一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“增城市派潭中学高三二轮复习专题《三角恒等变换、图象与性质》教案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
教学重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
教学难点：三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
一、知识复习：
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)=________,tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________,cos(-α)=_________,tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________,cos(π-α)=_________,tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________,cos(2π-α)=_________,tan(2π-α)=__________;
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
5．同角三角函数的基本关系：，；
6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①=

②=③=。

④
7．二倍角公式：①；=
②
，，；
③，=。
8．常用降幂公式：
=__________，=__________，=__________，=___________.
=________,=_________,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________,=__________________,
=__________________,=__________________,=________________,=_____________.
10．三角函数的图像和性质

图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意：⑴对称轴：；对称中心：；
⑵对称轴：；对称中心：；
二、体验高考
1.（2011山东理6）若函数(ω0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
A．3B．2C．D．
2.（2011全国新课标理11）设函数的最小正周期为，且则
（A）在单调递减（B）在单调递减
（C）在单调递增（D）在单调递增
3.（2011辽宁理16）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如右图，则
4.（2011湖北理3）已知函数，若，则x的取值范围为
A.B．
C．D．

5.（2011江苏9）函数是常数，的部分图象如图所示，则f(0)=

6.（2011广东理16）已知函数
(1)求的值；
(2)设求的值.

三、例题讲解
考向一：三角恒等变换及其求值
例1、已知，则

例2、（1）．已知.(I)求的值；(II)求的值。

(2）．已知，求的值.

考向二：函数的解析式及图象变换
例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数，其中，的部分图象如图所示。为等腰直角三角形，，KL＝1，则
A.B.C.D.

（2）.（2011年揭阳一模）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，则为得到函数的图象可以把函数的图象上所有的点
A.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;
B.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;
C.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍;
D.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.
例4：（2011年山东潍坊一模）函数（其中）的部分图象如图所示。
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的最大值，并确定此时x的值。

考向三：三角函数的奇偶性与对称性
例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3sinx1cosx的图象向左平移n(n0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
（2）（2011年安徽合肥质检）已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为
A.2B.4C.6D.8
考向四：三角函数的周期性与单调性
例6：已知函数在时取得最大值，（1）在上的单调增区间为
A.B.C.D.

（2）若A＝2，请画出在上的图象。

例7：已知，，。设函数
（1）函数的最小正周期
（2）函数的单调区间；
（3）函数的最大值及对应的取值的集合，最小值及对应的取值的集合
（4）当时，恒成立，求实数m的取值范围

四、巩固练习

1、已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.

2、已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
⑴求，的值；⑵若，求的值．

3、（2011广东省三校联考）
已知函数
（1）求的值域；
（2）若（x0）的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，求数列的前2n项的和。

4．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当
时，函数，其图象如图.

（1）求函数在的表达式；
（2）求方程的解.

第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
教学重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
教学难点：三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用

一、知识复习：
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)=________,tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________,cos(-α)=_________,tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________,cos(π-α)=_________,tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________,cos(2π-α)=_________,tan(2π-α)=__________;
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
5．同角三角函数的基本关系：，；
6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①=

②=③=。

④
7．二倍角公式：①；=
②
，，；
③，=。
8．常用降幂公式：
=__________，=__________，=__________，=___________.
=________,=_________,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________,=__________________,
=__________________,=__________________,=________________,=_____________.
10．三角函数的图像和性质

图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意：⑴对称轴：；对称中心：；
⑵对称轴：；对称中心：；

二、体验高考
1.（2011山东理6）若函数(ω0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
A．3B．2C．D．
【答案】C
2.（2011全国新课标理11）设函数的最小正周期为，且则
（A）在单调递减（B）在单调递减
（C）在单调递增（D）在单调递增
【答案】A

3.（2011辽宁理16）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则．

【答案】
4.（2011湖北理3）已知函数，若，则x的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】B
5.（江苏9）函数是常数，的部分图象如图所示，则f(0)=
【答案】
6.（2011广东理16）已知函数
(3)求的值；
(4)设求的值.
解：（1）
故
三、例题讲解
考向一：三角恒等变换及其求值
例1、（2011年安徽八校联考）已知，则

例2、（1）．已知.(I)求的值；(II)求的值。

（2）．已知，求的值.

考向二：函数的解析式及图象变换
例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数，其中，的部分图象如图所示。为等腰直角三角形，，KL＝1，则
A.B.C.D.

