特殊三角形(讲义)
课前预习
1.对几何图形,我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究,以等腰三角形为例:
(1)边和角:等边对________、等角对________.
(2)特殊的线:(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高)____________________.
(3)面积:
h1+h2_____h(填“”、“”或“=”).
(4)对称性:等腰三角形的对称轴是__________________.
2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证:.
知识点睛
1.等边三角形
①定义:_________________的三角形是等边三角形.
②性质:
边:等边三角形______________.
角:等边三角形______________.
线:等边三角形______________.
③判定:_________________的等腰三角形是等边三角形.
_________________的三角形是等边三角形.
2.直角三角形
性质:30°角所对的直角边___________________________.
直角三角形斜边的中线等于_____________________.
3.等腰直角三角形
①定义:有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形.
②性质:
边:等腰直角三角形_____________.
角:等腰直角三角形_____________.
线:等腰直角三角形____________,____________________
__________________________.
③判定:_______________的三角形是等腰直角三角形.
精讲精练
1.如图,以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC,连接AP,DP,则∠PAD=_____________.
第1题图第2题图
2.如图,在△ABC中,D,E在BC上,且BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度数为_______________.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=________.
第3题图第4题图
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,若BD=2,则AD的长是()
A.4B.6C.8D.10
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
求证:AE=2CE.
6.如图,∠BAC=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE=5cm,则BC=______cm,DE=_______cm.
7.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.
求证:MN⊥BD.
8.如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,BN,CM为高,P为BC的中点,连接MN,MP,NP,下列结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知:如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.E,F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF.
求证:△DEF为等腰直角三角形.
10.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC按如图所示方式放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
【参考答案】
课前预习
1.(1)等角、等边
(2)三线合一
(3)=
(4)顶角的角平分线(底边上的中线或底边上的高)所在直线
2.提示:见到线段的和差倍分,考虑截长补短.
证明:如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
∴BC=BD
∵∠ACB=90°,BC=CD
∴AB=AD
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°
∴∠B=60°
∴∠D=60°
∴∠BAD=60°
∴BA=BD
∴BC=AB
知识点睛
1.三边都相等
②三边都相等,三个内角都是60°,三线合一
③有一个角是60°;有两个角是60°
2.30°角所对的直角边是斜边的一半
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
3.①直角
②两直角边相等,两底角都是45°,三线合一,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
③有两个角是45°
精讲精练
1.15°
2.120°
3.8cm
4.B
5.证明略(提示,连接BE,由DE垂直平分AB得AE=BE,转移角可得∠EBC=30°,利用直角三角形性质可得AE=2CE)
6.10,5
7.证明略(提示:利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB,由三线合一可得MN⊥BD)
8.C
9.证明略(提示:连接AD,证明△ADF≌△BDE,转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形)
10.△EMC为等腰直角三角形
证明略(提示:连接AM,证明△MDE≌△MAC,转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形)
尺规作图(讲义)
课前预习
1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图,其中“尺”指没有刻度的直尺,作用是作线;“规”指_________,作用是_______和_______.
2.读一读,背一背常见的几何语言,并在旁边画一画:
①连接AB;
②延长线段AB到点C,使BC=AB;
③延长线段AB交线段CD的延长线于点E;
④过点A作AB∥CD;
⑤过点A作AB⊥CD于点E.
知识点睛
1.基本作图:
①作一条线段等于已知线段;
②作一个角等于已知角;
③作已知角的角平分线.
书写作法时注意:________________,________________.
2.应用作图:
①______________________,设计作图方案;
②调用__________________完成图形.
精讲精练
1.作一条线段等于已知线段.
已知:如图,线段a.
求作:线段AB,使AB=a.
作法:(1)作射线AP;
(2)以_________为圆心,_______为半径作弧,交射线AP于点B.
___________即为所求.
2.已知线段a,b(),作一条线段,使它等于2a-b.
3.作一个角等于已知角.
已知:如图,∠ABC.
求作:∠DEF,使∠DEF=∠ABC.
