得：anan－1＝－2，∴{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，Sk＝a1(1－qk)1－q＝(－2)k－13，∵1Sk9，∴1(－2)k－139，即4(－2)k28，仅当k＝4时不等式成立．

小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
4.强化转化思想、方程思想的应用.

文章来源：http://m.jab88.com/j/52096.html

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