（2）.（2011年揭阳一模）已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，则为得到函数的图象可以把函数的图象上所有的点
A.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;
B.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;
C.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍;
D.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.
6.依题意知，故，故选A.
例4：（2011年山东潍坊一模）函数（其中）的部分图象如图所示。
（3）求的解析式；
（4）设，求函数在上的最大值，并确定此时x的值。

考向三：三角函数的奇偶性与对称性
例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3sinx1cosx的图象向左平移n(n0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
解析：f(x)＝3sinx1cosx＝3cosx－sinx＝2cos(x＋π6)，
图象向左平移n(n0)个单位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋π6)，则当n取得最小值56π时，函数为偶函数．
答案：56π
（2）（2011年安徽合肥质检）已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为
A.2B.4C.6D.8

考向四：三角函数的周期性与单调性
例6：已知函数在时取得最大值，则在上的单调增区间为
A.B.C.D.
例7：（2011年广东六校联考）已知，，。
（5）函数的最大值和最小正周期；
（6）函数的单调递增区间。

四、巩固练习

1、设函数
（1）若，求①函数的单调区间；
②求最大值及对应的取值的集合，求最小值及对应的取值的集合
③画出函数在此范围内的图像
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围

2、已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.

3、已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
⑴求，的值；⑵若，求的值．

4、（2011广东省三校联考）
已知函数
（1）求的值域；
（2）若（x0）的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，求数列的前2n项的和。jab88.coM

5．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当
时，函数，其图象如图.

（1）求函数在的表达式；
（2）求方程的解.

相关知识

三角函数的图象与性质

4.6三角函数的图象与性质（二）

●知识梳理
1.三角函数的图象和性质
函数
性质y=sinxy=cosxy=tanx
定义域
值域
图象
奇偶性
周期性
单调性
对称性
注：读者自己填写.
2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.
●点击双基
1.函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC.D.4π
解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
解析：检验.
答案：B
3.函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是
A.［0，］B.［，］
C.［，］D.［，π］
解析：由y=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由y=2sin（2x－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z.
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.
令k=0，故选C.
答案：C
4.把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.
解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）.
答案：y=sin（x+）y=sin（x+）
5.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______.
解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）.
答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）
●典例剖析
【例1】（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_______；
（2）y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.
剖析：（1）y=cosx+cosx－sinx
=cosx－sinx=（cosx－sinx）
=sin（－x）.
所以ymax=.
（2）T=，相邻对称轴间的距离为.
答案：
【例2】（1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域.
剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角.
解：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）.
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝.
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z｝.
评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.
【例3】求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.
剖析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+.
∴T=.
当cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1.
深化拓展
函数y=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，y的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______.
分析：你知道函数的周期T吗?
答案：π
●闯关训练
夯实基础
1.若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是
A.ω=1，=B.ω=1，=－
C.ω=，=D.ω=，=－
解析：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=.
又当x=时，y=1，∴sin（×+）=1，
+=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=.
答案：C
2.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a
=2sin（2x+）+a+1.
∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.
∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函数y=的定义域是_________.
解析：－sin≥0sin≤02kπ－π≤≤2kπ6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.
答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）
4.函数y=tanx－cotx的最小正周期为____________.
解析：y=－=－2cot2x，T=.
答案：
5.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
==（1+sinxcosx）
=sin2x+，
所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是.
6.已知x∈［，］，函数y=cos2x－sinx+b+1的最大值为，试求其最小值.
解：∵y=－2（sinx+）2++b，
又－1≤sinx≤，∴当sinx=－时，
ymax=+b=b=－1；
当sinx=时，ymin=－.
培养能力
7.求使=sin（－）成立的θ的区间.
解：=sin（－）
=（sin－cos）｜sin－cos｜=sin－cos
sin≥cos2kπ+≤≤2kπ+（k∈Z）.
因此θ∈［4kπ+，4kπ+］（k∈Z）.
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围.
解：原方程sinx+cosx=ksin（x+）=k，在同一坐标系内作函数y1=sin（x+）与y2=k的图象.对于y=sin（x+），令x=0，得y=1.
∴当k∈［1，）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解.
评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.
探究创新
9.已知函数f（x）=
（1）画出f（x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；
（2）判断f（x）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.
解：（1）实线即为f（x）的图象.
单调增区间为［2kπ+，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+2π］（k∈Z），
单调减区间为［2kπ，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+］（k∈Z），
f（x）max=1，f（x）min=－.
（2）f（x）为周期函数，T=2π.
●思悟小结
1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.
2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.
●教师下载中心
教学点睛
1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.
2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.
拓展题例
【例1】已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是
A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
解析：借助三角函数线易得结论.
答案：Ｄ
【例2】函数f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－）2+a+.
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－）2+a+≤
a－4≤（sinx－）2≤a－.①
由－1≤sinx≤1－≤sinx－≤
（sinx－）=，（sinx－）=0.
∴要使①式恒成立，
只需3≤a≤4.