作法:(1)作射线EF;
(2)以________为圆心,_______为半径作弧,交BA
于点M,交BC于点N;
(3)以____为圆心,____为半径作弧,交EF于点P;
(4)____________,__________作弧,交前弧于点D;
(5)作射线ED.
∠DEF______________.
证明:如图,连接________,________.
在___________和___________中,
∴____________________()
∴____________________
4.作一个已知角的倍角.
5.过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:如图,A是直线MN外一点.
求作:直线AB,使AB∥MN.
6.已知两边及夹角作三角形.
已知:如图,线段m,n,∠α.
求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n.
7.作已知角的角平分线.
已知:如图,∠AOB.
求作:射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB).
作法:(1)________________,__________________作弧,
交OA于点M,交OB于点N;
(2)分别以______,______为圆心,______________为半径作弧,两弧在________________交于点P;
(3)_________________________.
______________________________.
8.作已知角的四等分线.
已知:如图,∠AOB.
求作:射线OP,OQ,OM,使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB(即OP,OQ,OM四等分∠AOB).
9.为打造“宜居城市”,某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M在广场的两个入口P,Q的连线上(P,Q的位置如图所示),且到广场两边AB,AC的距离相等.请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(不写作法,保留作图痕迹).
10.请画出草图,解决下列问题:
(1)在△ABC中,点D是AC边的中点,连接BD,若AB=5,BC=3,则△ABD和△BCD的周长的差是____________.
(2)在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过D作DE∥BC交AB于点E,则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________.
(3)已知:在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,BO与CO交于点O,过点O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,则DE_____BD+CE(选填“”、“”或“=”).
(4)已知:在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于E,过点E作ED∥AC交BC于D,过D作DF∥CE交AB于F,则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________.
(5)已知:在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,BD平分ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD延长线于点E,则∠ECD=_______.
(6)若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°,则此等腰三角形的顶角为______________.
【参考答案】
课前预习
1.圆规、度量、截取
2.略
知识点睛
1.点线取名称,作弧说心径
2.①画出草图
②基本作图
精讲精练
1.点A长线段AB图略
2.略
3.作法:(1)作射线EF;
(2)以点B为圆心,任意长为半径作弧,交BA于点
M,交BC于点N;
(3)以点E为圆心,BM长为半径作弧,交EF于点P;
(4)以点P为圆心,MN长为半径作弧,交前弧于点D;
(5)作射线ED.
即为所求.
证明:连接MN,DP.
在和中
4.略
5.略
6.略
7.(1)以点为圆心任意长为半径
(2)点M点N大于长内部
(3)作射线OP
射线OP即为所求
8.略
9.略
10.(1)2(2)(3)=
(4)(5)15°(6)50°或130°
三角形综合应用(讲义)
知识点睛
在三角形背景下处理问题的思考方向:
1.三角形中的隐含条件是:
边:_______________________________________________.
角:①______________________________________________;
②_____________________________________________.
2.角平分线出现时,为了计算方便,通常采用__________解决问题.
3.高线出现时考虑__________或__________.
精讲精练
1.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝之间的距离最大值是()
A.5B.6C.7D.10
3.下列五种说法:①三角形的三个内角中至少有两个锐角;
②三角形的三个内角中至少有一个钝角;③一个三角形中,至少有一个角不小于60°;④钝角三角形中,任意两个内角的和必大于90°;⑤直角三角形中两锐角互余.其中正确的说法有__________________(填序号).
4.如图,在三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=55°.将纸片一角折叠使点C落在△ABC内,则∠1+∠2=_________.
第4题图第5题图
5.如图,一个五角星的五个角的和是________.
6.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.
7.如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,BC,我们把形如图1的图形称之为“X型”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于M,N,试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:_____________________________;
(2)在图2中,共有______个“X型”;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,则∠APC=_______;
(4)在图2中,若∠D=α,∠B=β,则∠APC=__________.
8.探究:
(1)如图1,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,猜想∠P和∠A有何数量关系?
(2)如图2,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE,猜想∠P和∠A有何数量关系?
(3)如图3,BP平分∠CBF,CP平分∠BCE,猜想∠P和∠A有何数量关系?
图1图2图3
9.如图,在△ABC中,三个内角的角平分线交于点O,OE⊥BC于点E.
(1)∠ABO+∠BCO+∠CAO=____________;
(2)∠BOD和∠COE的数量关系是________________.
第9题图第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.
(1)若AB=6,AC=8,BC=10,则AD=____________;
(2)若AB=2,BC=3,则AC:AD=____________.
11.如图,在△ABC中,若AB=2cm,AC=3cm,BC=4cm,AD,BF,CE为△ABC的三条高,则这三条高的比AD:BF:CE=____________________.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E.
(1)若AB=8,△ABC的面积为14,则PD+PE的值是多少?(2)过点B作BF⊥AC于点F,求证:PD+PE=BF.
【参考答案】
知识点睛
1.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
三角形内角和等于180°;
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
2.设元
3.互余,面积
精讲精练
1.B
2.C
3.①③⑤
4.130°
5.180°
6.360°
7.(1)∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)3;(3)35°;(4)(α+β)
8.(1)∠P=90°+∠A;(2)∠P=∠A;
(3)∠P=90°∠A
9.(1)90°(2)∠BOD=∠COE
10.(1)(2)3:2
11.3:4:6
12.(1)(2)证明略
三角形综合应用(讲义)
知识点睛
在三角形背景下处理问题的思考方向:
4.三角形中的隐含条件是:
边:_______________________________________________.
角:①______________________________________________;
②_____________________________________________.
5.角平分线出现时,为了计算方便,通常采用__________解决问题.
6.高线出现时考虑__________或__________.
精讲精练
13.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝之间的距离最大值是()
A.5B.6C.7D.10
15.下列五种说法:①三角形的三个内角中至少有两个锐角;
②三角形的三个内角中至少有一个钝角;③一个三角形中,至少有一个角不小于60°;④钝角三角形中,任意两个内角的和必大于90°;⑤直角三角形中两锐角互余.其中正确的说法有__________________(填序号).
16.如图,在三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=55°.将纸片一角折叠使点C落在△ABC内,则∠1+∠2=_________.
第4题图第5题图
17.如图,一个五角星的五个角的和是________.
18.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.
19.如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,BC,我们把形如图1的图形称之为“X型”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于M,N,试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:_____________________________;
(2)在图2中,共有______个“X型”;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,则∠APC=_______;
(4)在图2中,若∠D=α,∠B=β,则∠APC=__________.
20.探究:
(1)如图1,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,猜想∠P和∠A有何数量关系?
(2)如图2,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE,猜想∠P和∠A有何数量关系?
(3)如图3,BP平分∠CBF,CP平分∠BCE,猜想∠P和∠A有何数量关系?
图1图2图3
21.如图,在△ABC中,三个内角的角平分线交于点O,OE⊥BC于点E.
(1)∠ABO+∠BCO+∠CAO=____________;
(2)∠BOD和∠COE的数量关系是________________.
第9题图第10题图
22.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.
(1)若AB=6,AC=8,BC=10,则AD=____________;
(2)若AB=2,BC=3,则AC:AD=____________.
23.如图,在△ABC中,若AB=2cm,AC=3cm,BC=4cm,AD,BF,CE为△ABC的三条高,则这三条高的比AD:BF:CE=____________________.
24.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E.
(1)若AB=8,△ABC的面积为14,则PD+PE的值是多少?(2)过点B作BF⊥AC于点F,求证:PD+PE=BF.
【参考答案】
知识点睛
4.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
三角形内角和等于180°;
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
5.设元
6.互余,面积
精讲精练
13.B
14.C
15.①③⑤
16.130°
17.180°
18.360°
19.(1)∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)3;(3)35°;(4)(α+β)
20.(1)∠P=90°+∠A;(2)∠P=∠A;
(3)∠P=90°∠A
21.(1)90°(2)∠BOD=∠COE
22.(1)(2)3:2
23.3:4:6
24.(1)(2)证明略
文章来源:http://m.jab88.com/j/52091.html
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