高三数学《三角函数图象与性质》知识点总结

高三数学《三角函数图象与性质》知识点总结

1．周期函数
(1)周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

3.解题方法
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．
注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
(1)y＝sin(ωx-π/4)；(2)y＝sin(π/4-ωx).
2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．
3．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
4．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：
(1)利用sinx、cosx的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；
(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．

高二数学下册《三角恒等变换》复习学案

高二数学下册《三角恒等变换》复习学案

三角恒等变换知识点：

知识结构：

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。

难点：两角差的余弦公式的探索和证明。

2.简单的三角恒等变换

重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点.

难点：公式的灵活应用.

三角函数几点说明：

1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.

2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算.

3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.

4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.

5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.

6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

练习题：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析据已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

高三数学教案：《三角函数的图象与性质》教学设计

本文题目：高三数学教案：三角函数的图象与性质

●知识梳理

1.三角函数的图象和性质

函 数

性 质 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域

值域

图象

奇偶性

周期性

单调性

对称性

注：读者自己填写.

2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.

●点击双基

1.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

A.2π B.π C. D.4π

解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，T=π.

答案：B

2.若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是

A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

解析：检验.

答案：B

3.函数y=2sin( -2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是

A.[0， ] B.[ ， ]

C.[ ， ] D.[ ，π]

解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由y=2sin(2x- )的减区间得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z.

∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.

令k=0，故选C.

答案：C

4.把y=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.

解析：向左平移 个单位，即以x+ 代x，得到函数y=sin(x+ )，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：y=sin( x+ ).

答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由图象观察，知2kπ-

答案：2kπ-

●典例剖析

【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

(2)y=2sin(3x- )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx

= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

= sin( -x).

所以ymax= .

(2)T= ，相邻对称轴间的距离为 .

答案：

【例2】 (1)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.

剖析：求函数的定义域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，这里的cosx以它的值充当角.

解：(1)0≤cosx

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ，2kπ+ ]且x≠2kπ，k∈Z｝.

(2)由sin(cosx)>0 2kπ

评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.

【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.

剖析：将原函数化成y=Asin(ωx+ )+B的形式，即可求解.

解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

∴T= .

当cos4x=1，即x= (k∈Z)时，ymax=1.

深化拓展

函数y=tan(ax+θ)(a>0)当x从n变化为n+1(n∈Z)时，y的值恰好由-∞变为+∞，则a=_______.

分析：你知道函数的周期T吗?

答案：π

●闯关训练

夯实基础

1.若函数f(x)=sin(ωx+ )的图象(部分)，则ω和 的取值是

A.ω=1， = B.ω=1， =-

C.ω= ， = D.ω= ， =-

解析：由图象知，T=4( + )=4π= ，∴ω= .

又当x= 时，y=1，∴sin( × + )=1，

+ =2kπ+ ，k∈Z，当k=0时， = .

答案：C

2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a为实常数)在区间[0， ]上的最小值为-4，那么a的值等于

A.4 B.-6 C.-4 D.-3

解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

=2sin(2x+ )+a+1.

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].

∴f(x)的最小值为2×(- )+a+1=-4.

∴a=-4.

答案：C

3.函数y= 的定义域是_________.

解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.

解析：y= - =-2cot2x，T= .

答案：

5.求函数f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

解：f(x)=

= = (1+sinxcosx)

= sin2x+ ，

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .

6.已知x∈[ ， ]，函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ，试求其最小值.

解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，

又-1≤sinx≤ ，∴当sinx=- 时，

ymax= +b= b=-1;

当sinx= 时，ymin=- .

培养能力

7.求使 = sin( - )成立的θ的区间.

解： = sin( - )

= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z).

8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围.

解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一坐标系内作函数y1= sin(x+ )与y2=k的图象.对于y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.

∴当k∈[1， )时，观察知两曲线在[0，π]上有两交点，方程有两解.

评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.

探究创新

9.已知函数f(x)=

(1)画出f(x)的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值;

(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.

解：(1)实线即为f(x)的图象.

单调增区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈Z)，

单调减区间为[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)，

f(x)max=1，f(x)min=- .

(2)f(x)为周期函数，T=2π.

●思悟小结

1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.

2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.

●教师下载中心

教学点睛

1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.

2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.

拓展题例

【例1】 已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是

A.若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ

B.若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ

C.若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ

D.若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ

解析：借助三角函数线易得结论.

答案：D

【例2】 函数f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.

解：f(x)=-sin2x+sinx+a

=-(sinx- )2+a+ .

由1≤f(x)≤

1≤-(sinx- )2+a+ ≤

a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.

∴要使①式恒成立，

只需 3≤a≤4.

文章来源：http://m.jab88.com/j/51716.html

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